升维思考问题 引领素养发展——从新课标理念下平行线判定的引入谈起

广东省广州市真光中学(510380) 苏国东

广东省广州市南武实验学校(510280) 李 平

1 前言

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》(以下简称“新课标”)提出了素养导向、知识结构、单元整体等教学关键词. 在新课标理念下, 数学教学不仅要关注学生的知识学习结果,更应关注学生在学习过程中提出和分析问题、探究和解决问题的思考方法和思维品质. 引领学生学会升维思考,从更多或更高的维度去理解问题,透过表象洞悉问题本质,形成俯瞰全局的独特思维视角,是促进核心素养发展的重要途径.

2 引入邹议

“平行线的判定”是人教版数学七年级下册第五单元“相交线与平行线”的教学内容,是继三线八角内容之后学习的一个重要知识,是今后学习平行线性质、三角形、四边形等几何知识的基础,更是培养学生数学思维,发展核心素养的重要抓手.

不少人抱怨初中几何最难学的就是添辅助线解决问题,原因是没有洞见添辅助线解决问题的本质,让学生错失了一些学习添辅助线的机会. 事实上,学生在初中几何学习中第一次接触添辅助线解决问题便是在平行线判定的学习之中.对于平行线判定的引入,学生的认知困惑在于判定两直线平行为何需要添加第三条直线? 教材只告诉了学生怎么做,没有说明为什么要这样做. 平行线判定的教学就像初中几何教学的一条中轴线,能体现不同教师的教学理念、探究方法和学习的指导方式.

当站在以发展学生探究能力为本的制高点处便会看到,有的教师为快速完成新知教学, 腾出更多时间做配套练习,直接告知学生添第三条直线进入三线八角模型探究平行线的判定,重应用而轻探究;也有教师要求学生先动手画平行线,在不知不觉中进入三线八角模型的探究,其理念是引领学生去理解动手操作与操作背后的数学原理,完成从实验几何到论证几何的转变;还有教师先引导学生思考学习相交线时为何引出对顶角和邻补角,让学生理解从研究相交位置关系转为研究角的数量关系的几何研究的一般方法,启发学生当探究平行线判定遇到困境时,可考虑将判定位置关系转为研究角的数量关系,从而萌发添第三条线的灵感思路;更有教师大胆放手,给予学生足够的时间发散思维进行开放性探究,对学生探究思路的得失作出精辟点评,这样教师的预设越开放,学生的生成就越精彩!

3 教学实践

笔者在平行线判定的教学中,就以发展学生核心素养为导向,通过巧设导入情境,给予学生提出问题、升维思考的机会,让学生在联系旧知中找到解决新问题的灵感,促成思维的提质.

教师先在平面内画出两条直线,让学生思考用什么方法能判定这两条直线平行. 结果,学生呈现出了令人回味无穷的回答.

生1: 平行就是不相交,可以把图中的两条线延长,看很远处有没有交点.

生2: 可以把其中一条直线平移,看平移后的两直线是否重合.

师: 很直观的想法,但在几何证明中较难操作,能否提出更具操作性的方法呢?

生3: 只有单独的两条直线很难说明它们本身平行或不平行,可能要引入一些工具.

生4: 可以再添加一条直线,根据平行公理的推论,如果它与这两直线都平行,那么这两直线也互相平行.

师: 很有启发,想到添加平行线的方法,但如何说明它与这两直线分别平行, 又回到了如何判定两直线平行的问题.大家继续运用发散思维提出更新的方法.

生5: 可以观察教室的墙壁、黑板、课桌这些长方形图案,它们的对边是平行关系,而邻边则是垂直关系,这启发我们要得到两条平行边,可以借助一条与它们都垂直的邻边来实现. 即作其中一条直线的垂线,如果它也垂直另一条直线,就可以说明原来的两直线平行.

师: 非常巧妙,两直线本身只有四个平角,没有特殊结果,通过添加一条垂线将它们衔接起来,由两个垂直关系得出了平行关系.

生6: 不一定要作垂线,作任意一条与它们相交的直线即可. 回忆用三角板和直尺画平行线的方法. 如图1,直尺可以看作是这条相交线,三角板在移动中保持∠1 = ∠2,则画出的直线与原直线平行.

图1

师: 从垂线到相交线,从特殊直角到一般角,再将角度的数量关系转到直线位置关系,十分精彩. 你能用一句话概括这个判定方法吗?

生6: 同位角相等,两直线平行.

生7: 我发现如果∠1 不等于∠2,就能说明两直线不平行. 如图2,因为此时∠1+∠3 ＜180°,由三角形内角和定理可知两直线在右侧某处会相交于一点.

