基于理性思维发展的数感培养路径分析

胡连成 王国强

【摘 要】通过梳理人们对数感内涵解读的不同视角和结构模型，从教学实践出发，提出基于理性思维发展的数感培养路径：以真实情境为基础、以问题思考为载体、以思维发展为旨归。通过积极的思维活动，实现对数与数量、数量关系及运算结果的认识和理解，在直观感悟和理性思考中发展“数字意识”和“数学态度”，实现数感素养的培养；并通过反思质疑、批判创新，提升学生思考问题的意识和能力，实现理性思维的发展。

【关键词】初中数学；核心素养；情境问题；理性思维；数感培养；无理数

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）46-0033-05

【作者简介】1.胡连成，江苏省丰县梁寨镇梁寨初级中学（江苏丰县，221741）教师，正高级教师；2.王国强，江苏省盐城亭湖新区初级中学（江苏盐城，224002）教师，高级教师，江苏省教学名师。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）对核心素养的内涵解读概括为“三会”：会用数学的眼光观察现實世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。［1］5-6其目的在于培养学生的理性思维，以形成终身发展所需要的核心素养，实现课程育人。其中，“数学的眼光”主要表现为：抽象能力、几何直观、空间观念与创新意识，其中抽象能力包含数感、量感、符号意识等。什么是数感？数感具体表现在什么方面？如何培养学生的数感？要厘清这些问题，需要从人们对数感的认识发展历程中去寻求答案，并从中探寻培养学生数感的路径。

一、数感的内涵解读

数感一词是从“number sense”翻译而来，这是美国数学家托比亚斯·丹齐克于1954年首次提出，他认为数感是对集合数量变化的辨识能力。后期演变为两类不同观点的定义：一类是行为取向观，关注数感表现的系列外显行为，认为数感是个体对数和运算的一般理解，并运用其做出数学分析和解决问题情境中的数字及运算问题；第二类是认知取向观，侧重分析数感形成过程中的心理发展变化，把数感内部认知理解为数感外显行为形成的主要原因。［2］

（一）理解视角

中外学者对数感内涵进行了不同角度的解读，概括起来大致可分为三种视角：（1）直觉能力视角，认为数感是人脑对数学对象的直觉，是一种“数学感”，是认知心理学中的一种“无意识”加工；（2）活动感悟视角，认为数感是对数的一种感悟，是由外界刺激产生的“感”而后在头脑中形成“悟”的思维，具有感知和领悟的双层属性；（3）态度意识视角，认为数感是一种独立理解和使用数字的态度和意识，把“数感”理解为“数字意识”或“数学态度”。这三种理解视角存在着一定的内涵关联性，分别指向了数感的形成基础、培养过程和目标指向。［3］（见图1）

[数感] [活动感悟][直觉能力][基础] [过程] [态度意识][目标]

图1 数感内涵分析

（二）结构模型

相关专家根据各自对数感内涵的解读，提出了不同的数感结构模型。如美国数学教育家麦金托什提出了数感的三成分模型结构，认为构成数感的基本成分是数、运算和情境。在此基础上，山西大学霍雨佳等提出了四面体数感结构模型，认为数感是数、运算、估计和情境组成的整体系统，数、运算、估计是情境中的基本要素，情境使其得到了融合与统一。［2］江苏省盐城市初级中学王成刚和江苏省盐城亭湖新区初级中学王国强从数感素养培养的角度出发提出了“四基指向为基石、问题指向为载体、思维发展为目的”的数感三层培养模型结构。［4］

二、“情境—问题—思维”视角下的数感培养路径分析

根据以上分析可以看出人们对数感的认识有着一定的连续性和发展性，均重视在现实情境中发展学生的数据意识和数据观念。正如新课标中提出：数感培养要在真实情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序；能在简单的真实情境中进行合理估算，作出合理判断；能够体会和表达事物蕴含的简单数量规律。［1］7针对学生数感的培养，本文基于教学实践，提出了“情境—问题—思维”视角下的培养路径，强调以真实情境为基础、以问题思考为载体、以思维发展为旨归，重视学生核心素养的养成。教学中通过创设问题情境，引发学生的认知冲突，形成数学核心问题，并基于核心问题设计问题链，在系列问题的探索中培养学生对数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟和理性思考，以形成用数学的眼光审视问题的意识和态度，并指向学生思维能力和理性精神的提升。下面笔者结合“认识无理数”的教学加以阐述。

