推进信息技术与数学教学的深度融合

张加红 张志勇

摘 要：信息技术在数学教学中的应用已由现代化教学手段、课程整合向深度融合发展。数学教学需要能够深入学科内部的软件，从而实现难分彼此的“融合”。推进信息技术与数学教学的深度融合，需要真正触及教育系统的结构性变革，因此，需要开发课程资源、变革学习方式、重构教学时空，让学习走向深度，让探究成为习惯，让创新就在身边。

关键词：数学教学；信息技术；数学学科软件；深度融合

在“互联网+”时代，人工智能、大数据、5G、区块链、量子通信等的迅猛发展，使得信息技术的应用正以前所未有的深度和广度加速渗透到各个领域。于是，“信息技术与数学教学的深度融合”成为基础教育数学课程标准的重要理念。然而，即便是信息技术高度发达的今天，著名的“乔布斯之问”（为什么计算机改变了几乎所有领域，却唯独对学校教育的影响小得令人吃惊）在数学教学中一样存在。理想与现实的强烈反差让我们不得不追问：数学教学需要怎样的信息技术？什么是信息技术与数学教学的融合？怎样才能实现信息技术与数学教学的深度融合？

一、 数学教学需要怎样的信息技术

提起信息技术，很多教师可能会立刻想到“PPT+投影”。数学教学需要的信息技术大致也可以分为两类：一类是支持教学活动的，如投影；一类是服务数学内容的，如PPT。当下，支持教学活动的技术有很多，如显示设备（电子白板、交互式一体机等）、智能移动终端（手机、平板电脑、笔记本电脑等）、无线同屏投影技术、智慧教育云平台等，它们共同搭建了一个联通共享的教学环境。特别值得一提的是无线投屏技术，可以实现移动终端媒体内容的共享，也可以记录和分享课堂生成的学生个性化成果、典型问题。所以，我们在教学时，不能只选择投影这样简单的单向传输技术。考虑到数学教学的特殊性，以下我们专门讨论服务数学内容的信息技术。

首先，PPT这样的文稿演示软件真的能够支持数学教学吗？姑且不提课堂教学的动态生成，只是数学对象的准确呈现就“举步维艰”，如分段函数图像、直线与圆锥曲线相切等，何况还有严格的数量关系的理解、动态的数学规律的发现。有教师可能会以“每个学科的教学都在用PPT”来反驳。确实，这种普适性的技术可以花费较少的代价而得到更多的应用领域或用户。然而，此类“方便留给开发者，困难交给使用者”的技术，并没有让有追求的数学教师体会到技术带来的优势和价值。于是，大部分教师对PPT弃而不用，依然使用“粉笔+黑板”的方式进行公式推导、算式演算、几何作图等。

数学教学需要怎样的信息技术？作为纲领性的教学文件，尽管课程标准中关于信息技术应用的表述有些滞后，但从中还是可以发现中学数学教学应用信息技术的发展沿革：信息技术工具跟随技术发展及教育应用的方向变化，1988年开始推荐幻灯片、投影、录像等视听媒体，2011年推荐多媒体、计算机及其软件等诸多数字化工具，2017年推荐“互联网+”在线教育平台等；信息技术应用理念也以“优化教学、提升质量”为初衷不断更新，从将信息技术应用仅仅视为现代化教学手段，到实现技术与数学课程全面对话的课程整合，再到信息技术与数学教育全过程、创新式融合。［1］更具体地，“为学生理解概念创设背景，为学生探索规律启发思路，为学生解决问题提供直观，引导学生自主获取资源”［2］，正是对数学教学需要的信息技术的正面诉求。

俗话说：鞋子合适不合适，只有脚才知道。所以，我们可以进一步分析数学的学科属性。数学源于对现实世界的抽象，所以要有多元表征、情境创设、直观形象功能，支持学生的理解；数学基于抽象结构展开精确（定量）、严谨（逻辑）的研究，所以要有数据分析、符号运算、形式推理功能，支持学生的探索；数学帮助人们认识现实世界的关系和规律（本质），所以要有动态关联、模型构建功能，支持学生的发现。我们将这类能够深入数学学科的信息技术称为数学学科软件。数学学科软件要受到教师和学生的欢迎，还需要有简便易行的特征，具体而言，包括功能齐全交叉集成、入门容易即学即用、简化操作适应习惯、强化交互开放兼容等要素。［3］对中学数学教学而言，GeoGebra、网络画板、几何画板、Cabri 3D、图形计算器等，称得上数学学科软件的重要选项。

