一道解析几何竞赛试题的解题思维实践

摘" 要：文章对2023年宁波市数学竞赛第17题解析几何定值及四点共圆问题进行解法探究，并优化解法，有利于培养学生的数学运算核心素养.

关键词：解析几何；一题多解；运算优化；数学运算核心素养

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0056-04

收稿日期：2024-03-05

作者简介：赖庆龙（1985.11—），浙江省建德人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：数学运算主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力，有效借助运算方法解决问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质［1］.解析几何的核心是利用坐标运算解决几何问题，对运算能力的要求特别高，学生拿到解析几何问题习惯于按照“设直线方程，联立方程组，消元，韦达定理”的步骤求解，但很多时候，会算不对、算不全或者没有信心进行运算，这就需要教师在日常教学时对“设什么，怎么算，能不能进一步优化”进行指导.另外，既然是几何问题，要善于用几何的视角来分析问题，把握几何图形中的变量关系、图形特征等.本文结合2023年宁波市数学竞赛第17题解析几何问题的求解，提出运算优化的几种视角，以供参考.

1" 问题呈现

题目" （2023年宁波市数学竞赛第17题）已知双曲线C：y2-x2=4，点A（23，4），直线y=kx+1与双曲线C的上、下两支分别交于M，N（异于点A）两点，直线AM，AN分别交x轴于P，Q两点.

（1）设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求

1k1+1k2的值；

（2）若M，N，P，Q四点共圆，求直线l的方程.

2" 解法探究

2.1" 第（1）问探究

解法1" （常规解法）设M（x1，y1），N（x2，y2），T（0，1），将直线y=kx+1与双曲线C联立，得

（k2-1）x2+2kx-3=0.

由韦达定理，得

x1+x2=-2kk2-1，x1x2=-3k2-1.

则1k1+1k2=x1-23kx1-3+x2-23kx2-3

=2kx1x2-（23k+3）（x1+x2）+123k2x1x2-3k（x1+x2）+9

=163k2-12312k2-9

=433.

解法2" （解法优化1）设M（x1，y1），N（x2，y2），将直线y=kx+1与双曲线C联立，得

（k2-1）y2+2y-1-4k2=0.

所以y1+y2=-2k2-1，y1y2=-4k2k2-1.

则（y1-4）（y2-4）=12k2-9k2-1.

所以1k1+1k2=x1-23y1-4+x2-23y2-4

=y1-23k-1k（y1-4）+y2-23k-1k（y2-4）

=2k+3-23kk（1y1-4+1y2-4）

=2k+3-23kk·6-8k212k2-9

=433.

评注" 这里的优化是对目标进行坐标化后，对消去y还是x作出了优化选择，并且对韦达定理进行了灵活变通，得出（y1-4）（y2-4）=12k2-9k2-1这一整体，再代入目标式计算，这样运算量减少了许多.

解法3" （解法优化2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

由y=kx+1，y2-x2=4，得

y-4=k（x-23）-3+23k，（y-4+4）2-（x-23+23）2=4.

所以（y-4）2+8（y-4）·（y-4）-k（x-23）23k-3-（x-23）2-43（x-23）·（y-4）-k（x-23）23k-3=0.

所以k1，k2是方程（23k+5）（y-4x-23）2-（8k+43）y-4x-23+23k+3=0的两个不等实根.

所以k1+k2=8k+4323k+5，k1·k2=23k+323k+5.

所以1k1+1k2=8k+4323k+3=433.

评注" 这里的优化是我们基于对图形结构的观察——一定点，两动直线，符合“手电筒模型”结构，所以就有了齐次化解法.2.2" 第（2）问探究

解法1" （相交弦定理视角）设MN与x轴交于点G，易得G（-1k，0），由题可得

|GM|·|GN|=|GP|·|GQ|.

由y=kx+1，y2-x2=4，得（k2-1）x2+2kx-3=（k2-1）（x-x1）（x-x2）=0.①

|GM|·|GN|=（1+k2）|（-1k-x1）（-1k-x2）|，

由AP：y=y1-4x1-23（x-23）+4，得

|GP|=|xP+1k|

=|-4x1+83y1-4+23+1k|

=|（23k-3）（x1+1/k）kx1-3|.

同理得|GQ|=|（23k-3）（x2+1/k）kx2-3| .

故|GP|·|GQ|=|（xP+1k）（xQ+1k）|

=（1+k2）|（-1k-x1）（-1k-x2）|.

所以|（23k-3）2k2（x1-3/k）（x2-3/k）|=（1+k2）.

①式中令x=3k，得

（x1-3k）（x2-3k）=12k2-9k2（k2-1）.

所以|（23k-3）2（k2-1）12k2-9|=1+k2.

所以|（23k-3）（k2-1）23k+3|=1+k2，

解得k=-233或k=32.

因为直线交双曲线上下两支，有|k|gt;1.

所以k=-233.

所以直线方程为y=-233x+1.

解法2" （相交弦定理优化1）设MN与x轴交于点G，易得G（-1k，0）.

