转化思想在初中数学解题中的应用策略探微

尹家惠

(江苏省南京市金陵中学河西分校,江苏 南京 210019)

初中数学习题具有灵活性和多变性的特点,为了提高学生的解题能力,教师应将转化思想渗透到解题中的各个流程,有意识地利用直接转化、降次转化、数形转化等多种常用的转化方法解决问题,切实提高学生运用转化思想解题的意识和能力,助推学生数学核心素养的提升.

1 转化思想概述及转化方法

1.1 转化思想概述

初中数学是一门严谨且抽象的学科,很多理论知识都具有较强的逻辑性,而且多数问题也无法通过直观思维得到顺利解决[1].因此,学生在解题过程中经常会遇到一定障碍,但在教师的引导下,学生会通过观察、分析、对比等方式阅读题干要求,将问题以另一种方式呈现,使原本复杂的问题变得更加简洁、直观,有效降低习题难度.通过对新问题的分析逐渐理清原先问题的解题思路,这种思想就是转化思想.它的本质是挖掘不同问题之间的关联性,为问题的解决做好充分准备.在初中数学教学中,教师应结合学生的实际情况选择恰当的方式讲解转化思想,使学生意识到这种思想在解题中的便捷性和高效性,以此锻炼其转化能力,帮助其加深对课程内容的理解,使其更好地学习数学知识.

1.2 转化思想的转化方法

在初中数学解题中,教师要渗透转化思想,使学生树立一定的转化意识,不仅可以提高学生的知识应用能力,还可以实现数学综合素养的发展.转化思想的转化方法主要体现在以下几方面.

1.2.1语言转化

语言转化主要指通过转变语言的方式简化问题,将数学语言替换为生活语言,使题干中的文字、符号、图形等内容变得清晰、直观,这种方式符合初中学生的认知特点,有利于问题的顺利解决.

1.2.2类比转化

类比转化主要指将一个事物转变为与其相近的事物,如初中数学教学中的一元一次方程式和一元一次不等式问题,学生掌握其中一种解题思路后,通过类比转化能正确解答另一种类型的习题.

1.2.3数形转化

数形转化是最为常见的转化方法,将数学与图形结合起来,对问题的解决起到辅助作用,对初中阶段的函数、方程等相关例题的探究具有重要作用.

1.2.4分解转化

分解转化方式通常运用于较为复杂的问题,将大问题分解为若干个小问题,有效降低解题难度,同时还可以锻炼学生思维的灵活性.

2 转化思想在初中数学解题中的应用策略

2.1 基于化陌生为熟悉的数学解题

初中阶段的学生已经接受过系统性的数学教学,通过不断的积累具备了一定的数学基础,但是受到年龄因素的影响,学生的认知能力不够成熟,无法自主分析新课知识,直接影响其解题效率[2].因此,当学生面对较为复杂的理论知识或数学问题时,应保持冷静的态度进行独立思考,结合之前所学内容对它实施拆分,将大问题拆分成若干个简单的小问题,通过分解的方式顺利计算出正确答案.也就是说,在初中数学解题中,教师要培养学生的自主探究意识,引导学生运用转化思想将习题分解成熟悉的内容,通过知识的迁移总结出解题思路.

以苏科版七年级上册《解一元一次方程》为例,教师利用多媒体设备出示一道例题:学校要将一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本,如果每人分4本,则还缺25本,问这个班一共有多少名学生?在教师的引导下,学生知道要用方程解决此问题,可以它分解为两个小问题,设这个班有x名学生,每人分3本,共分出3x本,加上剩余的20本,这批书就是(3x+20)本;每人分4本,需要4x本,减去缺的25本,这批书共(4x-25)本.通过解决这两个小问题,学生便能轻松列出方程:3x+20=4x-25,利用等式性质即可得出x=55.

2.2 基于化复杂为简单的数学解题

在初中数学教学中,学生经常遇到无法解决的问题,不能在短时间内找到突破口,久而久之容易打击其自信心,对数学学科产生排斥的情绪[3].当学生遇到复杂问题时,教师应灵活运用转化思想,引导学生认真阅读题干要求,深入分析已知条件,尝试将其转变为简单的问题,利用现有的知识储备进行自主探究,直至问题顺利解决,彰显转化思想对解题产生的积极作用.

以苏科版七年级下册《单项式乘多项式》为例,当学生对本课理论知识形成一定的认识后,教师借助随堂练习检测其学习情况.

