借助“微专题”教学，提高复习效率

刘振娟

［摘  要］ “微专题”教学法能让学生从本质上掌握教学内容，提升解题能力. 文章以“隐形圆相关的最值问题”的专题复习教学为例，从教学分析出发，分别从“注重预习，初建模型”“加强探究，强化模型”“立足解题，变式拓展”“课堂小结，反思感悟”四个方面展开教学，并从“尊重个体差异，合理设计教学”“利用变式拓展，发散数学思维”“注重教学反思，提炼知识重点”三方面谈一些教学思考.

［关键词］ 微专题；复习教学；隐圆

章建跃认为：数学教育应注重教学方法的研究，要以发展学生的数学核心素养为目标，让学生获得用数学知识来解决数学内外问题的能力. 近年来，“微专题”教学法已然成为复习教学的重要方法之一，该教学方法主要立足于學情、教情与考情等综合因素，选择“切口小，针对性强”的一两个关联的知识点或数学思想方法等进行专题复习，让学生深度理解知识本质，获得用这部分知识来解决数学内外问题的能力.

教学分析

1. 教学内容

课堂探究的主题为“隐形圆相关的最值问题”，教学涉及课前预习和课堂教学两大版块. 预习环节，主要是让学生探寻“隐圆”的形成过程与模型. 教学环节，主要分三步走：①将学生的预习成果——隐圆模型进行展示，根据学生的结论进行提炼总结；②带领学生探索隐圆模型的形成依据；③用实际问题鼓励学生自主发现隐圆相关内容，并计算最值，让学生深切体会“探寻模型—发现隐圆—获得路径—解决最值”的过程.

2. 教学方法

教学预设以发现问题、提出问题与解决问题为主线，让学生全程参与知识的回顾与整理过程，通过一定的探索手段自主归纳模型，而后利用所获得的模型解决实际问题. 让学生在丰富的教学方式中，感知、体悟这一类问题在中考中的命题方向，从而突破思维的瓶颈，在认知上获得质的飞跃.

3. 教学手段

精心的教学预设离不开科学的教学手段的支持. 教师以“微专题”教学模式为载体，鼓励学生在课前进行独立预习与思考，课堂中要求学生在自己的引导下，积极开动脑筋妥善理解并处理隐圆问题的主要方法（四个步骤），课后可适当地布置作业，以巩固学生的认知.

教学过程

1. 注重预习，初建模型

众所周知，凡事预则立，不预则废. “微专题”教学虽然所涉及的知识点不多，但教学容量并不小，而且涉及的知识点都比较经典，具有一定的代表性，预习环节同样值得重视［1］. 隐圆相关知识，学生之前虽然接触过，但因其比较抽象且历时久远，课前预习必不可少. 本节课预习的主要目的在于回忆、总结几种常见的隐圆模型，为课堂“微专题”复习奠定基础.

师：经过课前预习，大家发现隐圆模型有哪些？

学生总结出以下几种基本模型（见图1至图4）.

分析预习不仅引导学生回顾了隐圆相关知识，还让学生明确了本节课待探索的主题，从而使学生做到胸有成竹. 教师将四种典型模型在课前展示，存在两方面深意：一方面检查学生的预习情况，是对学生预习成果的肯定；另一方面，让一部分学生发现自身认知的漏洞与盲区，从而提高课堂学习的积极性.

2. 加强探究，强化模型

探究1上述四种模型作为隐圆的常规模型，大家知道它们是如何形成的吗？

经过讨论，学生提出四个隐圆模型所获得的依据分别为：第一个，直角的圆周角所对的弦是直径；第二个，若一个四边形的对角互补，或外角与内对角是相等的关系，那么这个四边形的四个顶点在一个圆上；第三个，定角对定弦；第四个，到定点的距离等于定长的点的集合为一个圆.

探究2这四种模型之间是否存在什么联系？

探索发现，图1是图3的特殊情况，一般情况下定角为30°、45°、60°、90°等特殊角，同时，图1也是图4的特殊状态. 模型1的得来依据，从表面上看是“直角的圆周角所对的弦是直径”，实质上却是“到定点的距离等于定长的点的集合是一个圆”.