由题可得|GM|·|GN|=|GP|·|GQ|.

而|GM|·|GN|=（1+1k2）|y1y2|，

由AP：y=y1-4x1-23（x-23）+4，得

|GP|=|xP+1k|

=|-4x1+83y1-4+23+1k|

=|（23k-3）y1k（y1-4）|.

同理得|GQ|=|（23k-3）y2k（y2-4）|.

所以|（23k-3）2y1y2k2（y1-4）（y2-4）|=|（1+1k2）||y1y2|.所以|（23k-3）2（k2-1）k2（12k2-9）|=1+1k2.

解得k=-233或k=32.

因为直线交双曲线上下两支，故|k|gt;1.

所以k=-233.

所以直线方程为y=-233x+1.

评注" 该解法是消去了x，利用y进行计算，运算量减少，再次说明联立后消去什么元，留下什么元，有时对解题的影响很大.

解法3" （相交弦定理优化2）过点T（0，1）作x轴的平行线分别交AP，AQ于点P1，Q1.因为M，N，P，Q四点共圆，则由切割线定理知

|AM|·|AP|=|AQ|·|AN|.

又由相似三角形的性质知|AP1||AP|=|AQ1||AQ|.

所以|AM|·|AP1|=|AN|·|AQ1|.

即等价于M，N，P1，Q1四点共圆.

所以只需满足|MT|·|NT|=|P1T|·|Q1T|.

由（1）知|MT|·|NT|=（1+k2）|x1x2|=3（1+k2）k2-1，其中|k|gt;1.

又因为直线AM：y-4=kx1-3x1-23（x-23），

令y=1则xP=（23k-3）x1kx1-3.

同理xQ=（23k-3）x2kx2-3.

所以|P1T|·|Q1T|=|xP1·xQ1|

=|（23k-3）2（kx1-3）（kx2-3）x1x2|

=3（23k-3）212k2-9.

所以3（1+k2）k2-1=3（23k-3）212k2-9.

化简，得k（2k-3）（3k+2）=0.

又|k|gt;1，所以k=-233.

评注" 该解法是在解法2基础上进一步优化，是对相交弦定理进行等价转化，把点G平移到点T，运算量自然减少.

解法4" （切割线定理视角）由M，N，P，Q四点共圆可得

|AM|·|AP|=|AQ|·|AN|.②

所以4（1+t21）（4-yM）=4（1+t22）（4-yN）.

设AM：x=t1（y-4）+23;AN：x=t2（y-4）+23，

由（1）可得t1+t2=433.

联立，得（1-t2）y2+2t（4t-23）y-（4t-23）2-4=0.

可得yM=4t21-43t1+4t21-1，yN=4t22-43t2+4t22-1.

代入②化简得（t22-1）（1+t21）·（43t1-8）=（t21-1）（1+t22）·（43t2-8）.

又t1+t2=433，所以43t1-8=-（43t1-8）.

所以（t22-1）（1+t21）=-（t21-1）（1+t22）.

可得（t1t2）2=1.

当t1t2=1时，t1t2=1k1k2=23k+523k+3=1，无解.

当t1t2=-1时，t1t2=1k1k2=23k+523k+3=-1，解得k=-233.

解法5" （同弧所对圆周角相等视角）因为M，N，P，Q四点共圆，可得∠PMN=∠PQN.

所以tan∠PMN=tan∠PQN.

即k-k11+kk1=k2.

也即k=k1+k21-k1k2（此式也可由几何法得到）.

所以k=k1+k21-k1k2=（8k+43）/（23k+5）1-（23k+3）/（23k+5）=4k+23.

所以k=-233.

评注"" 该解法最简单，充分利用了四点共圆的几何特性——同弧所对圆周角相等，将角转化为斜率，

然后抓住直线l的斜率与直线AP，AQ的斜率关系，建立方程求解，这可能是命题人的初心.

解法6" （二次曲线系视角）

因为AM：y=k1（x-23）+4，AN：y=k2（x-23）+4，设经过M，N，P，Q四点的二次曲线系为

［k1（x-23）-y+4］·［k2（x-23）-y+4］+λ（kx-y+1）y=0.

当M，N，P，Q四点共圆时，则有

k1k2=1-λ，λk=k1+k2.

解得k=k1+k21-k1k2.

将韦达定理k1+k2=8k+4323k+5，k1k2=23k+323k+5代入得k=163k2-12343k-6.

解得k=-233或k=32（舍）.

3" 结束语

解析几何问题一直是高考、竞赛、强基的重点和难点，解题的视角、消元的选择、运算技能的熟练与否、

是否抓住

问题的本质，是影响运算的四大因素.所以在日常教学中，要加强几何关系坐标化的转化，加强常规解法的教学，并同学生一起对常规解法在运算上进行改进、优化. 对于点参还是线参，线参是消去x还是消去y，通过具体的例子，讲清原理，并引导学生学会选择.

参考文献：

［1］

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［责任编辑：李" 璟］