二、 什么是信息技术与数学教学的融合

从字面上理解，“融”是融化溶解，强调的是方法过程；“合”是交汇合成，凸显的是目标结果。“融合”的含义应该是难分彼此，信息技术与数学教学合二为一、融为一体。我们先看一个融合的案例。

【案例1】从任意三角形的内切圆到任意四面体的内切球

众所周知，类比推理是研究立体几何的基本方法。于是，有学生提出问题：任意的三角形有唯一的内切圆，那么任意的四面体是不是也有唯一的内切球呢？应该说，这是一个很好的类比探究素材。难点是无法证实，推理证明当然难以实现，几何构造也困难重重。于是想到向GeoGebra求助，师生一起经历了一次现场生成的创造实践。

先是创意思考。构造内切球需要找到球心、算出半径。半径只要用指令“距离（〈点〉，〈对象〉）”即可轻松算得，关键在球心的确定。考虑到“三角形的内心为三条角平分线的交点”，类比猜想“四面体内切球的球心为六个二面角平分面的交点”。而两个平面相交得到一条直线，两条直线相交确定一个交点，因此实际操作时，只要绘制三个二面角平分面。二面角平分面没有定义，只能构造。借鉴角平分线的含义“将一条边上任意一点绕着顶点向另一条边的方向旋转角度的一半得到一个新的点，连接新的点和顶点即可得到角平分线”，可以定义二面角平分面这一新概念。

再进行构造实践。在指令框中分别输入“平面（旋转（A，角度（平面（A，B，C），平面（P，B，C））/2，直线（B，C）），B，C）”“平面（旋转（B，角度（平面（B，C，A），平面（P，C，A））/2，直线（C，A）），C，A）”“平面（旋转（C，角度（平面（C，A，B），平面（P，A，B））/2，直线（A，B）），A，B）”，可得平面l、m、n；再输入指令“交点（相交路径（m，l），相交路径（m，n））”，可得球心M；接著输入指令“距离（M，平面（P，A，B））”，可得球的半径R；最后输入指令“球面（M，R）”，便可得到四面体PABC的内切球M（如图1所示）。

上述探究过程不仅是一次运用数学知识解决数学问题的实践活动，更是一次数学的“再发现”和“再创造”。比如，我们定义了二面角的平分面，构造了任意四面体的内切球，发展了数学研究的类比推理方法……在此

吴康宁教授曾经将信息技术“进入”教学的方式，分为塞入、加入、嵌入、融入四类，并形象地将相应的信息技术与教学的关系描述为“凑合”的陌生“路人”、“联合”在一起的“同人”、相互“结合”的“友人”、“融合”为一体的“亲人”。［4］从“貌合神离”“若即若离”“一唱一和”到“难舍难分”，恰恰说明：将信息技术“塞入”“加入”教学是不可取的；即便将信息技术“嵌入”教学，依然不能有力回应信息化时代对教学提出的强劲挑战；信息化时代呼唤与之相应的新教学，只有“融入”，才能创构出全新的教学时空，才有可能诞生新教学。

三、 怎样推进信息技术与数学教学的深度融合

反思以往信息技术在数学教学中应用成效不显著的原因，关键在于要真正触及教育系统的结构性变革，而不只是改进教学手段、促进学习理解这样的“渐进式修修补补”。

（一） 开发课程资源，让学习走向深度

信息技术与数学教学的深度融合，首先意味着可以发挥数学学科软件的多元表征、情境创设、直观形象等优势，不断拓宽数学对象的外延，开发更多能够触及数学本质的课程资源，从而为学生的数学理解构建场域，为真实的数学学习开辟路径。当然，重要的是“以深刻的思想启迪学生”，让学生的数学学习走向深度，获得朴素而广泛、深厚而灵动的数学思想。

【案例2】从截线定义到轨迹定义的圆锥曲线

早在公元前3世纪前后，古希腊学者便发现了圆锥曲线。梅内克缪斯用平面截不同顶角的圆锥，得到三种圆锥曲线（如图2所示）；阿波罗尼斯则在同一个圆锥中改变截面相对圆锥轴的夹角，截出三种圆锥曲线（如图3所示）。然而，从截线定义到轨迹定义，数学家们却用了两千多年的时间。直到1822年，比利时数学家旦德林利用圆锥的两个内切球，在截面上作出圆锥曲线的焦点，再利用球的切线长相等的结论，推导出圆锥曲线的第一定义，从而填平了圆锥曲线截线定义到轨迹定义的鸿沟。以椭圆为例，用GｅｏGｅｂｒａ作图，如图4，在椭圆上任取一点M，圆锥过点M的母线与（双球与圆锥的）切线分别相交，交点为P、Q，则PQ为定值。又由球的切线长相等，知MF1=MQ，MF2=MP，于是，MF1+MF2=MQ+MP=PQ为定值，从而可得椭圆的轨迹定义。

