立足深度学习，谱写新授课教学四部曲——以五年级上册“植树问题”教学为例

浙江杭州市滨江实验小学教育集团（310051） 王国才 孙程琰

深度学习理念下，学生只有亲自体验数学知识的形成及运用过程，深化对知识的理解，才能提高数学知识学习及应用能力，形成数学核心素养。下面以人教版教材五年级上册“植树问题”这一个经典内容为例，谈一谈如何立足深度学习进行数学新授课教学。

一、立足原点，读懂学生已知的

美国认知教育心理学家奥苏贝尔曾指出：“如果我不得不将教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学。”读懂学生的学习起点和认知状况，因需而教，才符合学生认知规律，教学才是深刻高效的。

1.教师自己“明白”，读懂教材

在人教版五年级上册“数学广角——植树问题”单元中，教材编排了三个例题：例1 是道路一边两端都种树的线段型植树问题，它是植树问题的基础模型；例2 是道路一边两端都不种树的线段型植树问题；例3 是环形植树问题，是植树问题基础模型的变式。例2后面“做一做”的第1题是道路两边两端都种树的线段型植树问题，第2 题是道路一边只种一端的线段型植树问题。由此可以看出，例1、例2及例2后面的“做一做”都属于线段型植树问题，内容及本质相近，主要是让学生在相互比较中理解三种线段型植树问题的区别与联系。学生一旦掌握了线段型植树问题，理解例3 就变得相对容易，因为可以将曲线型植树问题转化为线段型植树问题。将这三种本质相近的植树问题整合在一堂课上进行教学，有助于引导学生进行对比分析，厘清它们的相似之处和不同之处，从而建构一个整体的知识体系。

通过仔细研读教材，可以发现这三种植树问题模型的共同点。教师可以以这些共同点为主线，引导学生整体理解线段植树问题的三种类型，并深入探究与路长、间隔长、间隔数、树的数量等四个概念相关的规律，尤其是棵数与间隔数之间的关系。

2.挖掘学生“明白”，突出困惑

俞正强老师指出，教学要在学生原有生活经验或者知识基础上进行，离开了学生的“活”就教“死”了。教师应该去琢磨学生对每个内容的“已有明白”，这些“已有明白”是教学的起点，是教师教学活动赖以开展的“内因”，只有正确把握了“内因”，才能使学生的学习落在支撑点上，课堂才能真正体现“以生为本”“以学定教”的课改理念。

植树问题属于综合实践板块，这样的新授课与前后知识的联系较弱，学生已有经验和知识究竟如何，学习新知的原点在哪？笔者为了在教学之前充分了解学生的认知状况，对学生进行了测评调研。

问题1：你听说过植树问题吗？请写一写、画一画。

学生答题的正确率超过90%，说明学生已经知道路的两边或一边植树的三种情况。如图1-1 所示，对于道路两边或一边两端都种树的线段型植树问题，学生的正确率高达92.5%。答题错误的如图1-2 所示，学生画出了现实情境中的一棵树，并在树的周围种了一圈小花和小草，可以看出这位学生没有线段型植树的现实经验或概念。

图1-1

图1-2

问题2：在全长20米的小路一边栽树苗，每隔5米栽一棵。一共需要栽多少棵树苗？（请先画一画，再写一写算式）

对于在道路一边两端都种树的线段型植树问题，学生的正确率为82.6%，只种一端的正确率为6.2%，两端都不种的正确率为2.2%。错误的原因在于学生不明白间隔、间隔数的概念及棵数和间隔数的关系。

二、找准生长点，读懂学生需知的

教师应该从学生的成长角度出发，关注并理解学生的学习需求，注意学生已有知识的固着点与新知识的潜在联系，合理设定学生的最近发展区。

1.运用“明白”经验，感悟规律

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：“通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力。”植树问题比较抽象，需要借助直观载体进行理解。结合前测问题，笔者从学生的原有认知入手，利用数形结合展开新课教学。

针对例1“在全长为20 米的小路一边植树，每隔5 米种一棵。一共需要多少棵树？（想一想、画一画、写一写、说一说）”，分别提出“每隔5 米是什么意思？”“相邻两棵树之间的距离叫间隔。这些间隔的长度之间有什么关系？”“20 米的小路一边有几棵树？有几个间隔？”等问题。

这一教学成功找准了教学的生长点，充分考虑了学生的能力层次。首先，学生能够准确抓住“每隔5 米”这一关键信息，从而明确了“间隔”和“间隔数”的概念。其次，通过绘制“在全长为20 米的小路一边植树”的三种示意图（两端都种、只种一端、两端都不种），教师有效地呈现了线段型植树问题的不同情况。尤其是只种一端和两端都不种的情形，这些可能是学生现实经验较少的部分，因此示意图在教学中扮演了关键的支撑角色，为学生提供了有力的学习框架，并准确地满足了学生的实际需求，有利于教师将教学定位在学生的最近发展区域。最后，通过示意图，学生能够准确列出相应的算式，同时，能够清晰地解释间隔数与树的数量之间的关系，初步理解了树的数量和间隔数之间的规律，在解决问题的过程中提升了能力。

2.改造“明白”经验，建立模型

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：“能够探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律，经历数学‘再发现’的过程。”在探究过程中积累和改造基本活动经验，有助于学生更好地理解三种植树问题模型。

