基于数学抽象素养的概念课案例及其思考

王伟

［摘  要］ 以“函数”的教学为例，在数学抽象的基础上进行课堂教学过程的构思，促进教师对概念课教学如何培养学生数学抽象素养的深入思考.

［关键词］ 数学的眼光；数学抽象素养；抽象能力；概念教学；函数

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出要培养学生的核心素养（“三会”），其中“会用数学的眼光观察现实世界”的核心就是数学抽象素养. 所谓数学抽象素养，是指通过对数量与数量关系、图形与图形关系两方面抽象出数学概念及概念之间的联系，从事物与事物之间的联系、事物内部之间的联系抽象出一般规律和结构，并用数学语言加以表征的素养. 在现阶段初中数学实际教学中，教师大多重视学生解题，很少关注学生数学抽象素养的培养. 在一次宁波市课堂教学评比活动中，对“函数（1）”（浙教版《数学》八年级上册第5章第2节）这节课，笔者从“数学抽象素养”的角度进行教学，让学生经历层次清晰、完整的抽象过程（从具体的数学情境中抽象出数学概念 →从数学概念与概念之间抽象出数学关系→从数学问题解决过程中抽象出数学思想方法），取得良好的效果. 现将具体设计与思考整理成文，供同仁参考研讨.

教学过程

1. 经历从现实情境中抽象出函数的过程——明确研究对象

情境1  电影《我和我的家乡》为祖国71周年华诞献礼，定于10月1日8点在全国各大电影院上映.

（1）象山时代金球影城，票价35元一张，请问电影院每场的收入相同吗？为什么？

（2）若10月1日12：00场卖出60张票，收入是多少元？

（3）12：45场卖出80张票，收入是多少？

（4）若活动价定于20元/张，请同学们完成下表（见表1）.

师追问：

问题1.1计算的过程中，哪些量是常量？哪些量是变量？

问题1.2哪个量随着哪个量的变化而变化？

问题1.3用x表示销售票数，y表示每场收入，可以用关于x的代数式表示y吗？

问题1.4当x的值确定后，y的值确定吗？有几个？

情境2  电影院每场次电影播出需要固定成本171元，国庆期间又推出一张电影票送一枚中国心吊坠活动.

问题2.1电影院每场的成本与哪些量有关？

问题2.2每个中国心吊坠成本6.6元，销售票数x张，每场成本m元，m与x之间的等量关系是什么？

问题2.3你可以输入计算的EXCEL表格程序来解决成本的运算吗？

问题2.4输入几个x的值，观察m的值的变化. 当x的值确定后，m的值确定吗？有几个？

情境3  在等候电影期间，小明了解到工作人员小聪的工资报酬按16元/时计算，设小聪这个月工作的时间为t小时，应得报酬为m元，填写下表（见表3）：

问题3.1在这个变化的过程中，有几个变量？分别是什么？

问题3.2哪个量随着哪个量的变化而变化？

问题3.3给定一个t的值，我们可以得到几个对应的m的值？怎样用关于t的代数式表示m？

问题3.4y与x，m与x，m与t的这种关系相同吗？是怎样的关系？

设计意图  以国庆节电影票、中国心吊坠、工作报酬引入，不仅使学生感受到新知与生活的联系，认识到研究新知的必要性，而且激发了学生的学习兴趣和爱国主义情怀. 对于情境中的所有信息，学生通过观察、识别、比较等认知行为提取出与概念相关的关键信息，再进行计算、分析、比较等思考后确定抽象的对象是变量之间的关系，对函数的本质属性有了初步的认识. 函数的本质属性过于抽象，Excel表格的动态功能可以突破课本中x，y的人为预设、静态、单一的缺陷，它像一个函数转化器让学生直观、生动地看到函数概念的内涵.

2. 参与定义函数的活动——形成函数的概念

根据上述分析，进行归纳概括.

问题4.1  抛开实际背景，上述三个情境中的变量和变量关系都有哪些共同特征？

问题4.2  这些特征是否适用于一般的同类的变量关系？

教师在倾听学生观点的基础上进行总结性讲解：它们的共同特征是，每组关系都涉及两个变量；对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应. 这样的变量关系在数学上称为函数.

问题5尝试用文字语言给函数下个定义.

通过对问题5的分析，抽象得到：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫作自变量. 例如：上述变量关系中，m是x的函数，x是自变量……

设计意图  根据学生的思维特征，在概念教学中，必须遵循从具体到抽象的原则，必须经历对学习材料进行“观察比较—感知辨认—加工提取—建立表象”的概念“再创造”过程. 在明确研究的对象是变量的关系时，学生通过比较、归纳、概括等复杂思考提取共性（变量的规律及变量之间的关系）后建立清晰的函数概念表象，这使学生感受到了更高层次的数学抽象，积累了抽象概括的活动经验. 在用数学语言对函数概念加以表征时，八年级的学生还缺乏相关的经验和能力，此时需教师价值引导.

