基于数学折纸的“综合与实践”拓展课程设计

江苏省无锡市梅里中学(214112) 顾嘉宁

江苏省无锡市新吴区教师发展中心(214027) 浦叙德

1 引言

折纸几何学处于数学、力学、材料、生物学等多个基础学科的交叉领域,是一门充满几何美感的艺术,在服装设计、航空航天、医学等领域皆有广泛应用,符合《义务教育数学课程标准(2022 年版)》中对“跨学科”相关内容的描述. 在跨学科情境中,以折纸为载体进行“综合与实践”数学折纸课程设计,可以帮助学生提高综合应用已有知识解决实际问题的能力,培养跨学科思维,感受数学与生活的紧密联系,提高探究实践的内驱力[1],提升数学核心素养,体会数学学习的乐趣.

本课例以6E 教学模式展开,教学过程分为六个教学阶段: 吸引(情境导入)、探索(折纸探究)、解释(折纸原理)、工程(制作模型)、深化(模型精致)和评价(总结评价)[2]. 教学过程始终坚持问题驱动,结合小组合作探究的方式,充分发挥学生的主体性.

2 教学流程

2.1 情境导入

(1)展示“国际奥利匹克折纸大赛”中的折纸作品,播放视频“进入奇妙的折纸世界”,学生充分感受数学折纸的艺术及美学价值.

(2)幻灯片展示三宅一生的服装设计作品、隔音墙的结构、心脏支架模型、建筑设计中的折叠结构,帮助学生感受折纸在服装设计、航天工程以及生物工程等领域的应用,体会折纸作为建模的起点,推动了各项技术的发展.

2.2 折纸探究[2]

(1)聚焦航天领域中航天器电池帆板的折叠与展开技术(图1),思考折纸模型对该技术的推进意义. 学生发现卫星电池帆板的折叠方式更有利于其快速收展,提高工作效率.

图1

(2)教师介绍“三浦折叠”: 这种折纸方法,是由日本天体物理学家三浦公亮发明,能够使得每个平行四边形结构在折纸展开的过程中,始终保持平坦,不出现弯曲情况. 这种属性为刚性材料制造折叠式表面提供了便利,这也是太阳能电池板所需的.

(3)接下来,请同学们拿出手中的A4 纸,以小组为单位,完成以下操作.

①在方形纸上选取任意点A; ②进行折叠, 在令折叠次数(Q)从1 至n依次增加的过程中,始终保证折痕经过点A; ③以点A为射线端点,沿折痕绘制射线,用实线(凸线)代表示峰线(M),以虚线(凹线)表示谷线(V); ④记录以A为顶点的射线条数,并尝试总结你的发现.

学生活动: 小组代表展示实验结果,教师引导学生绘制表格,并用数学语言总结规律.

2.3 折纸原理

(1)师生总结规律: 顶点在纸张范围内时, 有如下规律:第一,因为每次折叠都经过点A,所以射线条数(P)一定为偶数,这就是均匀度定理. 第二,由于折纸层数不同,每增加一次折叠,折痕数于最小值2 及最大值2n之间波动(n为折叠次数). 第三,峰线(M)谷线(V)二者差值的绝对值都为定值2,即|M-V|=2,这就是著名的前川定理.

(2)教师播放“三浦折叠”教学视频. 学生尝试折纸,并在教师引导下尝试总结折叠的特点.

问题1:“三浦折叠”后的纸张是如何展开的? (答: 沿着对角线展开)

问题2: 纸张展开后,折痕有何特点? (答: 除了两端的边界外,折痕的其余部位都是由全等的平行四边形构成的. 教师补充: 在展开后,折痕呈现的小格子大小和形状都一样,这称之为刚性折叠.)

问题3: 经历“三浦折叠”的纸张,是否满足前川定理? 为什么? (答: 满足前川定理. 因为,从纸张的每个顶点出发,都包含4 条折痕,其中,纸张正反面都有一部分点包含1 条峰线,3 条谷线,峰线谷线之差为2.)

问题4: 纸张折痕在横向及纵向各有何特点? (答: 横向上展现“直线形”,纵向上则为“波浪形”;横纵方向的折痕皆为峰、谷线交替出现.)

2.4 制作模型

学生活动: 观察并制作“三浦折叠”的折痕图(图2、图3),尝试总结折纸步骤.

图2

图3

(1)横向“直线形”叠法: 将A4 纸的短边五等分,绘制平行折痕,并按照“手风琴式”折叠纸张,得到细长纸条;

(2)纵向“波浪形”叠法: 首先,将长边7 等份,并绘制等距平行线;再将右边的三份向左边的四份折过去,然后依次反向进行折叠;

(3)展开折纸,将纵向“波浪形”折痕的调整为全峰线和全谷线,并保证峰线谷线交替出现;

(4)沿对角线抽拉,即完成“三浦折叠”的操作,实现纸张的伸缩与折叠.