教师把例1的小路全长改变成25米，要求在小路一边植树，每隔5 米种一棵。通过“做一做”活动，学生计算出需要多少棵树，从而积累了解决植树问题的实际经验，深入了解了植树问题三种类型的基本特征。

教师再把例1的小路全长分别改为30米、1000米，要求在小路一边植树，每隔5 米种一棵。通过“想一想”活动，学生再次计算出需要多少棵树，并利用线段图动态模拟植树的过程。这进一步提高了学生解决植树问题的能力，使他们更加清晰地理解了三种植树问题模型的基本特征，即“（两端都种）棵数=间隔数+1”“（两端都不种）棵数=间隔数-1”“（只种一端）间隔数=棵数”。

通过对比三种植树问题模型，学生发现了这三种关系在不同路长情况下都是不变的。这有助于学生从整体的视角理解三种类型之间的关系，加深了他们对这些概念的理解。这一过程的核心是教师启发学生表达他们的“明白”经验，因为充分表达有助于学生更好地掌握新知识。通过设计任务和活动，学生不断提升他们的“明白”经验，建立解决问题的模型，思维得到深度发展。这样的教学方法有助于培养学生的自主学习能力和问题解决能力。

三、培养生态点，读懂学生未知的

课堂氛围在一定程度上决定了学生的学习效率。教师应该大胆放手，为学生提供充足的时间和空间，让学生应用所学知识解决问题，感受植树问题模型的实际应用价值，识别尚不明确的知识点。学生可通过自主交流、讨论和协作等学习方式，构建知识之间的联系，建立关联性的理解，从而提高数学思维能力。

1.转化“明白”经验，丰富模型

教师先给出问题“生活中有很多植树问题，除了树，还有其他的吗？”，再出示生活中的植树模型（路灯图、公交站图、队列图、楼层图、斑马线图、插旗图、绳结图等），让学生说出对应的是植树问题的哪种模型，理由是什么。这一环节活跃了课堂氛围，激发了学生兴趣，激活了学生思维，沟通了知识之间的联系，丰富了植树问题模型。

2.活用“明白”经验，内化模型

生活中有不同形式的植树问题，教师可给出不同情境下的问题：

（1）相邻2 人之间相隔2 米，队伍有192 米长，排队的一共有多少人？

（2）如果有一条线长160 厘米，每20 厘米穿一只千纸鹤，一共需要多少只千纸鹤？

（3）锯一根9米的木棍，每90厘米一段，一共要锯几次？

这三题有着不同的特定生活情境，学生在解决问题的过程中能够明白植树问题的形式具有变通性，规律具有可塑性，模型具有发散性，从而培养了学生的深度思考能力和理性思维。

四、搭建拓展点，读懂学生“能知的”

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：“设计教学活动，参考学生的个人经验和已有知识积累，从解决问题实际出发，明确所学的知识与技能，提出相应的学习任务，确定活动形式，明确学习成果的形式和要求等。”为此，教学在完成基本目标的前提下，要有一定的弹性，搭建起学生学习的拓展点，读懂学生“能知的”，促进学生深度思考。

1.提升“明白”经验，深化模型

深度学习非常重视学生的自主性，学生利用已有的知识和经验主动学习，能使思路更加清晰，理解更加深入。

教师可出示题目“要在宽度为6米，长度为104米的一块菜园的四周种果树，每隔2米种1棵，一共要种多少棵果树？”让学生说理，以此锻炼学生应用知识的能力以及解决问题的能力。通过对比分析，学生明白“把曲线型植树问题转化成线段型植树问题”就好理解了。至此，学生在用心学习和思考的过程中对所学的数学知识形成了深刻认识，提升了“明白”经验，深化了植树问题模型。

2.拓展“明白”经验，升华模型

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：“在教学过程中，不仅要注重具体内容与核心素养之间的关联，还要注重内容主线与核心素养发展之间的关联。”因此，教师要拓展植树问题的外延，升华植树问题的三种模型。

教师可提出问题“观察16+20+24+…+80+84+88，这个算式共有多少个数？”学生利用推算的方法演算，感到非常困难。于是，教师引导学生思考算式中哪些相当于植树问题模型的间隔、间隔数、棵数、路长。学生通过观察、讨论、演算等，沟通了算式和植树问题模型之间的联系，明白了这是“两端都种树的植树问题模型”，“算式中的每个数、相邻两数的差‘4’、‘88-16’的差‘72’、共有多少个数，分别对应着植树问题中的树、间隔、路长、棵数。通过拓展练习把等差数列和植树问题进行整合，学生通过沟通梳理，解决了类似的植树问题。这样就拓展了植树问题的外延，扩大了植树问题的应用范围，帮助学生积累了植树问题的普适性经验。

总而言之，深度学习是新授课教学的关键。教师应该从学生已有的基础出发，引导他们表达出“明白”的经验，以促进他们的思考。同时，要找准教学的生长点，了解学生需要了解的内容，利用他们的“明白”经验来培养他们的思维能力。此外，培养生态点，探索学生尚未知晓的领域，运用他们的“明白”经验，推动他们进行理性思考。最后，建立拓展点，帮助学生更深入地理解已知的知识，提高他们的“明白”经验，实现深度学习。