基于数学现实的初中数学探究课教学策略研究

数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.该过程包括观察分析数学事实、提出有意义的数学问题、猜测和探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明.

笔者从“探结论—证结论—用结论”三个环节展开几何探究课，逐步发展学生的核心素养，具体研究框架如图1.

学生独立完成一个较复杂数学问题的深入探究是存在困难的，教师作为学生学习的组织者、引导者和合作者，应以学生数学现实为基础，构建符合学情的脚手架，在学生自主探究的过程中适时引导与总结.

下面以一节九年级几何探究课为例进行教学策略研究.

1 探结论：问题链助力结论探索

设计有层次的问题链可以让学生更高效地进行数学探究.“探索结论环节”主要是让学生在已有经验基础上经历结论的引入过程和结论的一般化过程，为结论的证明作好铺垫.

1.1 搭建知识框架，引入特殊模型

单一的解题教学会让学生觉得枯燥乏味，无法激发学生的学习兴趣与求知欲.教师可以从帮助学生理清知识的来龙去脉，搭建数学知识的框架入手，引入学生熟悉的特殊模型，从而进一步开展数学探究活动.

课堂中可先整合三种全等变化的常见模型（如图2），让学生感悟与体会三角形是平面几何中简单多边形的研究起点与基础，然后用正方形中的“半角模型”问题引入.

问题如图3，在边长为6的正方形ABCD中，E是边BC的中点，F在CD边上，且∠EAF=45°，连接EF，则DF的长为.

1.2 回顾解题思路，明确所证结论

每个学生的理解能力和接收能力各不相同，教师应做到让不同的人在数学上得到不同的发展.“半角模型”的运用对一部分学生来说仍然具有挑战性，因此在课堂中需要帮助学生先回顾解题思路，然后再循序渐进地引导学生进行总结和探究.

师：在正方形中看到半角应该怎么办？

生1：旋转.

师：怎么旋转？目的是什么？

生1：比如可以将△ABE绕点A逆时针旋转90°，目的是为了构造全等，转化线段，然后通过勾股定理建立方程求出线段的长度（学生进行板演求出结果）.

师：刚才大家求出了线段DF的长度，现在请分别计算Rt△ABE与Rt△DAF的短直角边与长直角边的比值.

生2：BEAB=12，DFAD=13.

师：若把BEAB=12，∠EAF=45°

作为条件，DFAD=13作为结论，你能把这个命题叙述出来吗？

生3：在正方形ABCD中，若∠EAF=45°（其中E，F分别在边BC，CD上），BEAB=12，则DFAD=13.

数学探究不是一个独立的环节，而是由多个环节串联构成的研究过程.

1.3 弱化图形条件，提出结论猜想

从特殊到一般是几何推理中重要的思维方式之一.教师要设计好问题研究的一般化路径，逐步将有关特殊条件一般化，引发学生思考，在已获得的结论基础上进一步激发学生的创造性思维.

师：刚才同学们总结得很好.如果把这个命题中的正方形改成矩形，那么该命题是否成立呢？若成立，请说明理由;若不成立，请举出反例.

（学生没有给出回应.）

师：我们不妨先根据条件画个图形，然后通过测量图形中的线段长度猜测该结论是否成立.

生1：我画的图是成立的.（其他学生也认同.）

师：请提出你的猜想，并小组讨论该如何证明.

生1：如图4，在矩形ABCD中，如果∠EAF=45°（其中E，F分别在边BC，CD上），BEAB=12，那么DFAD=13.

学生需要通过观察、猜测、实验、计算、推理等步骤发现并证明数学结论，教师适时给予引导，化抽象为具体，降低思考难度.

2 证结论：已有经验助力结论证明

长期的经验积累有助于学生解题思路的形成.“证明结论环节”主要是让学生经历通过小组合作运用已有的知识经验完成数学证明的过程，为结论的应用作好铺垫.

2.1 回归模型源头，感受数学本质

模型的运用可以为实际问题的解决提供指导与方法，深度思考模型的变化形式可以加深学生对数学的本质理解.

小组1：我们是受到半角模型的启发，虽然这个几何图形是矩形，但是它含有45°角，只需要将矩形补成正方形（如图5）就可以轻松证明该结论了.

易证△ABE∽△AGH，可以得出GH∶AG=BE∶AB=1∶2，然后就回到了最开始问题的证明，易得DFAD=13.

学生之所以能形成这样的证明思路，是因为对半角模型的认识足够深刻，抓住了半角模型的特征，巧妙地将问题进行了转化.

2.2 巧借网格背景，架构思维桥梁

学生在数学学习过程中的任何活动体验都可以形成一定的经验，它是一个组合体.在解决数学问题时，学生突如其来的灵感就是以积累的经验作为基础.

小组2：我们小组发现其实这个结论在网格背景的问题中早就遇见过，虽然忘记了具体的问题背景，但在网格中如果放置一个顶点在格点上的等腰直角三角形，那么要证的这个结论是成立的.

受到网格的启发，我们尝试构造了如图6所示的一个结构，这样就能完成证明了.

如图6，过点F作FH⊥AE，交AE的延长线于点H，构造一个等腰直角三角形AHF，然后按图补全矩形后，该图就是左边的结构，这样就能够得出DF∶AD=1∶3.当然，其实也可以这样证明：

设GH的长度为a，易得△ABE∽△AGH，则GH∶AG=BE∶AB=1∶2，所以AG=2a.易证△AGH≌△HMF，则HM=AG=2a，MF=GH=a，所以GM=3a.由于四边形AGMD为矩形，则有DM=AG=2a，AD=GM=3a，所以DF=DM-FM=a.故DF∶AD=1∶3.

