逆向思维在初中数学解题中的应用

王安林

【摘要】逆向思维是一种相对于正向思维而说的思维方式.在初中数学解题中，利用逆向思维，有效运用数学知识，可以达到意想不到的解题效果.作为初中数学教师，应当重视逆向思维的利用，采取多样化的教学方式，培养学生的逆向思维能力，掌握逆向思维的应用方式，有效解答数学问题.本文旨在分析逆向思维在初中数学解题中的應用策略.

【关键词】初中数学；解题；逆向思维

在新课程改革背景下，初中数学教学注重学生数学素养的培养，逆向思维是学生数学素养发展的体现.在初中数学教学中，通过对学生的解题情况进行分析，发现部分学生缺少逆向思维，只是单纯地套用公式，缺少灵活解题技巧，不能够灵活利用逆向思维，使得解题效率较低.因此，作为初中数学教师，应当引导学生深入理解逆向思维，并且将其运用于数学学习与解题过程中，提高学生的数学素养.

1 利用逆向思维，解答方程类问题

例1 已知实数a、b、c使得a=b+2，2ab+22c2+1=0成立，那么a+b+c的值是（）

（A）-1.（B）0.（C）1.（D）2.

分析 通过对题目进行观察，发现题目中的信息不多，问题看似比较简单，其实解题难度较大，需要对题目条件进行变形，还需要利用逆向思维，借助韦达定理的逆定理进行推导，完成解题.

解 因为a=b+2，所以a－b=2，

根据2ab+22c2+1=0得出－ab=2c2+12，

根据韦达定理可以得出a、－b是方程x2-2x+2c2+12=0的两个实数根，

所以Δ=（-2）2－4（2c2+12）=－42c2≥0，当c=0时满足条件，此时Δ=0，a=－b，所以a+b+c=0，所以正确答案是（B）.

2 利用逆向思维，解答不等式问题

例2 已知关于x的不等式组

x－43－x＜－4x－m＞0，

其解集是x＞4，且整数m能够使得关于x、y的二元一次方程组mx+y=83x+y=1的解为整数，下列选项中不符合条件的m的值是（）

（A）-4.（B）2.（C）4.（D）10.

分析 在题目中通过一个不等式组的解集，要求学生求解某个参数的取值范围，利用逆向思维可以快速解题，提高解题效率.

解 因为关于x的不等式组

x－43－x＜－4x－m＞0，

所以x＞4，x＞m，

因为不等式组的解集是x＞4，所以m≤4，

根据关于x、y的二元一次方程组

mx+y=83x+y=1，

得出x=7m－3，

因为方程组的解是整数，所以m－3=1，m－3=－1，或者m－3=7，m－3=－7，

所以得出m=4或m=2或m=10或m=－4，因为m≤4，所以m=10不符合题意，舍去.正确答案是（D）.

3 利用逆向思维，解答三角形问题

例3 如图1所示，△ABC中，AB=AC，D是三角形外的点，且AB⊥AD，BC与AD的交点是E，BC⊥DC于点C，AD与DC的交点是D.证明：AC2=AD×AE.

分析 对于此题目解答时，根据题目条件难以形成清晰的证明思路，教师可以引导学生根据结论进行逆向思维思考，想要证明AC2=AD×AE，可以对其进行变形，即ACAD=AEAC，想要得到此结论，需要证明△ADC∽△ACE，通过对图1进行分析，两个三角形存在一个公共角，根据三角形相似判断方法，需要再找到一组角相等，即可证明三角形相似.

证明 因为AB⊥AD，BC⊥DC，

所以∠ECD=∠EAB，

因为∠CED=∠BEA，所以∠D=∠B，

因为AB=AC，

所以∠BCA=∠D=∠B，

所以在△ADC与△ACE中，∠D=∠BCA、∠CAD=∠EAC，

所以△ADC∽△ACE，

所以AC2=AD×AE.

4 利用逆向思维，解答四边形问题

例4 如图2，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作直线AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若直径AB＝6，当AD＝时，四边形ACDO是菱形.

分析 （1）略.

（2）“直难想逆”，正着思考有难度的，可从结果出发，反推AD的长度.根据四边形ACDO是菱形，可得OD＝CD＝BD＝OB，得∠DBA＝60°，进而可求AD的长；

解 （1）证明略.

（2）当AD=33时，四边形ACDO是菱形，理由如下：

四边形ACDO是菱形时，OD＝CD＝BD＝OB，

所以∠DBA＝60°，

因为AB是⊙O的直径，

所以∠ADB＝90°，

所以AD＝AB·sin∠DBA＝6×sin60°＝33．

所以当AD=33时，四边形ACDO是菱形．

5 利用逆向思维，反证法证明几何问题

例5 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.

分析 本题可以利用反证法进行证明，具体步骤为：

（1）假设命题的结论不成立（假设在一个三角形中，有两个角是钝角）；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（与三角形内角和为180°矛盾）；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确（在一个三角形中，不能有两个角是钝角）.

证明 如图3，在△ABC中，假设∠A和∠B为钝角，

那么：∠A+∠B>180°，

则∠A+∠B+∠C>180°，

与三角形内角和为180°矛盾.

所以在一个三角形中，不能有两个角是钝角.

6 结语

初中数学解题中，逆向思维被广泛使用，教师需要结合教学实际，考虑学生实际情况，灵活利用逆向思维，突破学生解题障碍，寻找解题切入点，通过解题帮助学生掌握逆向思维应用技巧，提高学生的解题能力与水平.

参考文献：

[1]戚嘉伟.探究初中数学解题教学中逆向思维的应用[J].求知导刊，2021（09）：23-24.

[2]张淑霞.浅谈初中数学解题教学中逆向思维的应用[J].读天下（综合），2020（30）：1.

[3]郑健煌.初中数学解题教学中逆向思维的应用探讨[J].数理天地（初中版），2023（01）：57-59.