如图1所示,一块长方形土地用来建造住宅、广场、商厦,求这块地的面积.

图1 长方形地块面积分布

问题出示后,教师应带领学生将复杂的问题简单化处理,只要求出这块地的长和宽,将二者相乘,或者求出每个小长方形的面积然后相加,就能求出这块地的面积.在教师的引导下,学生逐渐理清解题思路,长方形地块的长是(3a+2b)+(2a-b),宽是4a,这块地的面积是4a[(3a+2b)+(2a-b)]=4a(5a+b)=20a2+4ab.

经过实践使学生发现,此类问题就是将单项式乘多项式以应用题的方式,本质上是最基础的计算问题,只要正确按照运算顺序进行计算,就能得出正确答案,使学生解决问题的自信心得以提升.

2.3 基于化抽象为具体的数学解题

对于初中生来说,虽然他们已经具备一定的数学基础,但是在思考问题时仍然以形象思维为主,无法透彻理解抽象的题干要求,直接影响最终的解题效率.基于此,教师要针对学生的具体表现给予帮助,引导学生将抽象的问题转化为具体形式呈现,也就是大家熟悉的数形结合.如此一来,原本抽象的数学问题便可以用图形进行具体的体现,学生运用直观思维也能顺利解决问题,不仅可以培养学生的空间想象力,还有利于思维能力的拓展[4].

以苏科版八年级上册《探索三角形全等的条件》为例,教师带领学生共同分析例题:已知平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,则∠A与∠C相等吗?为什么?为了保证解题效率,可以利用转化思想中化抽象为具体的方式进行研究,根据题干要求画出相应的图形,如图2所示.

图2 平行四边形

图3 AE与圆O的关系图

要想证明∠A=∠C,应先证明其所在的两个三角形全等,再根据全等三角形性质进行说明∠A=∠C.已知图中具备两边相等的条件,将BD连接起来便能解决问题.具体过程如下:连接BD,在△ABD与△CDB中,AB=CD,AD=BC,BD=DB,所以△ABD≌△CDB(SAS).通过作图的方式使抽象的例题变得更加具体,让学生学会利用添加辅助线获得公共边,以此证明三角形全等.

2.4 基于化零为整的初中数学解题

在初中数学教学中,部分习题无法用传统方法解决,为了不打击学生的自信心,教师应引导他们认真阅读题干中给出的信息,分析数学知识中蕴含的内在规律,通过对整体和局部之间关联性的挖掘落实转化思想,将原本的题目化零为整,从整体的角度进行分析,使学生快速解决问题.这种方式凸显转化思想的重要性,使学生在阅读题干过程中获得正确的解题思路,不仅可以深化知识理解,还能将其灵活运用于实际问题的解决中,立足于问题整体进行深入研究,在化零为整中探索内在规律,充分保证解题问题的实效性.

2.5 基于化一般为特殊的数学解题

随着年级的升高,数学习题的难度和深度也在发生改变,一些例题中的已知条件和所求问题没有必然的联系,常规方法很难求出最终结果.因此,教师要根据多元化的问题采取相应的教学策略,在解题过程中渗透转化思想,让学生知道即便现有的条件不够充足,也可以通过化一般为特殊的方式推理出有用的信息,将其转化为易于解决的特殊问题,从而有效解题.

以苏科版九年级上册《直线与圆的位置关系》为例,教师利用多媒体向同学们出示一道填空题:在△ABC中,∠B=90°,D为AC上一点,以CD为直径的圆O交AB于点E,连接CE,且CE平分∠ACB.求证:AE是圆O的切线.

此题已知条件不够充足,根据现有信息很难完成证明,教师可以引导学生用转化思想中的化一般为特殊的方式添加辅助线,将OE连接起来,便于接下来的论证.因为CE平分∠ACB,所以∠ACE=∠BCE.因为OE=OC,所以∠ACE=∠OEC,∠BCE=∠OEC,所以OE∥BC,所以∠AEO=∠B.因为∠B=90°,所以∠AOE=90°.即OE⊥AE.因为OE是圆O的半径,所以AE是圆O的切线.

综上所述,转化思想是初中数学解题中的有效方法,不仅能使学生加深对理论知识的理解,提高解题效率,还可以在直接转化、降次转化、换元转化中锻炼其思维的灵活性和发散性,有助于发展学生的数学核心素养.