基于FxTSMC-ESO的永磁同步电机调速系统滑模控制*

林新才,张会林,祝童童,张建平

(上海理工大学机械工程学院,上海 200093)

0 引言

由于永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor,PMSM)具有高功率和小体积等优点,因此广泛应用在机器人和电动汽车等多个领域[1]。目前PMSM的调速系统通常采用PI控制器,但PMSM是一个强耦合的多变量系统,简单的PI控制器难以实现电机的高性能控制[2]。因此需要研究更加高效的PMSM控制方案。

滑模控制因其算法简单、鲁棒性强等优点被广泛用于改进PMSM的调速系统[3]。WANG等[4]采用连续终端滑模控制改进PMSM的调速系统,使得电机在受到扰动的情况下仍能稳定跟踪转速,但存在奇异现象并且抖振问题没有得到明显的改善。陆婋泉等[5]采用饱和函数替代开关函数,在一定程度上削弱了抖振,但牺牲了控制系统的响应速度和鲁棒性。LIU等[6]将自适应算法和非奇异快速终端滑模结合,通过设计自适应率来抵消未知扰动的影响,提升了收敛速度。为了使收敛时间与系统初始状态无关,有学者提出了固定时间滑模控制(fix time sliding mode control,FxTSMC),并且在各领域得到了广泛的应用[7-8]。洪梦情等[9]针对双臂机器人的轨迹跟踪问题,设计了改进的固定时间非奇异终端滑模面与固定时间趋近律,提升了系统的控制性能。

基于扰动观测器(disturbance observer,DO)的控制方法具有鲁棒性强的优点,因此被广泛应用。侯利民等[10]采用扩张状态观测器对转速环和电流环的总扰动进行观测,并将前馈补偿引入控制器,削弱抖振并提升系统的鲁棒性。张会林等[11]将一种分数阶滑模观测器应用于负载转矩的在线辨识,同时结合转速环分数阶滑模控制器,提升了PMSM调速系统抗负载扰动的能力。

为了提升永磁同步电机调速系统的动态性和鲁棒性,本文提出了一种新型的固定时间滑模控制方法。相比于传统的滑模控制器,所设计的滑模控制器不仅实现了状态变量在固定时间内收敛,而且简化了收敛时间公式,同时还解决了快速响应和抑制抖振的矛盾。为了进一步提升系统的鲁棒性,本文还采用一种固定时间收敛的扩张状态观测器对速度控制器的扰动进行前馈补偿,在提升系统抗干扰性的同时减小开关函数增益。最后,通过仿真对该系统的性能进行验证。

1 PMSM的数学模型与基本理论

1.1 PMSM数学模型

表贴式永磁同步电机在d-q同步旋转坐标系下的电压方程为:

(1)

PMSM的电磁转矩方程为:

(2)

式中:ud和uq、id和iq分别为d-q轴的电压与电流,R为定子电阻,Ld和Lq分别为d-q轴的电感(Ld=Lq=Ls),ωe为电机的电角速度,φf为永磁体产生的磁链,pn为磁极对数。

PMSM的动力方程为:

(3)

式中:J为PMSM的转动惯量,B为摩擦系数,ωm为机械角速度。在电机调速系统中,常将负载转矩TL视为扰动,在此采用d(t)表示负载转矩,因此式(3)可变为:

(4)

1.2 基本理论

引理1:假设存在一个系统,该系统的平衡点为零点,同时针对该系统存在一个径向无界且正定的Lyapunov函数V(x)满足如下关系:

(5)

证明:假设有如下微分方程:

(6)

式中:o>0。将式(6)转化为:

(7)

对式(7)两侧进行积分,可得到该系统的收敛时间函数为:

(8)

引理2[12]:针对上述系统,若存在一个径向无界且正定的Lyapunov函数V(x)满足如下关系:

(9)

式中:c>0,0

(10)

2 固定时间滑模控制器的设计

不论是传统的有限时间滑模控制或是固定时间滑模控制,对其收敛时间的分析都较为复杂,具体体现在:其收敛时间的公式往往由某个或多个复杂的多项式构成,如徐驰等[13]分析的收敛时间公式由3个多项式构成,包含12个变量,这些变量会影响调速系统的抖振,过于复杂的公式导致研究人员难以在保证收敛时间较小的同时抑制抖振。

