例谈整式加减中的缺项与无关问题

【摘要】本文结合具体题目阐述整式加减中常见的缺项问题和无关问题，提供解题的一般方法，以帮助学生巩固含参数整式的加减运算，提升解决含参数整式问题的能力．

【关键词】整式的加减；参数；缺项问题；无关问题；变式

“整式的加减”是人教版数学七年级上册第二章的学习内容，本章在学习整式的概念、合并同类项、去括号以及化简求值的过程中，会遇到较多含参数的整式问题，其中较典型的有缺项问题和无关问题.本文以八道题目的解答为例，阐述了整式缺项与无关问题的解题原理和方法，能有效巩固含参数整式的加减运算，进一步提升解决含参数整式问题的能力．

1 知识回顾

通过以下四道选填题，回顾含参数整式中的合并同类项、求系数、次数、项数问题，初步接触含参数整式的缺项问题和无关问题.

（1）关于x，y的单项式mxy2和-6y2x合并的结果为．

（2）已知整式x|m|-（m-2）x+3是关于x的二次三项式，则m的值为．

（3）已知（a-1）x3+（b+2）x2+1是关于x的二次多项式，则a，b的值可以是（）．

A．0，0B．0，-1C．1，0D．1，-2

（4）已知整式x2+mxy-y2+3不含xy项，则m的值为．

解答 （1）（m-6）xy2．

（2）依题意|m|=2，-（m-2）≠0，所以m=-2．

（3）依题意a-1=0，b+2≠0，解得a=1，b≠-2，所以答案选C．

（4）因为不含xy项，所以m=0．

2 解题探究

2.1 缺项问题

缺项问题指的是整式中不含某项的问题．解决缺项问题的一般方法是先将整式进行化简，再根据题目要求，不含哪一项则令该项的系数为0，从而解出其中的参数．其原理是因为无论某项中的字母取何值，只要该项系数取0，则该项的值就为0，所以要使某项不存在，就令该项的系数为0．

下面以四道例题为例，例1和例2是直接应用，例3需要先化简整式找出系数，例4需要先列式求出该整式再进行解答，解题时还应注意正确区分题目中的自变量和参数．

例1 已知关于x的整式x4-（m+2）x3+（n-1）x2-3x+5不含x3项和x2项，求m，n的值．

解 因为该整式不含x3项和x2项，所以这两项的系数为0，即-（m+2）=0，n-1=0，解得m=-2，n=1．

例2 已知整式（a-2b）x4-（2a+b）x3+x2-2是关于x的二次多项式，求3a-b的值．

解 因为该整式是关于x的二次多项式，故不含x4项和x3项，所以这两项的系数为0，即a-2b=0，-（2a+b）=0，所以a-2b+（2a+b）=0，即3a-b=0．

例3 已知关于x，y的整式ax2+xy+2x2-3x-bxy+y不含二次项，求3a-5b的值．

解 将整式合并化简，得（a+2）x2+（1-b）xy-3x+y．因为该整式不含二次项，所以二次项（a+2）x2和（1-b）xy的系数为0，即a+2=0，1-b=0，解得a=-2，b=1，所以3a-5b=-11．

例4 已知关于x，y的整式A=3x2-mx-n和B=y2+2x-5，如果A+B中不含一次项和常数项，求（m+n）m的值．

解 先求出A+B=3x2-mx-n+y2+2x-5=3x2-（m-2）x+y2-n-5．因为A+B中不含一次项和常数项，所以-（m-2）=0，-n-5=0，解得m=2，n=-5，所以（m+n）m=（-3）2=9．

2.2 无关问题

无关问题指的是整式的值与某字母取值无关的问题．与缺项问题类似，若与某字母取值无关，则说明含该字母的项不存在．所以解决无关问题的一般方法是先将整式化简，再根据题目要求，令含该字母的项的系数为0，进而解出其中的参数．

下面以四道例题为例，例5是直接应用，例6需要先列式化简求出该整式，例7和例8通过定值问题的形式呈现，考查综合运用能力．

例5 已知整式（a+3）x2+（b-2）x+5的值与x的取值无关，求a，b的值．

解 因为该整式与x的取值无关，所以令（a+3）x2和（b-2）x的系數为0，即a+3=0，b-2=0，解得a=-3，b=2．

例6 已知整式A=x2+mx+2m，B=2x2-2mx+x-3，如果2A-B的值与x的取值无关，求2A-B的值．

解 因为2A-B=2（x2+mx+2m）-（2x2-2mx+x-3）=（4m-1）x+4m+3．由于2A-B的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即4m-1=0，解得m=14，所以2A-B=0+4m+3=4．

例7 已知整式A=2x2+mx-2x+3，B=-x2+2mx-1，小明在计算3A+6B时发现，无论x取何值，3A+6B的值恒不变，求m的值．

解 先求出3A+6B=3（2x2+mx-2x+3）+6（-x2+2mx-1）=（15m-6）x+3．因为无论x取何值，3A+6B的值恒不变，说明其值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即15m-6=0，解得m=25．

例8 已知无论x，y取何值，整式2mx2-ny+5与nx2+4y-10的差都等于定值15，求m2+n2的值．

解 先求出（2mx2-ny+5）-（nx2+4y-10）=（2m-n）x2-（n+4）y+15．因为无论x，y取何值，该差值都等于定值15，说明其值与x，y的取值无关，所以含x，y项的系数为0，即2m-n=0，n+4=0，解得m=-2，n=-4，所以m2+n2=20．

参考文献：

[1]苏国东.“整式的加减”单元作业设计与实施[J].中学教学参考，2023（05）：10-12.

[2]苏国东.理解本质，巧妙运用——谈平方差公式的应用技巧[J].数理天地（初中版），2023（05）：14-15.

[3]孙志东.与字母取值无关问题的解法[J].中学生数学，2023（14）：12-13.