培养和发展学生的模型观念

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）指出，数学核心素养包含三个方面：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界.数学核心素养在高中、初中、小学阶段的“具体”表现形式又有所不同，但是无论“称谓”怎样变化，“模型观念”都是初中阶段的重要核心素养之一.怎样培养和发展学生的模型观念？

1 加强基础知识教学，为形成模型观念奠定基础

《课标（2022年版）》）在“课程目标”中提出了三条具体要求，其中第一条和第二条可以简称为“四基”和“四能”.这是所有接受义务教育的学生都应该达到的最低要求，学生通过义务教育阶段的数学学习，必须掌握数学的基础知识，逐步形成数学基本技能，感悟数学的基本思想，积累数学基本活动经验.

《课标（2022年版）》中界定所有课程内容，都属于数学基础知识.数学基本技能是在学习、运用数学基础知识的同时所形成的技能（主要指运算技能、绘图技能、处理数据技能、推理技能）.

数学基础知识和基本技能相互“交融”在一起，有时是不好区分的.学生在学习数学基础知识的同时，也会自然形成与之相应的基本技能；另外，在运用某些数学基本技能解决问题的同时，也进一步加深了对基础知识的理解.

学生的数学观念可以用“强弱”来衡量，模型观念“强”的人，表现为用数学模型解决实际问题的认识到位，思路明确，能通过阅读实际问题清晰地意识到应该建立怎样的数学模型才能解决这个实际问题.

一个人拥有的数学知识容量越大，其数学知识结构越优化，数学观念当然也就越强.要培养学生的模型观念，应强化数学“四基”的教学.

方程（组）是“数与代数”的重要内容，方程模型是一类重要的数学模型，学习方程的有关知识并用方程解决实际问题对于模型观念的形成具有积极的价值.

案例1人数、物价问题

我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱.问人数、物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（）.

A.8（x-3）=7（x+4）B.8x+3=7x-4

C.y－38=y+47D.y+38=y－47

点评：本题目中设了x，y两个未知数，是“迷惑”学生的，是让学生误认为有两个未知数就应该建立二元一次方程组模型.而题目给出的选择支都是一元一次方程，这必然导致部分学生的思路陷入“歧途”，不能作出正确选择.这就是本题的“高明之处”.

在教学时，教师要引导学生进一步思考：如果建立二元一次方程组模型，找不到答案，那该怎么办？事实上，学生思路受阻的原因在于对二元一次方程组知识的掌握还达不到“十分熟练”的程度.

当学生想到“消元”是解二元一次方程组的基本思路时，反映灵敏的学生可能会想到“这莫非是建立的二元一次方程组经过消元后的结果？”通过思考，得到y=8x－3，

y=7x+4，由第一个方程可得x=y+38，由第二个方程可得x=y－47，于是有y+38=y－47.

师生通过交流、思考，找到解决本题要分两步：

一是根据题意正确列出二元一次方程y=8x－3，

y=7x+4；二是对上面两个方程变形：分别用含有y的代数式表示出x.这就是本题的“真正立意”所在.

本题素材有三种考查方式：

（1）作为填空题出现，让学生填写出正确答案.这样的话，虽然大部分考生都能给出正确答案，但对于考查学生方程组掌握的程度似乎“不够力度”.

（2）作为选择题出现，选择的项中直接给出含有正确方程组的形式.大部分命题者会选择这种考查方式.

（3）本题的考查形式.这种考查方式能发挥方程组“载体”的最大教学功能，有助于发展学生的模型观念.

本考题启发我们，教师应站在编写者的高度去研读教材、例题和习题.对每一道例题、习题都要进行深层次的思考，只有这样才能创造性地使用教材.这对于学生掌握数学基础知识，形成基本技能是非常必要的.

2 注重过程教学，形成模型观念的有效措施

在数学教学中，要向学生展示两个过程：（1）充分展现知识的形成过程；（2）反映知识的应用过程.

在落实这两个过程时，都伴随着学生的各种丰富的活动，也就是说无论是知识的形成过程，还是应用过程都是在学生的活动中实现的.

在《课标（222年版）》界定的“课程内容”中，含有大量的数学概念、性质、运算律、法则、定理、公式等，我们将其统称为“数学知识”，对于这些知识的教学一定要体现过程，这是数学教学的“刚性”要求.

模型观念是在学生经历各种具体学习的过程中逐渐形成的，并且在建立各种具体模型解决问题的过程中得到增强和发展.在数学教学中，我们应结合具体的课程内容，设计有效的数学活动，引导学生经历数学知识的发生、发展过程.

案例2探索多面体顶点数、面数、棱数之间的关系

十八世纪瑞士著名数学家欧拉曾经发现并证明了一个简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着一个有趣的关系式，即V+F-E=2.人们把这个公式称为欧拉公式.

为引导学生通过探索，把“图形”的“顶点数、面数、棱数”之间的特点抽象成“数量之间”的关系式，我们可利用问题引导学生在观察、思考、抽象、概括的过程中，发现上面的公式.

观察图1所示的四种简单多面体模型，并思考、探索下面两个问题：

（1）分别写出图1中的四个多面体模型的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）；

（2）猜想一个正多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是.

点评：欧拉是一位著名数学家，他渊博的知识、无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作令世人惊叹不已.本题以四个简单的多面体为例，让学生归纳猜想得到著名的欧拉公式，并利用这一公式解答有关的问题.