因此,针对以上缺点,本节提出一种新型的固定时间滑模控制器。该控制器由固定时间收敛的滑模面和趋近律构成,并通过分析证明,该方法成功解耦了参数关系,即收敛时间公式仅为两个参数之和,可以在保证收敛时间较小的前提下抑制抖振。

定义PMSM系统的状态变量为:

(11)

式中:ωref是电机的给定转速,ωm为实际转速。

为保证状态变量x1、x2在滑模面上实现固定时间收敛,由单一参数进行调节,同时避免奇异现象的产生,设计的滑模面为:

(12)

定理1:当滑模面S=0时,x1和x2将在固定时间Ts内收敛到原点。

证明:考虑当S=0时有:

(13)

(14)

当S=0时,经过变换得到:

(15)

为了避免控制量出现奇异,基于式(15)得到:

(16)

(17)

由式(11)可知:

(18)

结合式(4)、式(16)和式(18)可知,速度控制器的表达式为:

(19)

定理2:针对PMSM控制模型(4),采用式(19)的控制律,误差变量x1和x2会在t≤Ts+Tc时间内收敛。

(20)

当S≠0时,将ξ1和ξ2的状态空间分成两个区域:

(21)

当(ξ1,ξ2)位于R1内时,Uι=1,从而式(20)为:

(22)

根据引理1可知系统状态将会在时间Tc内到达S=0。

如果(ξ1,ξ2)位于R2,考虑ξ2=0时x2=0,对ξ2进行求导,并将式(16)代入可得到:

(23)

综上可知,系统将会在t≤Tc内达到S=0,之后x1和x2会在t≤Ts内收敛到0。从而t≤Ts+Tc。定理2得证。

综上所述,传统滑模控制通常直接采用速度误差作为滑模变量构建滑模面,本文在此基础上采用嵌套变量,即提取速度误差x1与x2作为第1层变量。其次在速度误差的基础上结合反正切函数,构造第2层变量ξ1和ξ2。采用第2层变量构建新型的滑模面S,并在其内部引入时间参数Ts。通过分析可以证明:第1层变量与第2层变量均可以在Ts内收敛。此外,滑模控制的收敛过程分为趋近阶段与滑动阶段,本文巧妙地通过反正切函数的有界性设计了一种新型趋近律,并且通过引理1证明该趋近律的趋近过程满足固定时间收敛的条件,并且该时间仅由另一个时间参数Tc表示。因此,相比传统的收敛时间分析,本文极大地简化了收敛时间公式。

3 基于扩张状态观测器的扰动估计和补偿

由式(19)可知,滑模控制的控制律包含负载扰动项d(t),若采用观测器观测负载扰动并对控制器进行前馈补偿,以下两个问题会影响滑模控制器的性能:①扰动观测器的观测精度;②扰动观测器的响应速度。因此,为了提升控制器的鲁棒性,缓解快速响应与高频抖振的矛盾,本文采用固定时间收敛的扩张状态观测器对负载扰动进行观测,并前馈补偿至控制器。扩张状态观测器能够在原控制系统的基础上,将扰动和不确定量作为扩张状态进行实时计算,从而精确观测扰动量。

基于文献[14],本文采用一种双幂次固定时间收敛的扩张状态观测器对扰动量进行在线估计,该观测器形式为:

(24)

式中:非线性函数表达式为:

(25)

双幂次扩张状态观测器的收敛性和上述分析的证明见文献[14],关于该观测器,观测误差主要由参数κ1、κ2、a、b、ε决定。通过调整ε的大小可以对收敛精度进行调节,从而达到预期的观测效果,使观测误差趋近于0。

(26)

4 仿真实验

为了验证本文提出的固定时间滑模控制方法的正确性,在Simulink环境内搭建仿真模型,进行仿真实验。选择id=0的矢量控制方法,构建的永磁同步电机矢量控制模型如图1所示。该电机的具体参数如表1所示。