“认识无理数”是苏科版数学教科书七年级上册“2.2有理数与无理数”的教学内容，本课时教学共分为两个环节。一是“归纳有理数”，通过分析学生已经学习的整数、分数、有限小数和无限循环小数的关联，归纳有理数的内涵指向（有限小数和无限循环小数）及形式结构（能够写成分数的形式[mn]，其中m、n为整数，且n≠0）。二是“认识无理数”，通过真实的问题情境揭示无理数的客观存在，并结合分析其“无限不循环”的内涵特征，形成无理数的概念。

（一）在真实情境中引发数学思考

数学源于对现实世界的抽象，是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，以帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。［1］1如何开展有效的数学教学，以引领学生深度思考，实现对现实世界的认识、理解和表达，是教育工作者应予以关注的重要问题。新课标提出了能引发学生思考的三条教学建议，其一就是“强化情境的设计和问题的提出”［1］87，指出在教学中要围绕教学任务和学生的认知结构、认知心理，准确定位学生学习最近发展区，据此设计真实情境，学生在情境思考中引发认知冲突，形成数学问题，在激发学习动机同时培养问题意识。

1.教学片段一

问题1：图2是两个面积为1的小正方形，你能否拼成一个面积为2的大正方形？

学生独立思考后小组交流，并展示拼图成果。（如图3）

[图2  面积为1的正方形][图3  面积为2的正方形][1][1][1][1] [a][1][1][1][1]

问题2：小正方形和大正方形的边长分别是多少？

生1：由于小正方形的面积是1，所以小正方形的边长为1；大正方形的面积是2，我不知道哪两个相同的数相乘等于2，所以求不出大正方形的边长。

2.案例分析

无理数的学习标志着学生的知识结构从有理数范畴拓展到实数范畴，是一次重要的数系扩充。由于学生对数的认识是从现实生活需求出发，遵循“自然数→整数→有理数→实数”的脉络不断拓展和丰富。学生对有理数的认识是具象可感的，是可以“数出来”“量出来”的，但无理数是抽象的、“想出来”的，以学生现有经验的有限性去认识无理数概念的“无限性”［5］，存在理解上的困难。因此，对无理数的认识要从现实需求出发，让学生直观感知其客观存在性。所以笔者设计上述问题情境，让学生在实验操作中引发思考，当原有的有理数知识无法给出答案时，产生了认知冲突，生成了核心问题“面积为2的正方形的边长是多少”，实现了问题对探究的引领和思维的启迪。

（二）在问题思考中培养数感素养

数感素养的培养需要在情境问题的思考中，通过感知、估算与判断理解数的意义和数量的关系，体会其间蕴含的数学规律，感知数学表达的简洁与精确。教师在教学中要基于认知冲突形成的核心问题，利用递进、变式、类比、引申、逆变等方式，以相应的数学思想为指导，构建具有逻辑关联和开放度、生长性的问题链［6］，使得学生对问题深度思考与思维充分表达的过程中，实现对数感素养的培养。

1.教学片段二

问题3：面积为2的正方形的边长a是整数吗？

生2：由于1×1=1、2×2=4，所以面积为2的正方形的边长应该介于1和2之间，不是整数。

问题4：a是分数吗？

学生出现思维困境，师生讨论后形成如下思考路径。

（1）从特殊化思考

因为[32]×[32]=[94]＞2，所以a≠[32]；因为[43]×[43]=[169]＜2、[53]×[53]=[259]＞2，所以a≠[43]、a≠[53]；因为[54]×[54]=[2516]＜2、[64]×[64]=[32]×[32]＞2、[74]×[74]=[4916]＞2，所以a≠[54]、a≠[64]、a≠[74]。

…………

猜想：a不是分数。

（2）一般化证明

令a=[mn]（m、n是没有公因数的整数，且n≠0），则a·a=[mn]·[mn]，又知a·a=2，所以[mn]·[mn]=2，故m·m=2n·n，所以m为偶数。设m=2s，则2s·2s=2n·n，2s·s=n·n，可知n也为偶数，则m、n存在公因数2，与已知相矛盾；故a≠[mn]（m、n是没有公因数的整数，且n≠0），所以a不是有理数。

