单元整体视角下的二次函数章首课教学设计

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养的关联.这要求教师在教学实际中做到眼中有“树木”，心中有“森林”.单元教学第一课，要在为什么学、学什么、怎么学，这三个维度上做探究.教师有意识地从单元整体视角设计教学，不仅有利于学生更深刻地理解数学知识，更有利于学生感受知识建构的内在逻辑关系.笔者就如何建构单元整体教学，落实数学核心素养，结合苏教版九年级下册“5.1二次函数”课堂实录，与同行交流.

1 课堂教学实录

1.1 创设情境，引入新知

师：我们知道数学来源于生活，用数学的眼光看生活中的很多事情，就会有不一样的发现.

师：如图1，在这个变化过程中，你能写出哪些式子？

生1：c=2πr，s=πr2.

师：周长c是半径r的函数吗？面积S是r的函数吗？

生1：是的.对于两个变量x，y，一个变量y随另一个变量x的确定而唯一确定，就称y是x的函数.c随r的确定而唯一确定，S随r的确定而唯一确定.c是r的函数，S也是r的函数.

师：非常棒！同学们认可吗？掌声鼓励一下！

师：我们再来看看下面生活中的例子，分别写出它们的表达式.

（1）一个游泳池容积为5 000m3，注满泳池所用的时间t（单位：h）与注水速度v（单位：m3/h）的关系是：t=.

（2）用长16m的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，若长方形的长为xm，则面积y=.

（3）弹簧原长10cm，在弹性限度内每挂1kg重物就伸长0.5cm，则弹簧总长y（单位：cm）与所挂重物质量x（单位：kg）之间的关系式是y=.

（4）一面长与宽之比为2：1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是120元/m2，边框的价格是30元/m，加工费为45元，设镜面的宽为xm，则总费用y=.

师：这些是函数吗？

生齐声：是.

师：这些里面哪些是我们学过的函数？

生6：c=2πr，y=10+0.5x是一次函数，t=5 000v是反比例函数.

师：什么是一次函数和反比例函数？

生7：形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数是一次函数.

生8：形如y=kx（k为常数，k≠0）是反比例函数.

师：很好！那这些我们还没有学过的函数有什么共同点吗？

生9：都有二次项.

生10：有点像一元二次方程.

生11：都是整式.

师：你能试着给它们起个名字吗？

生12：二次函数.

师：你能结合一元二次方程并类比一次函数和反比例函数给二次函数下个定义吗？

生13：形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的函数叫做二次函数（板书定义.）

师：非常聪明！我们把y=ax2+bx+c（a≠0）称为二次函数的一般式，这里a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.

师：为什么限制a≠0？

生14：a=0就没有二次项了，所以a不能等于0，但b和c可以为0.

师：哦，b，c都为0时也是二次函数.你有过类似的学习经验吗？

生15：比如一次函数y=2x+1与y=2x.

师：一次函数y=kx+b，在b=0时是特殊的一次函数即正比例函数，所以二次函数中b=0或c=0时也是二次函数.

师：值得一提的是，在实际问题中，还要注意自变量的取值范围.你能说出这几个函数自变量的取值范围是什么吗？

生16：第（2）题中0＜x＜8，其他实际问题都是x＞0就可以了.

师：非常好！请同学们判断下面哪些是二次函数？如果是，请说出其中的a，b，c；如果不是，请说明理由.

（1）y=3x2-2；

（2）y=x2+1x；

（3）y=（x－2）2+1；

（4）y=2x3－3x2+x+1；

（5）y=（x－3）2－x2；

（6）y=ax2+bx+c.

师：项和系数一定要带上前面的符号，并且注意二次函数左边是因变量y，右边化简后是关于x的二次整式.

1.2 立足本位，统领全章

师：接下来我们还会研究哪些方面？

生17：图象、性质、应用.

师：你是怎么想到的？

生18：之前就是这样学习一次函数和反比例函数的.

师：这位同学说得非常好，这里体现了什么样的思想方法？

生：类比思想！（这时班级大部分同学已经想到了类比学习.）

师：那我们就直接研究y=ax2+bx+c（a≠0）？

生19：不是的，应该从最简单的开始研究.

师：哦，最简单的？哪个二次函数是最简单的？你是怎么想到的？

生20：y=ax2（a≠0），从特殊到一般嘛.

生21：老师我觉得最简单的应该是y=x2.

师：你还给a赋了个值对吧？最简单的二次函数就是y=x2，我们先从这个函数开始研究，看能不能得到y=ax2的性质，同学们同意吗？

生：同意！

师：接下来研究什么？

生22：接下来研究y=ax2+c或者y=ax2+bx.

师：为什么呢？

生23：因为要从最简单的开始，刚才y=ax2中b，c都等于0，下面就依次取b=0或c=0就可以了.

