对一道跟多普勒效应有关问题的深入剖析

摘" 要：文章对一道跟多普勒效应有关的题目进行分析，剖析人们对这一问题误解的产生原因；采用取微元进行分析的方法，推导人站在公路一侧时，匀速运动的汽车相对人的速度与汽车运动速度之间的定量关系；推导汽车相对人的速度保持不变时，汽车的加速度应该满足的条件；对声源沿直线作匀加速运动，人站在轨迹一侧听到声源频率变化范围进行定量分析.

关键词：多普勒效应；声源；频率；迎面而来；背离远去

中图分类号：G632" ""文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0116-03

收稿日期：2024-03-05

作者简介：王伟民（1964—），男，本科，中学高级教师，从事中学物理教学研究.

多普勒效应是快速运动的物体由于运动导致物体发出的声音向四周传播时，相对声源不同位置的空间接收到声音的频率不尽相同的现象［1］.当汽车鸣笛从我们身边快速驶过，我们可以明显感觉到汽车鸣笛声音音调的变化.

1" 一道与多普勒效应相关的题目

例1" 如图1所示，人站某笔直公路一侧的M处静止不动，一辆汽车以恒定的速度从右向左匀速驶过，人听到的汽车发动机的频率（" ）.

A.一直是稳定的"""" B.变得越来越高

C.变得越来越低D.先变高后变低

2" 对该问题的错误解析及原因剖析

人若站在地面上静止不动，由多普勒效应可知，声源向着人运动时，人听到声音的频率大于声源的振动频率，而声源背离人运动时，人听到声音的频率小于声源的振动频率［2］.由于受思维定式的影响，在解答例题1给出的这个声学问题时，很多老师（包括网上对该问题的解答）认为选项D正确，其理由是：汽车向着人运动时，听到声音的频率增加了，而背离人运动时，听到声音的频率减小了.

应该说，这个解答错误的原因是把声源向着人运动时，人听到声音的频率大于声源振动频率的现象，误解为听到声音的频率一直在增加；把声源背离人运动时，人听到声音的频率小于声源振动频率的现象，误解为听到声音的频率一直在减小了.

另外，站在直线公路旁边的人静止不动，汽车以恒定的速度从远处驶来，掠过人之后又远离人而去的过程中，人到汽车的距离是先减小再增加［3］.所以，人听到汽车发动机声音的响度是先增大后减小，分不清响度与音调的人，会误认为听到声音的音调（由听到声音的频率决定）是先增加后减小.

那么，当汽车按题目所述方式运动时，人听到的声音的频率究竟如何变化呢？

3" 对该题目的正确解析

如图2所示，人位于公路的一侧M点静止不动，汽车沿公路由右往左匀速行驶，设人在公路所在直线上的正投影为H，某时刻汽车运动至A点（A在H点的右侧），此时人和汽车的连线与汽车运动速度的夹角为θ，汽车再以速度v向前运动一段微元距离ds后至B点，当θ为锐角时，MAgt;MB，在MA上截取MC=MB，连接BC，在ds很小的情况下，∠BCA≈90°，所以AC=dscosθ.因此，汽车相对人的速度为v相对=vcosθ（注：采用对汽车速度进行分解的方法也可以得出同样的结论），因为在θ∈（0，π）范围内，v相对=vcosθ是单调减函数（其中θ=π2时，即人和汽车的连线垂直于公路所在的直线时，v相对=0，此刻汽车运行到图2中的H点，这时人听到汽车发动机声音的频率刚好等于声源的振动频率）.因此，当汽车在H点右侧向左匀速运动时，汽车相对人做减速运动，人听到的汽车发动机声音的频率逐渐减小.而汽车在H点左侧向左匀速运动时，汽车相对人做加速运动，人听到的汽车发动机声音的频率依然逐渐减小.所以，本题的正确选项是C.

4" 人听到声源频率不变时汽车加速度应满足的条件

我们不禁要问，如果汽车在平直公路上作变速直线运动，当汽车加速度满足什么条件时，可以使得站在公路旁边的人听到汽车发动机声音的频率保持恒定不变呢？

例2" 如图3所示，人站在距离某笔直公路h的M处静止不动，一辆汽车在公路上从距离人很远的地方沿公路加速驶来，假设汽车运动过程中人跟汽车的连线与汽车运动速度的夹角为θ（注：θ是变量），已知汽车到人的距离为2 h时，汽车速度为v0，若汽车行驶过程中人听到的汽车发动机的频率恒定不变，试确定汽车加速度与θ的关系式.

解析" 由例1的分析可知，在某个位置，若汽车相对路面运行的速度为v，则汽车相对人的速度大小为v相对=vcosθ，所以v=v相对cosθ，要使人听到的汽车发动机的频率恒定不变，必须使汽车相对人的速度v相对保持不变，由题目条件可知v相对=32v0，所以

v=3v02cosθ，因此，汽车的加速度为a=v′=3v0sinθ2cos2θ.