3. 了解函数的三种表达形式——感悟数形结合思想

解析法：像m=6.6x+171这样表示函数关系的等式叫作函数表达式，简称函数式，用函数表达式表示函数关系的方法也叫作解析法.

女生跑800米，成績与时间成函数关系，见表4：

把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫作列表法.

如图1，这种用图象表示函数关系的方法叫图象法.

归纳总结：同一个函数问题可以用三种不同的形式来表示（如图2），这三种形式如何转化我们要留着以后探索. 这三种表达形式各有什么优点呢？

设计意图  结合实例了解函数的三种表示方法，即列表法、解析法、图象法. 通过计算、查表、图象找点感受“一个变量确定，另一个变量随之唯一确定”，突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性. 从函数定义的文字叙述到三种表达形式：符号、表格、图象，从文字到符号，这是数学抽象的重要环节，从符号到图表，这是从抽象到具体，符合学生的认知规律. 举例同一个函数问题可以用三种不同的形式表达，渗透了数形结合思想. 这样的数学活动加深了学生对函数本质的理解，有助于培养学生的发散思维，能让学生体会到数量关系和几何图形的联系，加强了数与形对应关系的意识.

4. 参与知识与技能的应用的活动——解答有代表性问题

（一）辨一辨

y是关于x的函数的是______.

（二）举例：

请举一个生活中的函数的实例.

（三）实际应用

某汽车油箱有20升油，它在高速公路上行驶，耗油量为0.07升/千米，汽车行驶的里程为x千米，油箱中剩下的汽油量为y升 .

①写出y与x之间的函数解析式；

②求当x=20时的函数值，并说明它的实际意义；

③象山距离上海293千米，可以到达吗？为什么？

设计意图  形成函数的概念后，及时进行函数概念的辨析，通过正例和反例让学生明确概念的外延. 追问为什么，进一步加深学生对函数内涵的理解. 通过学生举例，体会函数是刻画现实世界重要的工具，促进学生对概念外延的进一步把握. 实际问题的解决让学生经历概念的“具体—一般—具体”的过程，形成用数学的眼光（函数的观点）认识现实世界的意识，体会蕴含在应用过程中的函数思想和方法. 在实际问题的解决过程中概括出解题的一般步骤，感悟到模型思想，学生在这一过程中发展了数学抽象素养.

5. 参与回顾与梳理的活动——提炼内化分享

教师出示问题清单，学生围绕问题清单进行思考：

（1）学习了函数的哪些知识？

（2）我们是如何学习函数的，后续还要学习什么？

（3）梳理这节课的研究思路，并绘制相应的知识框图.

设计意图  以“问题清单”式的反思性问题引导学生回顾与思考，在此基础上师生共同绘制知识框图（如图3），促进学生函数概念的系统化与结构化，增强了学生的反思意识，发展了学生的语言表达、抽象等多种能力，从而有利于学生理解数学、学好数学. “函数”的研究路径为今后学习类似的问题提供了方向引领和方法指导.

教学反思

1. 培养学生数学抽象素养，教师需创设情境型问题链

史宁中教授认为抽象有两个层次：一是从感性具体到理性具体；二是符号化. 具体来说就是将现实的问题数学化，从数学要素中发现数学关系、概念、命题等. 基于此，教师需创设有效的情境型问题链. 有效的情境型问题链首先情境不仅真实，有内涵，而且包含学生所不熟悉的新知识；其次它能引发学生进行分析、比较、概括等复杂思考. 本文中情境1、情境2、情境3分别是关于电影院里的电影票、电影院每场成本、营业员工作报酬的生活情境，为函数的学习提供真实性的生长点，引出函数学习的必要性. 情境1中追问的问题1.1以旧忆新，提供函数概念的生长点：变量；问题1.2引出研究对象是变量之间的关系；问题1.3将变量之间的关系符号化，隐含函数的单值对应关系；问题1.4进一步探讨变量之间的单值对应关系；问题3.4探讨三组变量关系的共性特征.上述问题链的问题层次清晰、有梯度，为学生抽象概念搭好了“脚手架”，最终达成了数学抽象素养的培养.

2. 培养学生数学抽象素养，学生需经历完整的数学抽象过程

学生的数学抽象素养是在抽象过程中逐步孕育的，并且只有完整的抽象过程才能培养出抽象能力，并最终发展为数学抽象素养. 因此，数学教学应再现抽象的过程，强化抽象的过程. 本文中学生经历了以下四方面的抽象过程：一是从具体的生活情境中抽象出数学问题；二是从变量与变量之间的关系抽象出函数的概念；三是从数学问题的解决过程中抽象出“一般到具体”、函数等数学思想；四是在归纳总结中形成函数概念的系统化与结构化. 学生在层次清晰的抽象过程中参与抽象、尝试抽象，积累了概况抽象的活动经验，数学抽象素养也在抽象经验的积淀与升华中养成.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］史宁中. 数学基本思想18讲［M］.北京：北京師范大学出版社，2016.

［3］李昌官. 数学抽象及其教学［J］.数学教育学报，2017，26（04）.