从自主学习到融会贯通

王国民

摘 要：高度的抽象性和概括性是数学概念最为显著的特点，而这也正是数学学科学习难的根本原因，对于小学生来说，其抽象逻辑思维并未完全成型，还处于由具象思维转变过渡的阶段，这就对数学概念的教学提出了更高的要求，教师要尽可能地避免符号化的教学，所谓的符号化教学，就是模式化的阐述数学概念的含义，但这样的教学是无法满足教学需求以及学生的知识掌握的.作为数学学科的学习基础，概念的理解和掌握是十分必要的，要通过数学概念教学发挥学科的育人作用，为此数学学科要不断地推动学生的知识融会贯通.

关键词：小学数学；数学概念；意义；构建

当下即使数学学科进行了教育改革，但其仍然存在较大的问题，绝大多数的数学概念课程为了发挥学生的自主学习性，变成了学生自学课程，教师的领导和帮助作用十分微弱，甚至部分教师严重的忽视了数学概念的学习的重要性，而过于注重解题技能这一学习技能的培养和加强.针对这一现象，我们需要深刻的思考和研究，将数学概念课程的立德树人的教育效用进行落实，不断地提高学生的学科综合素质，提高其数学思维.在这里对数学概念教学进行具体的阐述，内容如下：数学概念教学主要包括三个部分，分别是概念的引入以及内涵的外延和概念应用.对于抽象性的数学概念，除了基础的记忆以及模仿，更要加强学生运用数学概念进行自主探究和学习的实践能力，不断地提高学生的数学经验，增强其数学思维。这就对教师的数学概念课程的教学和改革创新提出了更高的要求，需要不断地通过数学问题驱动课程推进.

1 数学概念教学的意义——自主学习的基础

对于概念这一名词的解释，在不同的领域有不同的阐述.就哲学层面来说，所谓概念就是对于事物的本质特征，人脑做出的反映.作为思维的基本单位，要对事物进行判断和推理，就必须形成一定的概念.而聚焦到数学概念这一名词，可以说，数学概念是展开一切数学研究的起点和基础，一切数学问题的判断、推理、计算以及证明都需要依靠针对性的数学概念，因为数学概念是所有数学知识的基石以及思想方法的载体.但需要注意的是，概念学习并不是数学学科教学的最终目标，对于概念的形成过程，以及历史的发展和最后在实际数学问题的解决过程中的实践运用更是教学的重点，这是为了更好地帮助学生构建完整科学的数学知识体系，加强其数学思维的培养和锻炼，获得全方位综合性的发展与提高.

2 数学概念教学的问题——学习中的困难

传统的数学教学往往根据教材所制定的步骤和方式来，简单概括来说就是通过定义、性质、定理、应用这四个步骤进行演绎和呈现，这样的教学步骤在一定程度上能够有效地帮助学生形成系统的知识框架和结构，主要是因为能够帮助学生在建立标准化的知识和概念架构后再展开数学问题的解决，再在解决问题的过程中加深对数学概念的理解和掌握，但其也存在不可忽视的缺陷和问题，简单来说，就是打击了数学概念教学活动的生动性和鲜活性，对于这些数学概念的来源以及规定的原因并没有进行详细的解释和说明，学生会感到不知所云，这样的教学形式早就有所定义，荷兰的数学教育家弗赖登塔尔提出的“教学法的颠倒”说的就是这样的教学形式.通过调查实践发现，我国数学学科的概念教学主要分为三种形式，首先是急功近利式，具体来说就是通过反复的练习和训练不断地提高学生的数学成绩，以完成应试教育.第二种方式则是直接投予式，教师掐头去尾的直接阐述这些数学概念.最后一种方式则是大容量训练式，顾名思义，就是通过照本宣科式的讲解和大量的数学练习题辅助，达到数学概念记忆的教学目标.这三种教育方法的本质都是为了提高学生的数学成绩，但都忽视了数学概念的理解以及教学.这样的形式最后导致的结果就是学生也并没有意识到数学概念学习的重要性，甚至在进行数学问题解答的过程中，也只是通过机械的模仿来达到目的，一旦出现新的提醒或是情况就一片空白无从下手.而且相较于新型的概念教学，传统的解题教学需要花费学生大量的时间和精力进行大量的习题练习，但最终达到的教学和育人效果都不尽人意.

3 数学概念教学的方法——自主学习到融会贯通的策略

通过专业的研究和调查，对于数学概念的认知和获取，可以通过两种方式来达成，即概念形成和概念同化.对于具体的事物或者专门的例子的概括，可以通过概念形成的方式来达到概念的认知和获取，而概念同化主要针对的对象是相关知识架构中的某一个旧的概念，通过旧概念来衍生出新概念的认知.概念形成的主要过程分为五个步骤，首先需要区别同一类事物的不同例子，接着对每个例子的本质进行概括，再将这些本质的属性和认知与已有的知识框架进行联系和区分，以不断地完善自身的认知结构.而数学概念的学习需要不断地进行衍生，完成第三个步骤后将已有的认知属性推广到更宽的范围，以达成新概念的外延，最后就是对已有的认知结构的优化.同样的，概念同化也需要完成五个步骤来达到教学的目的，首先，对于某一个数学概念的关键属性进行明确，并且对其进行定义和符号化，第二部就是将这一概念所有的特点和特例进行阐述；接着也是将这一概念的本质属性融入已有的认知框架当中，进行知识的融会贯通，从第四步开始概念同化与概念形成之间的差别就进行了显现，概念同化的第四步需要明确肯定以及否定的例证，对概念进行分化，最后再将有关联的概念进行重新连接，以形成一个完整的知识框架体系.