师：大家赞同吗？

生24：老师，我觉得是不是可以把y=ax2上下左右平移，因为之前我们学过一次函数的平移，“上加下减，左加右减！”（班级好多同学回忆起来了，都表示赞同.）

师：掌声鼓励！他能想到类比一次函数来学习二次函数，还帮我们回忆了之前学习的函数图象平移的口诀“上加下减，左加右减”.太厉害了！

师：函数图象是由无数个点组成的，想一想，如果一个点上下平移的话，横坐标不变，纵坐标改变，那么反映在关系式上应该是怎样的？

生25：y=ax2+b（a≠0）.

师：很好，这里为防止与一般式中的b搞混，将y=ax2上下平移后记为y=ax2+k的形式.

师：那么左右平移后表达式又是什么样的？

生26：左右平移横坐标发生改变，纵坐标不变，反映在式子上应该是y=a（x+h）2形式.

师：非常好.那么接下来呢？又会研究什么？

生：上下左右一起平移.

师：那一起平移，表达式应该是怎样的？

生27：y=a（x+h）2+k.

师：大家看这个式子熟悉吗？

生28：熟悉！这就是配方嘛！

师：对，就是对函数右边配方，这样的函数表达式称为二次函数的顶点式.展开就是二次函数的一般式了.

师：这样，我们整个研究函数的脉络就十分清楚了.本章基本的研究思路就是这样的，但是具体到对每个函数进行研究的时候，还是要先画出函数图形，然后由图象得到性质.这就是数形结合.

1.3 反思盘点，小结梳理

师：今天我们一起研究了一个新的数学模型——二次函数，做了一个初步的探究，通过这节课的学习，你有什么收获？

生29：我知道了二次函数的一般式和顶点式.

生30：我知道二次函数y=ax2+bx+c中a不能为0，但是b和c可以.

生31：我知道二次函数要研究它的概念、图象、性质，以及路径是从最简单的开始，然后对最简单的二次函数图象进行上下左右平移从而得到一般的二次函数的性质.

师：嗯，体现了从特殊到一般的思想.

生32：我知道二次函数的研究是类比一次函数的学习，体现了类比的思想.

师：同学们总结得非常棒！今天大家一起学习一个新的模型——二次函数，无论是研究的内容还是研究方法都是类比一次函数.通过类比，我们知道函数的研究从定义、图象、性质几个角度展开.后面我们还将继续研究二次函数的应用.在思想方法层面，我们用到了建模思想、类比思想、数形结合思想.那么，二次函数的图象是什么样的？a，b，c的取值不同对函数图象有什么影响？二次函数有什么具体的性质？还可以帮助我们解决哪些生活中的问题？让我们一起期待后面的学习！谢谢大家本节课的精彩发言！

本节课板书如图2所示.

2 教学反思

2.1 借助相同情境，引出不同模型

学习函数以及一次函数的概念时，我们曾见过“一石激起千层浪”这幅图片.二次函数概念的引入也用了这幅图片，只不过我们关注的焦点由“一个变化的过程，有两个变量”转向“不断向外扩展的圆的周长是该圆半径的函数”，再转为“圆的面积是该圆半径的函数”.我们通过研究这两个函数表达式的差异引出二次函数的概念，然后通过不断提问进一步理解二次函数的概念.从简单的、熟悉的实际问题中抽象出二次函数的模型，感受二次函数与生活实际的密切联系，既揭示了生活与数学的联系，又体现了教材前后呼应的整体性.学生经历数学概念的形成过程，抽象能力和归纳概括能力得到了培养.这样的设计，突破了本节课的重点和难点.

2.2 强化数学思想，进行整体建构

二次函数是继一次函数和反比例函数之后初中阶段系统研究的另一个基本函数，既继承了二者的研究思路及方法，又有多处体现了其自身的独特性.本节课的设计从整体建构的视角出发，运用问题串的形式，引导学生类比、思考、讨论.对于一个新的函数应该研究哪些内容、如何研究等，学生能做到心中有数.从整体上认识二次函数的概念、图象、性质，为本章后续的深入研究做好充分的准备.教师设计好问题，学生亲身经历发现、提出、分析和解决问题的环节，这也充分体现了“学生为主体，教师为主导”的教学理念.通过层层深入的问题引导，学生不仅获得了知识，还学会了思考及如何进行数学学习，并能用数学的语言进行表达与交流.

2.3 关注单元整体，拓展认知高度

单元起始课不应拘泥于教材中第一节课的教学内容，其功能与价值在于为本单元学习提供更加广阔的视角，在数学知识、技能和思想层面，形成一个“整体”，为本单元的后继学习与探究确定目标、设计路线、明确方法.整体把握教学内容，注重前后内容、方法之间的联系，才能让学生深刻了解数学知识的产生和来源、结构与关联、价值与意义，从而提炼出能打通数学知识之间关联、发挥核心作用的数学概念和思想方法，给学生营造“既见树木，又见森林”的整体感.