表1 永磁同步电机具体参数

图1 PMSM调速系统结构框图

令电机空载启动,将启动转速设定为1000 r/min。图2比较了3种控制方式的性能。表2给出了3种控制方式性能对比的具体数据。

表2 空载启动时3种控制方式性能对比

(a) 速度波形对比 (b) 电磁转矩波形对比图2 空载启动时的3种控制方式性能对比

从图2可知所提的方法在抑制抖振的同时提高了响应速度,降低了电磁转矩的波动。结合表2可以算出FxTSMC+ESO在空载启动时的转速响应时间分别是FxTSMC、NFTSMC的75.33%和42.21%;FxTSMC+ESO的转速稳态误差分别是FxTSMC、NFTSMC的51.21%和38.89%;同理,由图2和表2可以算出FxTSMC+ESO在空载启动时的电磁转矩波动分别是FxTSMC、NFTSMC的81.82%和64.29%。

为了验证所提控制方法在阶跃负载下的控制性能,令电机空载启动,给定转速为1000 r/min,运行至0.25 s时施加10 N·m的负载,图3比较了3种控制方式的性能。表3给出了3种控制方式性能对比的具体数据。

表3 阶跃负载时3种控制方式性能对比

(a) 速度波形对比 (b) 电磁转矩波形对比图3 阶跃负载时的3种控制方式性能对比

从图3a可知所提的FxTSMC+ESO具有较好的抗干扰性,在加载后能快速地跟踪指定转速,并且抑制了抖振。结合表3可以算出FxTSMC+ESO的速度恢复时间是FxTSMC、NFTSMC的53.23%和38.37%;FxTSMC+ESO在加载后的速度稳态误差是FxTSMC、NFTSMC的51.1%和40.87%;FxTSMC+ESO的速度掉落是FxTSMC、NFTSMC的40.55%和21%;FxTSMC+ESO在加载时的转矩上升时间是FxTSMC、NFTSMC的41.18%和33.33%;FxTSMC+ESO在加载后的转矩稳态误差分别是FxTSMC、NFTSMC的80.65%和64.1%。

为了验证本文采用的扩张状态观测器对控制性能的影响,增加了基于SMO的仿真对比,采用图3a所示的工况。图4比较了两种控制方法方式的性能。表4给出了两种控制方式的具体数据。

表4 阶跃负载时两种控制方式性能对比

(a) 速度波形对比 (b) 电磁转矩波形对比图4 阶跃负载时的两种控制方式性能对比

从图4a可以看出,由于采用了固定时间收敛的扩张状态观测器对控制器进行补偿,使本文提出的控制器在提升响应速度的同时抑制了高频抖振。结合表4可以算出FxTSMC+ESO的速度恢复时间是FxTSMC+SMO的97%;FxTSMC+ESO在加载后的速度稳态误差是FxTSMC+SMO的75.8%;FxTSMC+ESO的速度掉落是FxTSMC+SMO的52.9%;FxTSMC+ESO的转矩上升时间是FxTSMC+SMO的63.6%;FxTSMC+ESO在加载后的转矩稳态误差是FxTSMC+SMO的90.1%。

图5对比了两种观测器的观测性能,从局部放大图可以看出SMO曲线具有较大的抖振,响应时间为0.254 s,且观测误差大于0.2 N·m;而ESO较好地抑制了抖振,响应时间为0.25 s,且观测误差小于0.01 N·m,表明了ESO具有良好的跟踪性能。

图5 观测器性能对比

5 结论

为了提高永磁同步电机调速系统的动态性,本文提出一种新型的固定时间滑模控制方法,相比现有的滑模控制,该控制方法简化了收敛时间公式,因此可以在抑制抖振的同时快速收敛。为了进一步抑制抖振,本文在所设计控制器的基础上,采用固定时间收敛的扩张状态观测器对速度控制器的扰动进行前馈补偿,提升了调速系统的鲁棒性。仿真结果表明,所提方法有效地提高了系统的响应速度,抑制转矩抖振,提高对外部负载的抗干扰性能。