问题5：a有多大？

生3：根据前面分析可知，1＜a＜2。

师：是否可以更精确些？

生4：因为1.4×1.4=1.96、1.5×1.5=2.25，所以1.4＜a＜1.5。

师：利用这位同学的方法是否可以得到更精确的近似值？

生5：因为1.41×1.41=1.9881、1.42×1.42=2.0164，所以1.41＜a＜1.42。

…………

师：我们利用逐渐逼近的方法可以得到a≈1.414213562373…，它是一个无限不循环小数。我们把这样的数称为无理数。

2.案例分析

认识无理数，不但需要用直观刻画抽象，让学生在真实情境中认识其客观存在性；还需要用具体刻画一般、近似刻画精确，让学生体会到有根据的数的“感觉”。“教学片段一”解决了第一个问题，“教学片段二”就要回答第二个问题。所以上述教学从两方面开展问题探索，一是根据从特殊到一般的思维发展路径揭示了a的不可公度量性，说明其不是有理数，二是利用逼近的思想得到a的动态近似值，说明其具有无限不循环特性。教师在教学中要关注学生在问题引领下的积极思维活动，在真实的思维加工中实现对无理数的认识从“感觉”到“感悟”再到“理性分析”的抽象建構过程。在真实情境中的合理估算与理性判断，既有定性分析也有定量刻画，既有直观感知也有抽象分析，让学生在感悟与思考中形成积极的“数字意识”和“数学态度”，实现数感素养的提升。

（三）在数感培养中发展理性思维

数感培养的目的在于通过思考问题的过程发展学生的理性思维。理性思维是一种注重反思质疑、批判创新、追求自觉的思维方式。具体表现为：（1）数学的思维，理解和掌握基本的数学思想和方法，能运用数学的方式观察、思考和表达实际问题；（2）尚真的追求，重视事实和证据，具有主动的实证意识、严谨的尚真态度和不懈的探索精神；（3）理性的自觉，重视问题意识的培养和反思能力的养成，在问题思考中通过主动的审视与反思、自我的监控与调整，达成由具体的数学知识和方法的学习拓展到一般性思维策略的提升，实现理性的思维自觉。在这三方面的维度中，“数学的思维”是基础，“尚真的追求”是保障，“理性的自觉”是旨归，三者互融共生，在积极的问题思考中使得理性思维的发展得以实现。

基于数感培养的理性思维发展需要通过在真实情境的问题思考中，合理运用直观思维与逻辑思维，以认识事物的本质、规律和关系。在“认识无理数”的教学中，笔者利用数学情境中边长的计算引发认知冲突，形成核心问题，激发学生求真的追求，实现思维的定向。面对核心问题“面积为2的正方形边长是多少”，通过回顾有理数的内涵和形式，有针对性地开展问题链探索。通过从特殊例子到一般思考、从数学归纳到代数推理，结合夹逼思想的定量刻画过程，在实现数感素养发展的同时达成一般性思维策略的提升。（见图4）

基于数感素养培养的数学问题情境教学需要在课堂活动中适度“留白”与和谐“容错”，在问题的积极引领下，学生通过“静静思考”和“充分表达”的过程，完成思维的内化与外显。［6］在思维的定向、内化和外显的三部曲中，学生对无理数的认识实现从模糊到清晰、从感性到理性的提升，在发展数感素养的同时形成基于自我理解的态度和意识，并通过对问题解决过程的回顾和反思，实现知识建构、方法融合、思想领悟和思维的自觉，借助“数学的思维”过程实现“通过数学学会思维”的目的［7］，达成理性思维的发展。

【参考文献】

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022．

［2］霍雨佳，郭威，杨新荣.国外数感研究评析及启示［J］.课程·教材·教法，2015，35（2）：117-121．

［3］肖婧钰.七年级学生数感培养现状的调查研究［D］.合肥：合肥师范学院，2022：8-9.

［4］王成刚，王国强.三层结构：初中生数感培养的新路径［J］.数学教学通讯，2021（5）：3-4，18.

［5］王红权.怎样教好无理数［J］.数学通报，2018，57（6）：18-22.

［6］胡连成.基于“情境—问题—思维”视角的数学深度教学［J］.中学数学月刊，2022（6）：9-12.

［7］郑毓信.数学深度教学的理论与实践［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2020：162.

本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点资助课题“初中生数感培养的障碍成因及对策研究”（B-a/2020/02/59）、徐州市教育科学“十四五”规划课题“深度学习视域下问题情境教学的实践研究”（GH14-21-L495）阶段性研究成果。