感受有理数中的思想方法

⦿ 广西百色市田阳区实验中学 李肖华

数学思想方法是数学学科的精髓,它蕴含在数学知识中,只有领悟了数学思想方法,才能真正体会数学的奥妙,才能触摸到数学的灵魂.掌握数学思想方法,有助于学生形成数学素养,在学习“有理数”时,主要有下面一些数学思想方法.

1 数形结合思想

借助数形结合思想,能达到形象地理解、认识、处理代数问题的目的.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形无数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”在数学中,数与形是我们主要的研究对象,它们的联系十分密切,且在一定条件下,数与形能互相转化,相互渗透.在“有理数”的学习中引入数轴,就是数形结合最简单的实例,用数轴上的点表示有理数,使学生对相反数、绝对值的意义有更直观的理解,也给学生比较有理数的大小提供了直观的方法;同时,用数轴来解释有理数的加法与乘法,学生也易于接受和理解.

图1

(2)因为a与-a互为相反数,b与-b互为相反数,c与-c互为相反数,所以在数轴上表示它们的位置如图2所示.因为数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大,所以c

图2

例2如图3,观察数轴,我们发现：数轴上表示3和2的两点之间的距离是1;表示-2和1两点之间的距离是3;一般地,数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．

图3

(1)如果|x+1|=2,那么x=______;

(2)若数轴上表示数a的点位于-3与5之间,则|a+3|+|a-5|=______．

分析：(1)先把绝对值内部化为差的形式,然后根据|m-n|表示数m和数n的两点之间的距离,在数轴上找到与表示-1的点距离为2的点;(2)将绝对值内部化为差的形式,在数轴上把数a放在-3与5之间,求两个距离和.

解：(1)|x+1|=|x-(-1)|=2,它表示数轴上表示数x和-1的点之间的距离是2.如图4,观察数轴可以发现表示-3和1的点到表示-1的点之间的距离是2,所以x=-3或1.

图4

(2)|a+3|+|a-5|=|a-(-3)|+|a-5|,这个式子表示数轴上表示数a和-3两点之间的距离,与数轴上表示数a和5的两点之间的距离的和.如图5,当表示数a的点在-3与5之间时,这两个距离和为8,所以|a+3|+|a-5|=8.

图5

点评：与绝对值有关的计算问题,可以利用绝对值的代数意义求解,解答过程比较麻烦,但借助数轴,运用数形结合思想,解答非常简单,有利于学生理解和掌握,这或许就是数形结合的魅力吧.

2 转化与化归思想

转化与化归思想,就是将一个复杂的问题转化为一个简单的问题,或者将新问题转化为旧问题,将陌生的问题转化熟悉的问题,从而实现问题的简单化处理.在有理数的运算中,处处体现了化归思想,如将减法转化为加法,将除法转化为乘法,将乘方转化为乘法,在确定运算结果时,先确定符号再确定绝对值,将有理数运算转化为正数运算.

例3计算下列各式：

分析：(1)按有理数减法法则运算;(2)按有理数除法法则运算;(3)按有理数乘方法则运算.

解：(1)-24-7=-24+(-7)(将减法转化为加法)=-(24+7)(将有理数运算转化为正数运算)=-31.

(3)(-2)3=(-2)(-2)(-2)(将乘方转化为乘法)=-(2×2×2)(将有理数运算转化为正数运算)=-8.

故原式=300．

在上述解法中,你认为哪种解法是错误的．请你选择正确的解法解答下列问题：

分析：乘法有分配律,但是除法没有分配律,所以解法一是错误的.解法二是先算括里面的,再算括号外面的;解法三是先算原式的倒数,再得原式的值.

解：因为除法没有分配律,所以解法一错误.

点评：解答数学问题的过程是将问题不断转化的过程,这种化归思想将伴随学生整个数学学习过程,即将学习的代数运算、方程与不等式的求解都涉及转化与化归思想的运用,在教学中,要引导学生不断体会这种数学思想.

3 分类讨论思想

分类讨论是指当一个问题难以用统一的方法去解决时,将研究对象按一定的标准分解为几个小问题,然后逐一解决,通过小问题的解决从而实现大问题的解答.实际上,分类讨论是先将问题“化整为零”,再将问题“积零为整”.有理数中,绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.有理数的乘法法则：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数与0相乘仍得0.这些都是分类讨论.

例5若|x|=3,|y|=5,且xy<0,求2x+y的值.

分析：根据绝对值的意义,分别求出字母x,y的值,再根据它们的乘积为负,得到它们异号,进而确定x,y的值,代入代数式2x+y求值.

解：因为|x|=3,|±3|=3,所以x=±3.同理|y|=5,|±5|=5,所以y=±5.因为xy<0,所以x,y异号,因此x,y的值有以下两种情况：①x=3,y=-5,2x+y=2×3+(-5)=1;②x=-3,y=5,2x+y=2×(-3)+5=-1.

分析：根据三个数和为正,积为负,分析这三个数的正负号可能出现的情况,然后逐一讨论进行计算.

故答案为0．

点评：此题如果没有前面的两个限制条件,最后的结果可能有±4,0三种情况,分类讨论的目的是克服思维的片面性,防止漏解,能使要解决的问题由大变小,由笼统变为具体,从而使问题得以解决.

总之,在学习有理数有关知识的过程中,教师应积极引导学生加强对数学思想的学习和领悟,使学生能从较高的高度去认识数学知识,更本质地学数学、做数学、用数学.