数学教学中需要适当通过解题来加深学生对数学知识的理解，既要注重学生活动经验的积累，更要重视学生运用已有经验解决问题的过程，这可以帮助学生架构解决新问题的思维桥梁，发展学生的“四基”与“四能”.

2.3 立足图形变换，转化研究路径

有效的探究活动可以开拓学生的视野，激发学生的求知欲与探索欲.

小组3：我们受到第一小组的启发，既然这个结构可以补全成半角模型，那不妨尝试在正方形的半角模型上，

以A为公共顶点，构造一个满足已知条件的矩形AGHM，如图7所示，使得该矩形的AG边和正方形的AB边在同一直线上.此时可以发现，无论构造的矩形多大，始终存在△AGJ∽△ABE，△ADF∽△AMN，则GJ∶AG=BE∶AB=1∶2，MN∶AM=DF∶AD=1∶3.

通过这种证法可以发现，如果AF与MH的交点在MH的延长线上，而不是在线段MH上，这个结论也是成立的.

方法的选择、思考的路径、图形的理解等都是影响探索的因素.如果尝试转化研究路径，找到图形之间的内在联系，便能实现柳暗花明.

3 用结论：多情境助力结论运用

多情境的知识应用可以加深学生对知识的理解.“运用结论环节”主要是让学生经历在多个不同的问题情境中运用本节课积累的活动经验解决复杂问题的过程，感受数学之美，

3.1 抓住结构特征，迁移已有结论

学生对知识的运用需要一个过程.为让学生初步体会运用结论解决问题的便捷之处，笔者设计了一道一星题，引导学生抓住结论的结构特征，直接运用结论快速解决复杂的数学问题.

训练1（★）如图8，在矩形ABCD中，AB=2，AD=8，点E，F在BC上，点G是射线DC与射线AF的交点.若BE=1，∠EAF=45°，则AG的长为.

课堂中，笔者经过统计发现只有2位学生没有解题思路，随机选取一名举手的学生分享解题思路.其思路如下：

在矩形ABCD中，BE∶AB=1∶2，∠EAF=45°，根据刚才证明的结论，马上可得到DG∶AD=1∶3.由AD=8，就能求出DG的长度，然后利用勾股定理即可求出AG的长度.（在课堂中也有学生指出有别的解题思路，笔者也予以肯定和表扬.）

审题是解决数学问题的关键一步，抓住了关键信息就有利于解题思路的形成.

3.2 挖掘隐含条件，启发合理联想

根据已知条件进行合理联想是解决问题过程中的重要一步.为了进一步加深学生对结论的理解，笔者设计了一道两星题，引导学生在发现熟悉的结论特征后，挖掘题中隐藏的条件，指向性地进行联想，运用结论解决问题.

训练2（★★）如图9，在矩形ABCD中，点E，F分别在矩形的边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处.点C，H，G恰好在同一条直线上，若AB=6，AD=4，BE=2，则DF的长为.

生：通过观察图形可以发现，这和前面探究的结构很像，根据题目的已知条件，可知在矩形ABCD中，BE∶BC=1∶2，所以我就想能不能证明∠ECF=45°.如果可以证明，那直接就由结论得到DF∶CD=1∶3，即可求出DF的长度.虽然题目没有直接给出∠ECF=45°，但是根据折叠能推导出∠ECF=45°，因此这个问题也就变得很容易解决了.

折叠问题的本质是图形的轴对称变化，半角模型的本质是图形的旋转变化，它们都属于图形的全等变化.

3.3 重视思维生长，感悟结论拓展

能根据已有经验选择合适的方法解决数学问题，这是学生具备灵活思维能力的表现.为了让学生体会数学探究的价值和学习数学的乐趣，笔者设计了一道三星题，让学生在解决问题的过程中提高思维能力，提升核心素养.

训练3（★★★）如图10，点A（2，3）在反比例函数y=kx的图象上，经过点A的直线AB：y=12x+b绕点A按逆时针旋转45°，与反比例函数的图象相交于点C，则点C的坐标是.

生：点A的坐标是用来求反比例函数与直线AB的函数表达式的，要求点C的坐标，我就想能不能先求出直线AC的函数表达式，然后再求点C的坐标.已经有点A的坐标了，则还需要知道直线上另一点的坐标，才能利用待定系数法求解直线AC的函数表达式，但是一开始我找不到这样的点.当发现45°角之后，经过本题图形和结论中图形的对比，于是构造了一个结论中的结构.

如图11，过点A向y轴作了一条垂线段AE，向x轴作了一条垂线段AF.容易得到点B的纵坐标为2，则BE=1.又因为AE=2，所以BE∶AE=1∶2，由此马上得出FG∶AF=1∶3.由AF=3，得FG=1，则OG=1，所以G（1，0），即可求出直线AC的函数表达式了.

函数与几何的结合，让学生充分感受到数学的学习最终走向一个系统的整体.

4 总结

常规复习课让学生感到枯燥，探究课吸引了学生兴趣，引发了学生思考，改善了课堂氛围，也从一定程度上提高了学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力.在数学探究的过程中，让学生像数学家一样去探索与思考，逐步落实“三会”的核心素养.

参考文献：

[1]李沐慧.“问题提出”引领下的数学探究活动——以“正方体的截面”教学为例[J].中国数学教育，2023（12）：18-22.