师：通过以上两个探究活动的开展，能否对模型得来的依据进行一个归纳？

分析  学生通过探究1活动的开展，深化了对各类模型形成本质的理解，这种理解能有效地帮助学生突破本节课的教学重点与难点，从一定意义上让学生更加清晰地理解概念的本质；对于探究2，学生在类比分析中，进一步深化了对模型本身的认识，为后续灵活应用奠定了基础；最后一个问题的提出，具有提炼、总结、提升的意图.

3. 立足解题，变式拓展

例1如图5所示，正方形ABCD的边长为4，其中点E，F分别在线段DC，BC上移动，已知DE=CF，AE与DF相交于点P，求CP的最小值.

变式如图6，Rt△ABC中，已知AB⊥BC，AB=6，CB=4，点P为△ABC内的一个动点，并满足∠PAB=∠PBC，求线段CP的最小值.

分析例题与变式均为90°的圆周角所对的弦为直径的模型，在动态中寻找，都能发现90°的角不会变化，问题在于直角比较难发现. 如例1中的直角，需要在全等的证明基础上获得，而变式中的直角则需要通过角的转化而获得.

变式的应用，让学生在解决例1的基础上，更加深入地理解了模型的本质，为提升解题能力奠定了基础. 学生一旦找到隐圆，结合动点的起始点与终止点，不难获得动点的运动轨迹. 那么，线段的最值问题就转化成圆外一点到圆上点的最长与最短距离的问题了. 此例与变式的应用，让学生亲历了“探寻模型、发现隐圆、明确解题路径、解决最值问题”的过程，这种体验为接下来解决更多的实际问题提供了直接经验.

例2如图7所示，点D，E分别为等边三角形ABC中AB，AC边上的两个动点，已知AE=BD，分别连接CD，BE相交于点P，如果等边三角形ABC的边长是2，那么点P的运动路径长是多少？

分析本题将例1中弦所对的圆周角从直角转换成120°的角与45°的角，这种转换显然增加了寻找圆心的难度. 同时，变式也由探索线段的最值问题转换到探索面积的最值问题上，从一定程度上对学生的思维提出了更高的要求.

本例题，需通过三角形的全等证明才能获得120°的角，例1中也涉及三角形全等的证明问题，这对学生而言是一种方法上的巩固. 而变式题，只有分析线段与角的关系，才能获得45°角. 此例与变式的解决，训练了学生在不同条件与背景下的思维拓展能力，为学生从不同维度掌握解题技巧奠定了基础.

例3如图9所示，菱形ABCD的边长为2，已知∠A=60°，点M为AD边的中点，点N为AB边上的一个动点，若将△AMN沿MN所在的直线进行翻折，可得△NA′M，连接A′C，求A′C长度的最小值.

变式如图10所示，△ABC中的∠BAC=90°，已知AB=3，AC=4，且点D为BC边的中点，现将△ABD沿AD所在的直线进行翻折，可得△EDA，连接CE，求CE的长.

分析本题为“多点共圆”模型的应用，尽管问题中的点在运动，但是它到定点的距离却是恒定不变的，也就是AM=DM=A′M. 根据模型4的形成依据，很快就能发现隐圆的身影. 本例被称为“伞型”或“鸡爪型”问题，学生通过研究本题，获得从变中探寻不变的量的能力，这也是解决这一类问题的基本方式. 变式的提出，在于考查学生能否在多点共圆的模型下发现新的解题方法，这是一个挑战，也是促进学生思维成长的契机.

例4如图11所示，△ABC为一个边长为2的等边三角形，已知ED⊥AB，EF⊥AC，求AF的值.

分析本题为典型的“四点共圆”模型的应用，从“双垂直”的条件不难发现隐圆的存在，通过圆中角的转换，问题迎刃而解. 此例的应用，关键在于能让学生明确“四点共圆”模型的主要特征，从中发现图形. 三角函数设k法的应用以及圆中角的转化都是解决几何问题的常用方法. 变式的拓展，体现了“定角对定弦”与“四点共圆”模型的综合应用，这不仅巩固了本节课所探寻的新内容，而且也是对旧知的温顾.

