初中数学解题中逆向思维的应用

梁婷婷

【摘要】在初中教育阶段，数学是一门对学生思维能力要求较强的课程，无论是在理论知识学习中，还是在解题训练中均是如此，教师需适当加强对他们的思维训练，其中在解题环节，应当指导学生尝试应用逆向思维进行解题，锻炼他们解题能力的同时改善他们的思维水平.基于此，本文主要对初中数学解题中如何应用逆向思维进行探讨，同时罗列部分解题实例.

【关键词】初中数学解题；逆向思维

逆向思维又称求异思维，是对一些观点或事物进行反向思考的一种思维方式，从问题的相反方向展开探索，产生新思想与新思路.在初中数学解题教学中，面对诸多难度较大的题目，当从正向视角无法处理时，教师可以引导学生巧借逆向思维，从问题的结论或反方向进行思考，使其快速找到解题的突破口，助推他们高效解题，并发展思维能力.

1 应用逆向思维方法，轻松解决证明试题

例1 如图1所示，在一个四边形ABCD中，M与N分别为边AB和DC的中点，其中MN=12（AD+BC），请证明AD∥BC.

分析 应用逆向思维方法时，本质上都是“正难则反”，处理这道证明题时，如果从正向视角对题设进行证明，难度较大，这时教师可提醒学生从逆向视角切入，先假设AD与BC不是平行关系，然后进行逆向推理，直至找到同题设条件或者常规定理存在冲突，就说明假设不成立，题设是成立的[1].

详解 假设AD与BC不是平行关系，画出辅助线，连接对角线BD，设点P为BD的中点，再连接MP、NP，

在△ABD中，因为BM=MA，BP=PD，

所以MP∥AD且MP=12AD，

以此类推，采用一样的方式可以证明PN∥BC且PN=12BC，

所以MP+PN=12（AD+BC），①

此时BD的中点并非在MN上面.

又因为MN∥AD，MN∥BC，

所以AD∥BC，

这与假设AD与BC不是平行关系产生冲突，

所以说M、P、N三点没有共线，

MP+PN≥MN，②

由①、②得MN＜12（AD+BC），显然这与已知条件MN=12（AD+BC）存在冲突，

所以假设是不成立的，故AD∥BC.

2 运用逆向推导方法，推出与已知条件矛盾

例2 已知在三角形ABC中，满足AB和AC相等的关系，且P点是三角形ABC内的一点，∠APB＞∠APC，请证明PB和PC的长度不同.

分析 當无法直接证明结论时，学生可从反方向切入，假设命题的反面成立，并将其当作一个已知条件进行逆向推理和证明，直至得出同已知条件相矛盾，把假设推翻，从而证明原命题正确.此题可先把问题转变成假设PB和PC的长度相等，将其当作已知条件来用，结合三角形全等证明∠APB和∠APC是相等关系，同题干信息相矛盾，由此证明原有结论[2].

所以所假设是不成立的，PB和PC的长度不同.

3 巧妙借助逆向思维，逆用数学问题条件

例3 已知参数n是一个正整数，尝试求出满足下列条件的n的最小值：针对n，存在正整数k满足815＜nn+k＜713.

分析 处理这一题目时，要想从题干给定的条件中找到n所满足的式子，就要对nn+k进行简化处理，把其中的参数n分离出来，通过观察nn+k能够发现借助逆向思维，运用取倒数的方式可以实现对n的分离，由此明确解题思路.

详解 结合题目中给定的条件815＜nn+k＜713，

对这一不等式的两边进行取倒数以后能够得到158＞n+kn＞137，

也就是158＞1+kn＞137，

把这个式子化简以后转变成67＜kn＜78，

因为参数n和k都是正整数，

所以参数n一定不能比8小，假设参数n=9，

这样可以得到547＜k＜638，

此时发现不存在满足这一不等式的k的值，

然后再依次取用n为10，11，12，13与14代入式子，发现均没有符合不等式的k的整数解，当n的值取15时，能够得到907＜k＜1058，

这时有符合条件的正整数k，即为k=13，

综上可得能够确定符合本题条件的正确答案是n=15，k=13.

4 结语

综上所述，逆向思维作为处理某些问题的一种重要思维方式，同以往的正向思维有着相反的特征，在初中数学解题教学活动中，巧借逆向思维往往能够产生意想不到的效果，教师应当指引学生根据实际情况灵活运用逆向思维，且确保逆向推导过程的准确性，使其摆脱固有思维模式的束缚与禁锢，让他们的思维变得更加灵活，从而高效解答数学试题.

参考文献：

[1]黎春.探究初中数学解题教学中逆向思维的应用[J].数理天地（初中版），2023（15）：47-49.

[2]时慧娜.逆向思维在初中数学解题中的合理应用[J].数理天地（初中版），2023（11）：69-70.