2.5 模型精致

(1)强调以尺规作图,确定线段的五等分以及七等分点.

(2)小组互助,完成折纸,并尝试总结折叠失误原因.

学生总结: ①在绘制折痕线时,要保证折痕线间的平行关系;

②“三浦折叠”中的折痕结构应为全等的平行四边形,倾斜角不能折成直角;

③在等分点处,纵向绘制的平行线应有倾斜角,并且需要注意绘制等距折痕,折叠时注意与折痕线的重合度.

教师补充: 生活中的材料进行直角折叠时会有损耗,而进行平行四边形折叠能更好地减小材料磨损,提高材料的耐用程度.

(3)修正完善后,计算并比较纸张折叠后面积的大小,并尝试分析原因.

学生通过“割补法”将折纸分割成平行四边形以及三角形,并利用直尺进行度量,计算二者面积之和. 通过面积比较,发现所取平行线的倾斜程度决定了“三浦折叠”后的面积. 所取平行线的倾斜角越大,折叠的面积就越小,反之亦然.

教师补充: 三浦公亮在进行了大量实验后发现,在倾斜角设置为83° 情况下,可以同时确保收缩展开的便利性,和折叠后的面积最小.

( 4) 请画出折纸示意图, 并计算在倾斜角设置为83°的情况下, 将一张长21cm, 宽15cm 的纸进行“三浦折叠”后的面积与原纸张面积之比(其中, sin 83°≈0.99,cos 83°≈0.12,tan 83°≈8.14).

学生自主思考,小组合作,得到面积比约为1: 25.

师:“三浦折叠”的放缩比为25: 1,后来又由中国的设计师裴浩正改进为81: 1,将小小纸张模型更广泛地应用于生活中的各个领域.

(5)进一步总结完善,并通过数学软件模拟“三浦折叠”的收缩过程.

(6)布置作业: 收集生活中“三浦折叠”的应用示例; 以小组为单位,依据“三浦折叠”模型,设计折纸作品.

2.6 总结评价

引导学生总结回顾整个探究过程,梳理探究脉络,对知识技能、数学思想方法等进行提炼,帮助学生总结回顾、提升思维.

3 总结反思

3.1 打破学科边界,挖掘数学问题

考虑到数学折纸对于生活中许多领域的技术发展具有重要意义,结合学生的年龄特征以及现实基础,本节课筛选了数学折纸中重要的“三浦折叠”法开展教学. 在学生了解数学折纸于生活中的应用后,选择航天领域中航天器太阳能电池板的收缩设计引入问题,依托折纸活动,可以有效激发学生的研究兴趣,并由此引出“三浦折叠”的系列问题,在接下来的课程内容中,着重对该折纸方法展开研究. 交叉与融合已成为这个时代的特点,同样成为数学教育发展的必然趋势[3]. 因此,教师要善于打破各个学科间的边界[4],挖掘真实情境中有价值的内容设计驱动性问题,并在此基础上开展课程教学.

3.2 整合知识方法,解决综合问题

真实的问题情境中,通常包含了丰富的学科知识,以及思想方法. 就本节课而言,渗透了数学中几何、代数等相关知识. 在折纸探究前川定理的过程中,学生能适时补充几何知识,提升代数推理能力. 在模型精致的环节,规范了五等分点以及七等分点的尺规作图方法,真正将课本知识应用于折纸实践;在计算折叠面积比的过程中,将“割补法”以及三角函数的知识做了整合,能够帮助学生及时巩固知识,培养创新精神. 整堂课中包含了数学归纳、图形运动、转化、逻辑推理等数学思想方法. 由此可见,教师要善于整合数学的学科知识与思想方法,以帮助学生搭建解决综合问题的桥梁,提高解题效率.

3.3 深入跨学科问题,提高课堂参与

本堂课首先以折纸在生活中的应用引入,将航天领域中的折纸模型作为问题背景,吸引学生注意,提高课堂参与度.接着,在“三浦折叠”教学的各个环节中,充分考虑到学生的主体性,如总结折痕特征、折纸实践、纠错反思等环节都是在学生自主思考、合作探究中进行的,充分调动了学生参与的积极性. 因此,在“综合与实践”课程中,在同一问题背景下设置好跨学科问题串,在学生活动中,帮助学生循序渐进地思考解决策略,这能够有效提升学生的课堂参与度,提高课堂学习效率.

3.4 感悟数形之美,提升鉴赏能力

从“奥林匹克折纸竞赛”的折纸作品展示到折纸模型搭建的过程中,体现了数学学科丰富的美学内涵,如图形的结构之美、对称之美、公式的简洁之美、思维逻辑之美等. 学生在这样的课程中,能够潜移默化地接受数学美的熏陶,提升其对数学美的鉴赏能力. 因此,通过折纸教学,实现“综合与实践”跨学科主题教学,能够有效地帮助学生剥离数学冰冷、枯燥的外壳,在其主动参与、积极思考的过程中,感悟更为生动的数学之美.