所以，汽车加速度与θ的关系式为a=3v0sinθ2cos2θ.

因为θ→π2时，sinθ→1，cosθ→0，此时汽车的加速度a→∞，这是现实生活中不可能发生的事情.所以，实际问题中，要使路旁静止的人能够在汽车行驶过程中的某个阶段听到汽车发动机的声音频率恒定不变，汽车到人在公路所在直线上正投影的距离必须足够远，因为只有这样，才可以保证π2-θ足够大.

例3" 如图4所示，一发声体沿直线L从A点开始向左做匀加速直线运动，声源的初速度为v0=1 m/s，加速度a=1 m/s2，某人站在到直线L的距离为1 m的M点静止不动，H是人在直线L上的正投影，初始状况下MH=1 m，MA=17 m，试确定人在什么时间范围内听到声源声音的频率逐渐减小？

分析" 声源是在沿直线做加速运动，如果人耳刚好位于声源运动轨迹的直线上（比如人耳在图4的H点），当声源迎面而来时，人听到声源声音的频率逐渐增大；当声源背离人远去时，人听到声源声音的频率逐渐减小，声源运动到H点时人听到的声音的频率最大.声源在直线L上到人的距离非常远时，人站在L旁听到声音频率的变化效果跟人耳在直线L上听到运动声源声音频率变化的效果是一样的.当加速运动的声源距离人较近时，随着人跟声源的连线与声源运动方向之间的夹角不断增大，声源相对人的速度不会一直增加，肯定会有逐渐减小的过程，因为当声源运动到H点时，即便声源是加速运动的，但声源相对人的速度为零［4］.声源沿其运动轨迹向着人运动时，声源相对人的速度不断减小的过程也就是人听到声源频率逐渐减小的过程，当声源越过H点继续向左加速运动时，人听到声音的频率一直在减小，所以，我们只要能够确定声源在到达H点之前，在什么位置之后，声源相对人的速度在减小即可.

解析" 如图5所示，设从初始状态计时，t s之后发声体运动到B点，此时∠MBH=θ，则HB=17-t-12t2（长度单位：m），所以tanθ=117-t-t2/2.t s后声源的运动速度为v=t+1.

先推导声源相对人速度不变时（此时人听到声源声音的频率不变），声源的加速度应满足的条件.

由v=v相对cosθ可得a=v′=v相对sinθcos2θ=vtanθ，因此，当声源的实际加速度小于vtanθ时，人听到声源声音的频率逐渐增大.故有：

t+117-t-t2/2gt;1，

整理得t2+4t-32gt;0.

解得tgt;4或tlt;-8.考虑到时间只能取正数，所以，取tgt;4.而t=4 s时，声源运动的距离为：s=v0t+12at2=12 m.人听到声源声音频率由增加变为减小的“拐点”是在H点的右侧（距离H点5 m远），这一点不同于人耳位于声源运动轨迹上听到声音频率由增加变为减小的“拐点”是在H点的情形.

所以，从声源开始运动计时，0～4 s时间内人听到声音的频率逐渐增加，4 s时，听到声音的频率达到最大，之后人听到声音的频率一直逐渐减小.当然，当声源背离人远去且速度加速至接近声速时，人耳接收到声源的频率如果低于20 Hz，声音将演变为次声，人耳将感知不到声音了.

5" 结束语

由此可见，声源沿直线运动的过程中，如果人耳位于声源运动的轨迹上，声源匀速运动时，不论声源是迎面而来，还是背离人远去，人耳听到声音的频率保持不变，只不过人听到的迎面而来声音的频率，大于人听到的背离而去声音的频率；声源加速运动过程中，耳朵听到迎面而来的声源声音的频率逐渐增加，听到背离远去声音的频率逐渐减小.如果人耳不是在声源运动的轨迹上，而是在轨迹的一侧，那么，声源从远处沿其运动轨迹掠过人耳之后并远去，如果声源作匀速直线运动，则人耳听到的声音的频率一直在减小，如果声源作加速运动，人耳听到的声音的频率是先增大后减小.但是听到声音频率由增大变为减小的“拐点”不是在人于声源轨迹的正投影点，而是在这一点的前面.

参考文献：［1］ 朱文瑜.基于核心素养下的信息技术与物理课堂融合：以“多普勒效应”为例［J］.数理化解题研究，2022（10）：58-61.

［2］ 马晓波，林妹平，曹志杰.“课程思政”理念下大学物理课堂教学探究与实践：以多普勒效应为例［J］.物理通报，2022（10）：70-74.

［3］ 李信雄，贾鹏.基于核心素养的多普勒效应实验教学［J］.中学物理教学参考，2021（7）：20-21.

［4］ 林德铝.巧用多普勒效应 妙解物理复赛题［J］.中学物理，2017（5）：30-31.

［责任编辑：李" 璟］