4. 课堂小结，反思感悟

课堂总结具有“画龙点睛”之功效. 本节课作为一节“微专题”课，目标明确、知识点清晰，教师在小结时，以总结、提炼与反思为主，以帮助学生更好地将知识内化成自己的认知结构.

师：通过本节课的探究，你们能在问题中一眼就发现“隐圆”的存在吗？该如何发现呢？课后请有兴趣的同学写一写关于隐圆的解题思考，下节课我们一起交流.

分析这个问题起到了回顾、总结、建构知识脉络的作用，学生结合本节课的解题经验，在思考“如何发现隐圆”的问题引领下形成了自己独特的解题经验. 课后教学思考的书写，不仅训练了学生的反思能力，还从另一个角度训练了学生总结问题的能力，为后续研究其他专题提供了帮助.

教学思考

1. 尊重个体差异，合理设计教学

“微专题”教学内容一般为一个相关联的或能单独研究的知识点、数学思想方法、单个主题等. 对于初三阶段的学生而言，受社会与学习背景等影响，存在一定的个体差异是客观存在的现实. 教师应充分尊重学生的这种差异性，根据学情与教学专题的特点，科学、合理地设计教学，使得每个学生都能在课堂中获得不同程度的进步与发展.

隐圆问题的综合性与灵活性比较高，学生掌握时存在一定的困难，加上学生认知水平的参差不齐，着实给教学带来了不小的困难. 本节课，教师以“微专题”教学法为载体，结合预习、探究与反思等教学活动的开展，让每个学生都能根据自身实际情况，选择学习的深度与宽度. 由此可见，本节课虽为“微专题”，实则“大容量”.

2. 利用变式拓展，发散数学思维

“微专题”教学离不开例题教学的辅助，而例题教学的拓展与延伸，又离不开变式的支持. 尤其是初三复习阶段，教师将复习内容分割为一个个大小专题逐个突破，这些专题看似独立存在，实则互相关联. 而变式的应用，则实现了各个知识点的有效沟通，它主要通过表面的变化，突出核心知识恒定不变的本质［2］，对帮助学生更好地掌握知识与技能具有直接影响. 一般变式应用时，会选择经典例题或教材例题作为“母胎”，以便学生掌握知识的重点与难点.

本节课，基于模型建立、应用与总结，让学生以探索模型的形成依据为主线，进行例题的分析与拓展. 每个例题都配有相应的变式，这种模式不仅巩固了学生对各种模型的理解與应用，还为课后研究提供了素材，是学生思维拓展延伸的基础.

3. 注重教学反思，提炼知识重点

“微专题”教学虽以例题与变式来帮助学生明晰知识点，但它的作用绝不仅限于此. 例题与变式的应用还能有效地帮助学生提炼思想方法与数学模型等，而这一切都离不开“反思”的过程. “微专题”研究若仅凭单个雷同问题的堆砌，必然无法完成它的使命，只有从不同层次进行递进式探索，才能让学生从真正意义上掌握知识本质. 此过程，离不开师生及时、准确的归纳、总结与提炼.

常规情况下，“微专题”可以用较短的时间完成教学，但本节课却花费了不少时间. 主要原因有：隐圆这个知识点确实存在一定的难度，学生理解需要一个过程；隐圆模型种类比较多，逐个分析与突破也需要耗费一定的时间.

那么，本节课的“微专题”还“微”吗？还可以怎么改进教学设计，做到课堂教学内容“短小精悍”，而教学效果却“稳中有升”呢？这些都是值得反思的问题.

参考文献：

［1］吕增锋. 数学“微专题教学”到底“微”在哪［J］. 中小学数学（高中版），2018（04）：33-34.

［2］李宽珍. 数学微专题教学的特征、策略及方法［J］. 教学月刊·中学版（教学参考），2016（09）：3-7.