初中几何性质与判定定理教学顺序探析

⦿ 云南师范大学数学学院 赵 洁 孔德宏

图形与几何是义务教育阶段数学课程内容的四个领域之一,初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理[1].笔者在设计“相交线与平行线”单元教学的过程中,查阅不同版本的初中数学教材发现,就平行线的判定与性质而言,人教版、浙教版、冀教版、沪教版、沪科版、北师大版平行线的教学是先判定后性质,而湘教版是先性质后判定.那么,自然会产生一个问题,在命题课教学中是先判定还是先性质?为什么这样编排?判定与性质的顺序能否对调?引发笔者思考.

1 初中几何性质与判定教学顺序对比

平行线的判定与性质是学生初学几何时遇到的重要定理,它们的条件和结论相似,在具体运用时容易混淆.笔者对人教版、浙教版、冀教版、沪教版、沪科版、北师大版、湘教版等七个版本中七年级下册平行线的判定及其性质进行研究[2],发现除了湘教版的编排顺序是先性质后判定,其余六个版本都是先判定后性质,如表1所示.

表1 七个版本平行线的判定与性质教材编排顺序

下面对人教版和湘教版初中数学平面几何判定与性质的教学顺序进行研究.人教版与湘教版初中数学平面几何教材编排顺序如表2所示.

表2 人教版与湘教版初中数学平面几何教材编排顺序

2 几何性质与判定教学顺序分析

2.1 平行线的判定与性质教学顺序

平行线的判定与性质中人教版和湘教版的教学顺序相反,湘教版“图形与几何”部分用变换的观点来研究图形的性质,考虑到初一是学生从形象思维逐步向抽象思维转变的过渡阶段,学生很难接受严格的演绎证明,而先学习平行线的性质,在此基础上进一步证明这些性质,这对学生来讲直观、形象,又易于理解接受.先性质后判定的正向思维将几何的直观性和思维的严谨性有机结合起来,用变换的观点来研究图形的位置关系和数量关系,由此可循序渐进地培养学生的推理能力[3].

数学学习的最终目的是为了解决实际问题,而解题思维的训练正是为了更好地解决实际问题.通过“性质”分析解题的过程是数学思维当中的正向思维,一般先性质后判定,因为这样的顺序是循序渐进的,以免学生在刚刚接触到判定就感觉很复杂.“平行线的判定”和“平行线的性质”,是学生很容易混淆的两个知识点.平行线的判定是由角的“数量关系”来判断两直线的“位置关系”,而平行线的性质则是由两直线的“位置关系”来确定角的“数量关系”,平行线的判定与性质正好因果倒置.对于平行线的判定,两直线平行是结论;而对于平行线的性质,两直线平行却是条件.

因为判定相当于性质的逆运用,所以数学定理通常都是顺用容易逆用难.就人教版而言,平行线的判定及其性质是先判定后性质.对两版教材对应内容进行分析、比较后发现,该内容在两版教材中都是通过动手操作、猜想、验证的过程来掌握平行线的判定和性质.通过这样的训练,可培养学生言之有据的思考习惯,所以笔者认为平行线的判定和性质的教学顺序是可以对调的.

2.2 全等三角形、勾股定理、平行四边形的判定与性质教学顺序

人教版和湘教版中全等三角形、勾股定理、平行四边形的判定与性质的教学顺序都是先性质后判定.“全等三角形”这一章中,首先学习全等三角形的性质——对应边相等,对应角相等,进而利用全等三角形的性质研究全等三角形的判定方法.值得注意的是,在其全等的六个判定条件中,有些条件是相关的.对于这一部分知识的学习,倘若先学习判定再研究性质的话,会显得格外复杂且无据可寻.

图1

在“直角三角形”的教学中,首先通过探究特殊直角三角形三边所具有的数量关系,猜想一般的直角三角形的三边(如图1)也具有如此数量关系,并进行推理与证明(归纳推理),从而得出直角三角形的性质(勾股定理)：a2+b2=c2.而后再通过直角三角形的这一性质来判定一个三角形是否是直角三角形,即直角三角形的判定定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

该内容对应于湘教版八年级下册“1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)”,先通过动手操作得到直角三角形的性质定理,也就是勾股定理,再通过探究得到直角三角形的判定定理,也就是勾股定理的逆定理.

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,这是平行四边形的定义(既是性质也是判定).根据定义探究得到平行四边形的其他性质：对边相等,对角相等,对角线互相平分.要判定一个四边形是平行四边形就要先借助平行四边形的性质来证明平行四边形的判定定理,不能根据平行四边形的定义证明判定定理,因此在这里性质与判定的教学顺序不能对调.

2.3 相似三角形的判定与性质教学顺序

人教版和湘教版中相似三角形的判定与性质的顺序都是先判定后性质.相似三角形的定义(既是判定又是性质)是对应边成比例、对应角相等的三角形是相似三角形.但是判定条件能不能少一点呢?当然能,平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;两角分别相等的两个三角形相似.而相似三角形的性质有对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.要证明相似三角形的性质,实际上是要先用相似三角形的判定的条件,直接用相似三角形的定义就证明不出来,在这里就必须要先学判定后学性质.该内容教学顺序就不能对调.

在以上典型例子的分析中,对于教材内容的编排,性质与判定定理编写顺序不一的初衷是为了便于教师更好地传授知识和学生更好地理解与应用知识.如平行线的判定与性质,人教版和湘教版教学顺序不一,但笔者认为先性质后判定的教学顺序更加符合学生的认知.而相似三角形的判定与性质,不能随便对调教学顺序,因为相似三角形性质的证明中运用到了判定中的相似比这一概念.

3 小结

笔者通过对初中学生认知思维、不同教材版本以及知识本身内在联系进行探究分析后,从两个角度对初中平面几何性质与判定定理的教学顺序做出选择.由于平面几何的直观性,导致研究者思考的角度产生差异,因此有的平面几何知识是先判定后再研究性质.根据皮亚杰认知发展阶段理论,初中学生处于形式运算阶段,在认知思维和已有的认知水平上,其思维在形象理解层面已经开始逐步以抽象逻辑思维为主导方式.在学习平面几何的性质与判定定理时,学生的认知已不再局限于该几何图形是什么,有什么特征,而是会思考当已知哪些条件时能够判断该几何图形有什么结论.因此,对于有些几何知识的学习,在契合学生这种逆向思维的情况下,教与学就变得相对简单有效,所以有的几何知识宜先学判定定理,而后再学性质.