总而言之，两种学习的方式需要进行配合和联结，在概念形成和概念同化的过程中，学生能够更好地明确实例中所蕴含的概念的相关属性，并且对问题进行分析以及概括，以保证更加科学合理的数学知识体系的构建和完善.

4 以“生活中的比”教学为例——自主学习到融会贯通的实践

要想更好地体现学生数学概念的构建的意义，教师就需要在进行教学设计的过程中精确的把握数学概念的本质，以更好地完成教学路径的设计，不断地改造和重新构建教学的课堂.

4.1 理解把握“比”的数学本质

这里所说的数学概念的学习，除了基础的概念定义的记忆，以及理解外，还包括了相关数学概念本质属性的掌握以及运用.这也在一定程度上提高了教师的专业教学要求，教师需要充分的掌握和了解相关数学概念的本质以及其发展的过程，以更好地完成教学方案的设计和教学路径的规划.在这里需要重点地强调“比”这一数学概念的数学本质.教材中对于“比”的概念阐述更趋向于做数的除法，二者之間的本质并没有进行区分，但这显然是不全面的，对此，本文将详细地阐述“比”的本质.

（1）“比”的历史发展.对一个数学概念的理解和认知，首先需要从其发展的历史和过程入手，在这一数学概念出现的最初，其没有被用作于数学计算中的除法运算，更倾向于几何数学中量之间的关系的描述，也就是说度量的本质就是比较.在几何中的比是两个同类的量之间的度量，使用一个量的标准去推算另一个同类的量.而其逐渐地运用于计算领域当中，是因为部分数学家，例如约翰·沃利德用其进行了倍数关系的描述.说到底，比较就是产生“比”这一数学概念的根本前提和原因，不管是几何层面还是算术领域，“比”都有着比较和度量的功能.

（2）“比”的数学本质.上文说到，“比”最初运用于几何表达，因此其数学本质并不是所说的除法运算，其范围更加的广阔，是两个数量，可以是两个量或者数之间倍数关系的呈现，教师可以通过将教学与生活进行连接，帮助学生更好的理解这一数学概念的产生以及其所蕴含的数学本质.

4.2 调查学生已有经验

一切数学教学活动展开和完成的基础条件就是学生的已有知识和相关的活动经验，因此，教师在进行教学活动的设计时，需要围绕学生的具体学习情况和知识内容来进行，并且充分的考虑教学课题中的难点以及重点，设置科学有效的教学情境.

关于“比”这一数学概念的教学，教师需要从多个层面，包括教材逻辑、自我经验、教师团队经验以及自测练习调查等进行充分的调查和分析，在此基础上进行教学问题的设计，问题如下：提到“比”，你第一反应会想到什么？在生活中你在哪里听到过比呢？你能写出一个比吗？

将一个班级49名学生作为调查的对象，针对上述所提的三个问题，最终的结果如下：提到“比”，所有的学生想到的都是同类量的相比，而绝大部分学生的认知是大小以及多少这种相对的度量之间的比较，只有少部分的学生想到了倍数之间的比较，这样的结果表明，对于比的认知，学生更多的来自于日常的生活经验.针对第二个问题，所有的学生都提到球类比赛的比分，而还有18.4%的学生听说过盖房屋时沙、水泥和水三者的比；22.4%的学生听说过煮米饭水与米的比，讲述了建造时的水泥以及沙石之间混合的比例，同样的，煮饭时放入的水和米的比例也是学生提到的答案，结果表明，球类比赛之间的比分为绝大部分学生认知，但对于生活实践中出现的比例问题所蕴含的数学意义认知较少.对于最后一个问题，超过90%的学生都写出了至少一个比的例子，部分学生甚至能够举出详细的生活案例，但仍然存在写不出比这样的情况.

总而言之，学生对于同类量的比存在一定的认知，但若是将比的对象换成不同的量，则存在一定的认知困难，此外，在日常生活实际中获取数学相关概念知识的能力较弱.

4.3 数学概念的意义建构的学习路径

教师需要重视“生活中的比”这一课题的教学，在进行教学方案和材料的设计时，需要充分地考虑学生的数学知识储备以及“比”这一数学概念的发展历程和数学本质，以更好地完成学习路径的明确和规划.这里提到了“学习路径”，顾名思义就是展开教学活动过程中，学生学习的路径以及序列，需要教师根据明确的教学目标和针对性的教学内容进行学习策略的设计，因为学生需要根据明确的学习策略展开学习进程.总而言之，教师与学生需要进行配合，通过统一的学习路径，以完善“教”与“学”之间的关系.

除此之外，准备充足的引发学生思考的教学材料也是展开“生活中的比”教学必不可少的，对于学生来说，要想充分理解“比”这一数学概念的本质，还存在一定的差距和困难，而这些差距也正是教师突破教学进行创新的根本和灵感.

5 结束语

综上所述，学生已有的数学经验和概念认知都是教师在进行教学创新和改进需要充分了解的基础前提，以更好地完善教学材料的设计与准备.对于相关的数学概念的讲解，需要从其历史的演变以及来源入手，对其进行分析比较，通过分类和甄别等多个步骤以更好地明确数学概念本质，以及不同概念之间的关系，从而完善学生知识框架的构建和数学核心素养的提升.

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