图2

生8: 这么看来,还可以转化为利用内错角、同旁内角的关系来判定两直线是否平行……

实践点评以上的教学生成相当精妙. 教师妙在肯定学生探究的前提下,不露痕迹地顺应学生给予方法点拨,回归背后如何探索两直线平行的初心;学生妙在发散性的思维探究,将研究直线位置关系转化为研究角的数量关系,从添一条平行线(有想法欠抓手),到添一条垂线(有抓手欠普适性),再到添一条相交线(有抓手有普适性),体现了学生潜意识地将一般性问题转化为特殊性问题,将抽象探索转化为具体研究. 学生切实体验到原来添第三条直线是一个很好的创意.

当学生直面真实问题引发思维冲突时,能从新旧知识结构化的角度分析问题,促进思维发散. 学生的探究思路由无序到有序,教师的反馈时机切中探究支点;学生的互动分析由直观到理性,教师的定位点拨直击探究困惑;学生的迭代认知由现象到本质,教师的精准小结抵达探究本质. 教师的“退”成全了学生的“进”,师生高质量的对话让学生历经了命题学习的完整过程: 发现命题→提出命题→验证命题→证明命题,学生在升维思考中也就生成了许多超越教师的独特见解.

4 进阶感悟

4.1 素养导向,提升认知境界

新课标强调,数学教学要以学生发展为本,以核心素养为导向. 教学片段中,教师没有给出现成的结论或思维指向,只提供了两条直线,学生面对真实问题情境,需要运用已有的数学知识和方法发现、提出、分析和解决问题. 学生从找对研究方向却未找到研究抓手,到找对研究抓手将特殊情况推广到一般情况研究,形成了对直线位置关系的新认识,发展了探究和应用能力,更获得了三个层次的认知境界.

第一层次认知境界, 即学会了用数学的眼光观察世界-——将平行线分解为位置与角度两个维度观察,用数学的思维分析世界——将线的位置关系转为角的数量关系,用数学的语言表达世界——用符号化、图形化的语言表示平行的判定;第二层次认知境界,即感悟到了平行与相交不是绝对的对立关系,它们在特定的变化条件下能够互相转化,如研究相交关系的思想方法启发研究平行关系,平行关系运用相交关系表征;第三层次认知境界,即学会了从动静结合、数形结合的角度进行升维思考,将解题方法实操化,解题策略具体化.

4.2 升维思考,发展高阶思维

著名教育家布卢姆将认知领域的教学目标分为认知、理解、应用、分析、评价、创造等六个层次,其中认知和理解属于低阶思维,应用、分析、评价和创造属于高阶思维. 高阶思维是核心素养的关键词,升维思考则是能将学生带向高阶的思维方式.

真正的发现之旅不在于寻找新的景观,而在于拥有新的眼光. 添辅助线解决问题的本质就是升维思考问题. 当学生停留在认知和理解层次,用位置关系研究位置关系的一维视角难以解决判定平行的问题;当学生上升到应用层次,结合真实情境添加垂线,进入了从一般到特殊的动态探索;当处在分析与评价层次时,学生又从特殊到一般添加一条相交线进入三线八角模型, 从线的位置关系转向了角的数量关系,从研究形的维度升级到研究数的维度,从研究位置关系单维度升级到研究“数量+位置”关系双维度来思考问题;当到达创造层次,学生从多维视角又产生了用内错角、同旁内角判定平行的想法. 最终,学生领悟到研究平行线判定固然重要,但为何这样研究平行线判定更重要;研究图形判定与研究图形性质的一般方法固然重要,但发现两者方法具有思维类比性和思维互逆性更重要.

4.3 把握核心,构建单元教学

契合新课标理念,紧扣本单元的核心——位置关系,深挖数学知识的内在逻辑联系,体现学习内容与核心素养的关联,可以进一步构建单元整体教学. 在单元整体教学视角下,章起始教学“相交线生成对顶角和邻补角”已蕴藏了位置关系转为数量关系的研究契机,即开启了平行线判定中添加第三条线的研究思路;添加第三条线的思路对于解决章末拓展教学“平行线的拐点问题”又有所启示,拐点问题即是将第三条线换作折线。

如图3,当学生从线的维度思考,将拐角还原至180° 的情形, 即可添加延长线AB解决问题;而从平行的维度思考, 分解出两组两线平行的图形, 即过拐点添加平行线AC解决问题. 这为单元整体教学的设计与实施指明了方向.

图3

如图4,在本单元整体教学实践中,教师应有意识地鼓励学生从知识结构化的角度多提问题,升维思考,让学生能从动态的角度考量两直线的位置关系,把握单元知识核心;在研究两线相交时能转化为研究四角的数量关系,从一般到特殊地研究垂直关系,从两线到三线研究八角的关系;在研究两线平行时,能受其启发产生添加第三条线的思路,生成平行线的判定与性质;在研究拐点问题时能站在不同维度思考,巧添辅助线解决问题;最后通过归纳总结,学生能深刻体会单元知识的整体联系,掌握单元学习的基本套路: 两线位置关系→分类为相交与平行→判定与性质→应用与拓展,为后续的平移、三角形、平行四边形等几何图形的学习提供了研究方法的思路支撑、思想方法的研究范式,以及几何图形的分析框架.

图4