提高运算素养 培养关键能力*——以2022年部分省、市数学中考韦达定理试题为例

⦿ 福建省泉州师范学院附属鹏峰中学 黄志阳

1 问题提出

2019年,中共中央国务院颁布的《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》指出：稳步推进初中学业水平考试省级统一命题,坚持以课程标准为命题依据,不得制定考试大纲,不断提高命题水平.2022年3月,《教育部办公厅关于做好2022年中考命题工作的通知》要求：各地要认真落实依据义务教育课程标准命题的规定要求,不得超标命题和随意扩大、压减考试内容范围,确保依标命题、教考衔接.

《义务教育数学课程标准(2022版)》(以下简称《新课标》)中删除了“一元二次方程根与系数的关系”的星号(*),对韦达定理的要求由“选学”变成了“了解”：知道一元二次方程的根与系数的关系,能通过系数表示方程的根,能用方程的根表示系数[1]145.《新课标》指出,核心素养在初中阶段的主要表现为抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识这九个方面的关键能力.在义务教育阶段,数学的思维主要表现为运算能力、推理意识或推理能力.运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力[1]7-8.

数学运算是最核心、最关键的教学内容之一,因此培养学生的数学运算能力是最基本、最重要的教学任务之一[2]．本文中通过对2022年全国部分数学中考题的梳理,立足韦达定理对提高学生运算能力的常见题型进行剖析,达成学生数学关键能力的培养目标.

2 中考韦达定理的应用试题研究

韦达定理及其运用对提高学生的运算能力有着重要作用,中考中主要以填空题、选择题或简单解答题的形式出现,要求学生根据韦达定理和运算律进行运算,难度适中,吻合课标的要求.

2.1 直接应用

例1(2022湖北·黄岗中考)若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1,x2,则x1x2的值是______．

评析：直接考查韦达定理的应用.答案为3.

例2(2022湖南·娄底中考)若实数x1,x2是一元二次方程x2+x-1=0的两根,则x1x2=______．

评析：直接考查韦达定理的应用.答案为-1.

2.2 结合乘法公式的应用

评析：考查韦达定理的灵活应用.因为x1+x2=-6,x1x2=4,所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=20.答案为20.

2.3 隐藏韦达定理结构的应用

有些题目咋一看似乎跟韦过定理无关,细看就可见端倪,隐藏了韦达定理的结构.

例5(2022山东·滨州中考)若m+n=10,mn=5,则m2+n2的值为______.

评析：考查韦达定理的灵活应用.m2+n2=(m+n)2-2mn=90.答案为90.

2.4 含参数方程的应用

2.4.1 已知方程一根,求参数的值

例7(2022四川·乐山中考)关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两根,其中一根为x=1,则这两根之积为______.

评析：既考查韦达定理的灵活应用,又考查方程根的意义.

A.7 B.-7 C.6 D.-6

评析：既考查韦达定理的灵活应用,又考查方程根的意义.

2.4.2 根据方程两根的关系式,求参数的值

例9(2022湖北·随州中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x1,x2.

(1)求k的取值范围;

(2)若x1x2=5,求k的值.

评析：既考查韦达定理的灵活应用,又考查方程根的意义.

例10(2022湖北·仙桃中考)若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0有两个实数根x1,x2,且(x1+2)(x2+2)-2x1x2=17,则m=( ).

A.2或6 B.2或8 C.2 D.6

评析：既考查韦达定理,又考查韦达定理存在的前提是方程存在实根.

3 韦达定理的教学建议

运算能力不能脱离具体的数学知识而孤立存在,也不能离开其他核心素养而独立发展[3].依托韦达定理抽象的数学结构,能促进学生逻辑推理能力的发展.

3.1 注重学习过程

应该从系统的角度学习知识,置知识于系统之中,着眼于知识的联系与规律,从而深入本质,因为联系和规律就是事物本质的体现[4].在教学中,要把重点放在韦达定理的探究过程,指导学生思考韦达定理的证明过程,不能轻过程、重结论.开展数学教学活动,目的在于在教学过程中培养学生的思考能力、学习能力、知情意行的结合能力、结果与过程的兼顾能力.真实经历体验过程,让认识从感性上升到理性,积累活动经验,这对提高学生的数学抽象、逻辑推理素养有着积极的意义.

3.2 加强变式训练

数学运算应充分利用学生已有数学经验;数学运算材料的设计应注重变式;应注重对数学运算规则的理解;应适当揭示数学运算背后的算理;应注重算法多样化与必要优化.通过对数学运算材料的适当变化,突出与强调其中的不变因素与关键特征,促进学生对相应数学运算的深入理解、牢固掌握与灵活运用[2]．数学运算是解决问题的基本手段.因此要求学生能够明晰运算的对象和意义,理解算法与算理之间的关系;能够理解所运算的问题,选择合理简洁的运算策略;能够通过运算促进数学推理能力的发展.运算能力的提升有助于形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学态度[1].

3.3 关注思想渗透

学习一种数学运算,不仅要学习相应的运算技能,更重要的是要逐步理解与掌握其背后所蕴含的数学知识[2]．从思想上看,韦达定理的学习过程,始终贯穿着整体思想、化归思想和模型思想.把两根和与积看成一个整体,计算出一个简洁的结果,这种整体思想给化简和计算带来了简便;把不同类型的问题,转化为一元二次方程的两根和与积的问题;构造两根和与积的形式,根据模型解决问题,丰富了学生数学运算的手段.数学思想的形成不可能一蹴而就,它是一个动态、螺旋式上升的过程.数学定理揭示了数学规律的不变性,通过对定理的学习,能够促进学生数学思想的形成与发展.

4 结语

将“一元二次方程根与系数的关系”调整为必学内容,要让学生知道利用一元二次方程的根与系数关系可以解决一些简单的问题.用配方法推导求根公式时,要把根与系数关系的来龙去脉讲清楚,而不是强调复杂的计算练习[5].

数学思想方法、逻辑知识在对学生的关键能力,特别是高水平关键能力的形成和发展起着催化和固化作用[6].韦达定理的教学,不宜人为拔高难度,要紧扣通过韦达定理提升学生运算能力这个目标,让学生通过韦达定理的来源与应用,学会利用基本知识、基本技能进行解题,领悟化归、转化思想和模型思想,积累更丰富的基本活动经验,提升关键能力.