着眼基本元素 挖掘复习生长点

在中考一轮复习中，如何为学生构建一个启发思考的平台，让学生能在不同的成长阶段，对学习对象从基本元素入手引发更多的思考，实现再认识、再提升？笔者在盐城市中考复习研讨活动中开设的“等腰三角形”一轮复习课，着眼三角形的基本元素挖掘等腰三角形相关知识的生长点，

搭建思维平台，引发学生深度思考，效果颇佳.

教学片断一：独立思考——操作

问题1如图1，已知线段a，利用尺规作图，你能确定一个三角形吗？如果能，请画出图形.

设计意图：线段是构成三角形的基本元素，只给定一条线段确定一个三角形，问题具有开放性，学生可以作出一些特殊的三角形.问题1可以让学生充分发挥想象力，培养学生的几何直观及用数学的眼光观察现实世界的意识和习惯，发展好奇心和创新意识.

生1：可以作出以边长为a的等边三角形，如图2.

生2：可以作出斜边长为a的等腰直角三角形，如图3.

生3：可以作出直角边长为a的等腰直角三角形，如图4.

教学评析：给定一条线段，引导学生基于图形的性质和元素间的关系进行尺规作图，建立几何直观.学生能从确定三角形的边和角的角度分析，得到一些特殊的等腰三角形，引出课题——等腰三角形.

学生利用尺规作图，能够轻松画出一些特殊的三角形，如等边三角形、等腰直角三角形.问题的设置具有开放性，没有束缚住学生的观察思考.教师从特殊的等腰三角形开始引入对等腰三角形的复习回顾，实现了从特殊的视角出发，搭建一个探索的平台，引导学生体验从特殊到一般的探究路径.

由于问题具有开放性，也有学生画出了一些其他的三角形，如图5（底边长为a，底边上的高也为a的等腰三角形）、图6（斜边长为a，一条直角边长为12a的直角三角形）.虽然没有指向特殊的等腰三角形，与课堂预设的方向不一致，但为后续知识的生长提供了一些方法上的指引，让播下的种子能够蓬勃生长.

教学片断二：深入探究——操作

只给定一个构成三角形的基本元素，所确定的三角形都具有一定的特殊性，如果再添加一个基本元素，可探究在给定两个基本元素的条件下，如何确定一个等腰三角形.这个添加的基本元素可以是哪些？

设计意图：让学生提出问题.

生4：添加一条线段b或添加一个角∠α.

师：线段b有要求吗？

生4：以线段a，b为两边能构成等腰三角形，满足三角形的三边关系.

下面探究第一种情形：

问题2如图7，已知线段a，b，利用尺规作图，你能确定一个等腰三角形吗？如果能，请画出图形.

设计意图：由特殊到一般，引导学生感知等腰三角形及其组成元素，通过归纳和类比回顾等腰三角形的性质.发展学生发现、提出、分析和解决问题的能力.

生5：可以作出底边长为a、腰为b的等腰三角形，如图8.

生6：可以作出底边长为a、底边上的高为b的等腰三角形，如图9.

与学生一起分析尺规作图用到了等腰三角形的哪些知识，进行复习、归纳总结.

教学评析：在与学生的交流中，添加一个元素，即再给定一条线段或者再给定一个角.学生思考讨论后，类比问题1中的方法作图，该环节注重基础知识、基本技能的生成，顺势设置如下题组，让学生掌握并应用等腰三角形的相关知识解决问题.

（1）若一个等腰三角形的顶角为80°，则它的另外两个内角分别为多少度？

（2）若一个等腰三角形的一个内角为80°，则它的另外两个内角分别为多少度？

（3）若一个等腰三角形的一个内角为100°，则它的另外两个内角分别为多少度？

（4）若一个等腰三角形的两边长分别为4，3，则它的周长为多少？

（5）若一个等腰三角形的两边长分别为4，2，则它的周长为多少？

在问题2的基础上，提出下面的问题：

问题3利用尺规作图，能否作出底边长为a、腰上高为b的等腰三角形？如果能，请作出图形.

设计意图：问题3的作图在几何直观上较为抽象，注重引导学生经历分析和解决问题的过程，即引导学生先画出满足题意的草图，再分析出确定这个等腰三角形的关键——确定腰上的高.

思路分析：确定高转化为确定直角转化为直径所对的圆周角为直角.

尝试操作：如图10所示.

提炼解决问题的策略方法，课堂生成的图5、图6为问题2、问题3的深入探究提供了思维的发散点，问题1播下的种子生根发芽，让学生获得解决数学问题的基本思想方法和基本活动经验.

教学片断三：合作探究——操作

下面考虑第二种情形：

问题4如图11，已知线段a和∠α，你能确定一个等腰三角形吗？如果能，请作出图形.

设计意图：学生经历了解决问题1～3的过程，对问题4的发现与解决能够自然生成，发展反思、总结与评价能力，让学生经历数学“再发现”的过程.

学生通过独立思考、小组合作学习后，能够有条理地提出以下解决方案：

方案1：以a为底，∠α为底角.

方案2：以a为腰，∠α为底角.

方案3：以a为腰，∠α为顶角.

方案4：以a为底，∠α为顶角.

教师让全班4组同学分别解决上述4个方案.

由于已经有了解决问题1～3的经验，前三组同学能顺利解决方案1、方案2、方案3中的作图问题.但第4组绝大多数同学束手无策.教者作了以下引导.

思路分析：顶角确定→等腰三角形的底角确定，等腰三角形的外接圆的圆心角确定.

尝试操作：

思路一：利用底角确定作图.如图12，先在∠α中作出等腰三角形的底角90°－12α，再作底边长为a，顶角为∠α的等腰三角形.

思路二：利用等腰三角形外接圆作图.如图13，先在∠α中作出圆心角所在的等腰三角形的底角90°－α，再作底边长为a，顶点为2α的等腰三角形，确定出外接圆的圆心，进而画出要求作的等腰三角形.

教学评析：通过操作与交流，学生达成共识，认为方案4较为困难.因为在之前的活动经验中没有能够清晰地找到匹配的作图方案.教学中教师要把握住学生思考的难点，注重引导，实现思维的自然发散及知识的自然生长.

中考一轮复习课，不仅要回顾知识，构建知识框架，更要关注核心知识、技能的自然生长.在解决问题的过程中，要挖掘学生思维的广度与深度，启发学生积极思考.给予学生一粒种子，在师生互动、生生互动的过程中，将知识生长蔓延开来；给予学生一个架子，在独立思考、适时点拨中实现思维的自然发散.让学生感悟思考解决数学问题的一般方法，积累数学探究的活动经验，激发起学生进行数学探究的兴趣.