本案例的目的是让学生借助“图形”的直观特性，归纳出“数量”之间的关系式.首先提供了四个多面体模型，多面体模型有三个“基本数字”特征：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）.学生通过观察其中两个模型，就可以得到上述公式，利用另外两个模型验证上述公式，从而完成问题（1）的解答.在此基础上，学生经过归纳、猜想等活动，抽象出一般性的结论：一个多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2.

在实际教学中可分三步：

（1）通过观察，发现四面体有4个顶点、4个面、6条棱；长方形有8个顶点、6个面、12条棱.为了引导学生自己能发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间具有的数量关系，教师鼓励学生大胆探索、猜想并相互交流.在教师的引导下，学生不难发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）具有关系：V+F-E=2.

（2）观察正八面体发现有6个顶点、8个面、12条棱，可以发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）也具有关系：V+F-E=2.

（3）结合一个正十二面体的顶点数（V）是20、面数（F）是12、棱数（E）是30，可以验证V+F-E=2.

学生在解答的过程中，几何直观起了关键作用，反映了“利用图形描述和分析问题”的过程.学生如果没有较强的数学抽象能力和几何直观能力，是很难发现这个公式的.学生在探索、发现公式的同时，其抽象概括能力、合情推理能力等都有所提高，还能进一步感悟“数形结合”的思想，加深对“数学是研究数量关系和空间形式的科学”的理解与认识.

本案例的教育教学价值有：（1）培养了学生的数学猜想能力；（2）让学生体会到数形结合思想的作用；（3）进一步感悟到数学模型是数学与现实联系的基本途径，发展了学生的模型观念；（4）对学生进行了数学文化教育，从学生数学素养的发展来看，这一点似乎比单纯地进行数学知识教育更为重要.

3 注重问题解决，发展模型观念的必要环节

《课标2022年版》在“课程目标”中要求学生“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题”.应用意识是重要的数学观念之一，教师在整个数学教育过程中都应培养学生的应用意识.

学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力主要是在解决实际问题的过程中形成和发展起来的.教师要通过“建立模型—解决问题”发展学生的模型观念和问题意识.

案例3饮水机中的学问（青岛版教材）

教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（单位：℃）与开机后用时x（单位：min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时接通电源，水温y（单位：℃）与时间x（单位：min）的关系如图2所示.

（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；

（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？

解析：（1）观察图2发现，y与x的函数图象分两段.水温上升阶段的图象是线段，下降阶段的图象是双曲线在第一象限的一部分.利用待定系数法，求出对应的函数表达式分别是y1=10x+30（0≤x≤7）和y2=700x.把y=30代入y=700x得x=703，即y与x的函数关系式每703分钟重复出现一次，所以在下降阶段对应表达式中，7＜x≤703.

所以y=10x+30，0≤x≤7，

700x，7lt;x≤703.

（2）将y=50代入y=10x+30，得x=2；将y=50代入y=700x，得x=14.因为14-2=12，703-12=343.所以想喝高于50℃的水最多需要等待343分钟.

点评：题目以“饮水机烧水”为背景，符合学生生活实际，属于一次函数和反比例函数的综合运用题.主要考查学生通过建立函数模型，利用函数知识解决实际问题的能力.读懂题意，结合图象正确分析问题是解答的关键.在学习了反比例函数的知识后，可以以此检查学生利用数学模型解决问题的能力，培养学生的模型观念.

学生通过观察图象，很容易判断出该图象对应的函数是一个分段函数.这个分段函数包含两个部分：水温上升阶段的一次函数，下降阶段的反比例函数.利用待定系数法不难分别求得这两段的函数关系式.要确定自变量x的取值范围，必须正确理解“直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序”的意义.这句话的意思是：当水温达到30℃，饮水机开始加热；当水温到达100℃，饮水机停止加热，水温自然下降；当水温降至30℃时，饮水机又开始加热.“30℃加热—100℃降温—30℃加热”完成一个循环周期，重复上述过程.需要根据反比例函数式，求出重复上述自动程序一次所用的时间，即把y=30代入y=700x，得x=703，从而就能确定自变量的取值范围.在解答第（2）问时，分三小步：第一步是根据一次函数式求出上升到50℃所用的时间以及下降到50℃所用的时间；第二步求出这两个时间差，这个“差”就是饮水机中的水温一直保持高于50℃的一个时间段；第三步求“怡萱同学想喝高于50℃的水最多需要等待的时间”，只要用重复一次所用的时间703减去“水温一直保持50℃以上的时间段”就能得到.

在学生学习各种具体方程、不等式以及函数的同时，都要围绕具体的知识，设计一些通过建立相应模型解决的实际问题，这有利于促进学生进一步加深对有关知识的理解，同时让学生感悟到数学应用的普遍性及数学与生活的联系，不断发展学生的模型观念和应用意识.

“四基”是培养学生数学核心素养的沃土，“四能”是发展学生数学核心素养的具体表现.在数学教学中，教师应认真研读教材，精心设计一系列数学活动，引导学生在经历各种活动的过程中，掌握扎实的“四基”并具有“娴熟”的“四能”，为发展学生的模型观念提供坚实的知识基础，然后利用掌握的知识，通过建立各种模型去解决有关的实际问题，不断培养和发展学生的模型观念，从而提高学生的数学核心素养.Z