圆锥曲线概念的学习对学生而言有很大困难，初学者很难将平面的椭圆、抛物线、双曲线与立体的圆锥联系起来，即便有足够的空间想象力，也难以由截线定义过渡到轨迹定义。有了信息技术，学生便可插上想象的翅膀，在动态关联的直观情境中深度思考，而直观想象、逻辑推理、模型构建正可蕴涵其中。

（二） 变革学习方式，让探究成为习惯

信息技术与数学教学的深度融合，固然要“为学习和教学提供丰富的资源，实现传统教学手段难以达到的效果”，但更为重要的是变革学生的学习方式。将技术交到学生手中，让他们自主操作、主动探索，在经历丰富数学活动的基础上积累足够的经验，在使用技术学习和研究数学中，体验探究的乐趣和发现的美妙。

例如，教学圆锥曲线的概念时，可以让学生用GｅｏGｅｂｒａ自主探究。当学生发现圆锥曲线的形状取决于角α、β的大小关系（α、β分别为圆锥母线、截面与圆锥轴线的夹角），并进一步证实“β>α时为椭圆，β<α时为双曲线，β=α时为抛物线”时，其学习效果显然是简单的告知所不能比拟的。进一步地，引进图4所示的旦德林双球模型后，也可以让学生带着问题探索发现。事实上，拖动点M，可以在3D视图和平面视图的关联情境中看到“变中的不变性”，而不变的结果会启发并引导学生逆向思考“MF1+MF2为定值”的缘由。当类比“圆的切线长相等”得到球中的结论时，数学发现的成功自然会点燃学生的学习激情。从椭圆到双曲线的类比推证，更可以深化这样的体验。

基于信息技术开展数学探究，可以实现同一数学对象的多元表征和不同数学对象的动态关联，还可以进行大规模的计算，进而可以支持以“自主、合作、探究”为特征的新型教学环境的营造。在这里，学生成为知识意义的主动建构者和情感体验的自发内生者，而技术也成为学生认知和交流的工具、载体。

（三） 重构教学时空，让创新就在身边

信息技术与数学课程的深度融合，是将信息技术作为催化剂推动整个教学系统的改造，从而创建全新秩序与格局的教学时空。在这样的时空中，教学内容的呈现方式、学习资源的获取方式以及教学人际的互动样态、教学环境的整体氛围等都将焕然一新，学生的创新意识将得到充分的激发。

如案例1中，面对课堂中的真问题，我们在向软件索要方法、让技术答疑解惑的过程中，发展并创造了新的数学，有二面角平分面这一新概念，有关于任意四面体内切球的新结论，也有关于右手系旋转方向的新思考。又如，应对数学建模进课堂的诸多挑战，以“最佳口感茶水温度问题”为例，可以将GeoGebra交到学生手中，借助信息技术强大的数据处理和函数拟合功能，使数学的关联性变得可见甚至可操作，从而产生多样化的数学模型和解决方案；而多种函数模型的优劣比较，可以迭代生成优化后的二次拟合建模方案，从而构建现实问题和数学方法的联系通道，为数学走向生活真正“打開一扇窗”。［5］

推动信息技术与数学教学的深度融合，需要挖掘技术的表征优势、关联优势、演算优势和数学的育人功能，以技术为载体实现“人—知”互动，构筑学生生命成长与数学知识探索之间的通道。“路虽远，行则将至；事虽难，做则必成。”只要锚定融合方向、坚持专业探索，就有可能在“常态化应用中达成全方位创新”，真正让学习可见、让思维发生、让文化浸润。

参考文献：

［1］ 孙彬博，曹一鸣.中学数学课程中信息技术应用：回顾与展望——以课程标准（教学大纲）内容演变为主线［J］.电化教育研究，2019（10）：6167+75.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：83.

［3］ 张景中，葛强，彭翕成.教育技术研究要深入学科［J］.电化教育研究，2010（2）：813.

［4］ 吴康宁.信息技术“进入”教学的四种类型［J］.课程·教材·教法，2012（2）：1014.

［5］ 张志勇.基于GeoGebra的高中数学建模——以“最佳口感茶水温度问题”为例［J］.数学通讯，2020（16）：1618+26.