隐含条件在不等式解题中的应用与探索

摘" 要：通过在具体例题的解题研究中发掘隐含条件，包括从概念、图形、公式等方面入手，分析题设特征，运用数形结合等，探讨发现隐含条件的方法，简化复杂问题，帮助学生明确解题方向，找到解题思路.

关键词：隐含条件；不等式；高中数学

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0016-03

收稿日期：2024-03-05

作者简介：欧凡（1992.10—），女，福建省漳州人，本科，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

不等式是数学中一类重要的代数式，是研究数量关系的重要工具.在高考数学中，不等式是重要的考点之一，常与其他知识点结合进行考查，如函数、解析几何、数列等领域常涉及不等式的应用.面对这些问题，解题者须具备灵活的思维和较强的推理能力，挖掘隐含条件是解决问题的关键，通过仔细审题、观察图形和深入分析，找到隐藏在题目中的重要条件，可以化复杂为简单，化抽象为具体，有效解决问题.

1" 例题分析

例1" 设集合A={x|log12（2x+4）gt;log12（x+5）}，B={x|x2-mx+m=0}，m∈R.

（1）若m=-2，求A∩B；

（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围.

分析" （1）解对数不等式时，隐含了定义域的讨论，函数单调性的判断，再运用不等式的性质化简隐含条件，可以将复杂问题简化，进而求出解集；

（2）交并的集合运算往往隐藏了子集、真子集的运算，子集运算需要分类讨论B=与B≠，当B=时，

运用根的判别式时隐含了解一元二次不等式

；结合二次函数图象根的分布，隐含了根的判别式、端点值范围、对称轴范围条件，再次运用一元二次不等式、不等式性质化简问题，即可得解［1］.

解析" （1）由log12（2x+4）gt;log12（x+5），得

0lt;2x+4，2x+4lt;x+5.

解得-2lt;xlt;1，则A=x|-2lt;xlt;1.

当m=-2时，x2-mx+m=0可化为

x2+2x-2=0，

解得x=-1+3或x=-1-3.

则B=-1+3，-1-3.

所以A∩B=-1+3.

（2）因为A∪B=A，所以BA.

当B=时，由x2-mx+m=0，得Δ=m2-4mlt;0，解得0lt;mlt;4；当B≠时，令f（x）=x2-mx+m，其开口向上，对称轴为x=m2，

则

Δ≥0，-2lt;m2lt;1，f（-2）gt;0，f（1）gt;0. 即m2-4m≥0，-4lt;mlt;2，4+2m+mgt;0，1-m+mgt;0，

解得-43lt;m≤0.

综上，-43lt;mlt;4.

例2" 已知扇形的半径为r，弧长为l.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（" ）.

A.该扇形面积的最小值为8

B.当扇形周长最小时，其圆心角为2

C.r+2l的最小值为9

D.1r2+4l2的最小值为12

分析" 选项A，根据题目给出的关键语句“周长的数值为面积的数值的2倍”，引出了一个关于半径和弧长的方程，根据方程再次发现一个弧长的隐含条件lgt;2，结合扇形面积公式得出一个分式求最值的隐含条件，通过配方，简化成基本不等式求最值问题；选项B、C类似选项A，根据扇形周长公式

或给定分式求最值的隐含条件，通过配方，简化成基本不等式求最值问题；选项D，根据题目隐含的关于半径和弧长的方程，减少未知数，代入给定代数式1r2+4l2，化简成一元二次不等式进行求解.

解析" 因为2r+l=rl，所以r=ll-2（lgt;2）.

所以扇形面积

S=12rl

=12·l2l-2

=12·（l-2）2+4（l-2）+4l-2

=12［（l-2）+4l-2+4］

≥12×（2（l-2）·4l-2+4）

=12×（4+4）=4，

当且仅当l-2=4l-2，即l=4时等号成立，选项A错误.

扇形周长为

2r+l=2ll-2+l

=l2l-2

=（l-2）2+4（l-2）+4l-2

=（l-2）+4l-2+4

≥2（l-2）·4l-2

=4+4=8，

当且仅当l-2=4l-2，即l=4时等号成立，

此时，圆心角为lr=42=2，选项B正确.

r+2l=ll-2+2l

=2（l-2）2+5（l-2）+2l-2

=2（l-2）+2l-2+5

≥22（l-2）·2l-2+5=4+5=9，

当且仅当2（l-2）=2l-2，即l=3时等号成立，选项C正确.

1r2+4l2=（l-2）2l2+4l2

=8l2-4l+1

=8（1l-14）2+12，

当1l=14时，上式取得最小值为12，选项D正确.

故选BCD.

例3" 已知曲线x2m-2+y24-m=1（m∈R），则下列说法正确的为（" ）.

A.若该曲线是双曲线方程，则mgt;4或mlt;2

B.若m∈（2，4），则该曲线为椭圆

C.若该曲线离心率为32，则m=125

D.若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则离心率e∈（1，2）

分析" 根据双曲线、椭圆的定义和标准方程的特征的隐含条件，用一元二次不等式表示出m的范围，即可判断选项A、B；根据不同坐标轴的焦点位置的隐含条件，列出m的不等式组并化简，然后利用离心率公式计算化简，转化为隐含的分式不等式进行求解.

解析" 对于选项A，若该曲线是双曲线方程，则（m-2）（4-m）lt;0，解得mgt;4或mlt;2，选项A正确；

对于选项B，当m=3时，曲线方程为x2+y2=1，表示圆，选项B错误；

对于选项C，若该曲线离心率为32lt;1，则曲线表示椭圆，

当焦点在x轴上时，1-4-mm-2=34，解得m=185，

当焦点在y轴上时，1-m-24-m=34，解得m=125，选项C错误；

对于选项D，若该曲线为焦点在y轴上的双曲线，则4-mgt;0，m-2lt;0， 解得mlt;2.

因为e=1+2-m4-m=2+2m-4，

又因为m-4lt;-2，则-12lt;1m-4lt;0.

所以1lt;1m-4lt;2.

所以1lt;elt;2，选项D正确.

故选AD.

例4" 关于x的不等式ax2-2x+1≤0在（0，2］上有解，则实数a的取值范围是.

分析" 根据题意将不等式转化为a≤2x-1x2在（0，2］能成立，转化为求分式最值的隐含条件，再通过计算化简、换元，将复杂的不等式能成立问题转化为更易于处理的求函数最值问题，如通过消元法、变量替换等手段［2］.同时注意变量变化后的取值范围.

解析" 由不等式ax2-2x+1≤0以及x∈（0，2］，可得a≤2x-1x2.

依题意可知a≤（2x-1x2）max，x∈（0，2］即可.

令y=2x-1x2，x∈（0，2］，

又y=2x-1x2=-（1x-1）2+1，

由x∈（0，2］可得1x∈［12，+∞），

利用二次函数性质可知ymax=-（1-1）2+1=1，

即可得a≤1.

即实数a的取值范围是（-∞，1］.

2" 结束语

在高中数学解题中挖掘隐含条件是非常重要的.通过利用适当的技巧和方法，学生可以更快速地发现并利用这些隐含条件，从而更好地解决数学问题.因此，教师应在教学中注重引导学生掌握挖掘隐含条件的技巧和方法，以提高他们的解题能力和思维逻辑能力.

参考文献：

［1］

李伟.高中数学不等式解题中隐含条件的挖掘研究［J］.数学学习与研究，2022（5）：120-121.

［2］ 李志强.高中数学不等式解题中隐含条件的挖掘策略［J］.数理化解题研究，2018（12）：40-41.

［责任编辑：李" 璟］