解答排列组合问题的几种措施

王卫琼

排列组合问题与实际生活之间的联系较为紧密，命题者常以实际生活为问题情境，要求同学们灵活运用分类计数原理、分步计数原理来对一些元素的位置、顺序进行排列.下面主要谈一谈，四种求解排列组合问题的措施.

一、运用捆绑法

若题目要求某些元素相邻，则运用捆绑法求解.运用捆绑法解题的步骤为：①明确要捆绑在一起的元素，并将其看作一个整体，进行捆绑；②将这个捆绑起来的“大元素”与剩余的元素一起排列；③排列“大元素”内部元素的顺序；④运用分步计数原理求得结果.

例1.某中学对学校的课表进行重新编排，高二（1）班周二有语文、数学、英语、物理、化学、生物六节课，要求数学和物理不能相连，语文和生物相邻，则这六门课程有种不同的排法.

解：由于语文和生物要相邻，所以首先将二者捆绑起来，看作一个整体与英语、化学进行排列，有A33种排法；然后这4个元素之间形成4个空位，将物理和数学插入，有A24种排法；再排列语文和生物的顺序，有A22种排法，根据分步计数原理可得，共有A22A33A24=144种排法.

运用捆绑法解题，要先将相邻的元素捆绑，并将其与其他元素一起排列；然后还需将捆绑起来的内部元素进行排列，这是很多同学容易疏忽的地方，也是容易丢分的地方.

例2.某停车场有7个连成一排的空余车位，现停放3辆不同型号的车，恰有2辆车停放在相邻车位的方法有    种.

解：第一步，在3辆车中任意选择2辆停放在一起，有A23种方法；

第二步，将相邻的2辆车捆绑起来，当作一个大元素与另外1辆车停放在剩余的4个空停车位之间的5个空隙中，有A25种方法；

根据分步计数原理可得，共有A23A25=120种停放方法.

解答本题，要将2辆相邻停放的车捆绑起来，看作一个整体与另外1辆车进行排列，为了确保这2辆车与第3辆车不相邻，需将其插入在剩余的4个空停车位之间的5个空隙中.

二、利用隔板法

隔板法主要用于解答相同元素的分组问题.运用隔板法解题的步骤为：①将m个相同的元素排成一列，则这m个元素之间有个m-1个空隙；②将n个隔板插入这m-1个空隙中，即可将m个元素分成n+1组，共有Cnm-1分法.

例3.现将12个参赛名额分配给10个班，要求每个班至少分配到1个名额，则有种不同的分配方法.

解：将12个参赛名额看作12个相同的元素，这12 个元素之间有11个空隙，随机插入9块隔板，就可以将12个元素分成10组，有C911=55种不同的分配方法.

由于12个参赛名额之间没有区别，于是将其看作12个相同的元素，将问题转化为将12个相同元素分10组的问题，运用隔板法，将9个隔板随机插入12个元素之间的11个空隙中即可.

三、采用优先法

若题目中要求某些元素要做特殊处理，则需采用优先法，即优先安排特殊元素的顺序和位置，再对剩下的元素进行排列.

例4.用0，4，5，6，7组成没有重复数字的三位数，则偶数有多少个？

解：要使所组成的三位数是偶数，则需使末位数字为偶数.

（1）当0排在末位时，有A24个偶数；

（2）当0不排在末位时，有A12A13A13个偶数；

所以一共有A24+A12A13A13=30个偶数.

由于0为偶数，但0不能在首位，所以0为特殊元素，需优先排列，采用优先法解题，分0在末位和0不排在末位两种情况进行讨论.排好0的位置，那么剩下的元素就可以随意排列.

例5.現要从4名男生和3名女生中选择4名学生参加比赛，男生甲、乙不能同时参加，女生丙、丁至少有1个人参加，则有    种不同的方案.

解：①若男生甲、乙其中有1人参加比赛，女生丙、丁去1人或2人，

则有C12（C35-C33）=18种方案；

②若男生甲、乙2人都不去参加比赛，女生丙、丁去1人或2人，

则有C45=5种方案；

所以一共有18+5=23种方案.

本题中的男生甲、乙和女生丙、丁都是特殊元素，需对其作特殊处理，于是采用优先法求解，先考虑甲、乙、丙、丁的参赛情况，然后安排其他学生.

四、运用插空法

对于一些要求某些元素不相邻的问题，往往需采用插空法求解，即先排列没有要求的元素，然后将要求不相邻的元素插入排列好的元素之间的空隙中.插空法与隔板法看起来相似，其适用情形并不相同，插空法适用于解答不同元素的排列问题，隔板法适用于解答相同元素的排列问题.

例6.将6张椅子排成一排，现有3人入座，则3个空位都不相邻的入座方法有多少种？

解：①安排3人就座，有A33种入座方式，

②将3把空椅子插入4个空位中，有A34种方式，

根据分步计数原理可得，一共有A33A34=144种不同的入座方法.

要求3个空位完全不相邻，则需运用插空法，先安排3人就座；再将3个空位插入已坐好的3人之间的空隙中.

例7.有红、黄、蓝三种颜色的球各7个，每种颜色的球都标有1，2，3，4，5，6，7，从中任取3个标号不同的球，则这3个球颜色不同且标号互不相邻的情况有    种.

解：①若按照标号从小到大顺序排列未选中的4个球，这4个球之间有5个空隙，把选中的3个球插入5个空隙中，则有C35种可能的情况；

②给选中的3个球涂色，有A33种方法，

根据分步计数原理，一共有C35A33=60种可能的情况.

我们将7个球分为选中的和未被选中两组，把选中的3个球插入5个空隙中，即可使3个球不相邻，再赋予3个球不同的颜色即可.

上述四种解题方法都具有各自的特点，其适用条件均不相同，同学们在解题时要仔细审题，选用合适的方法进行求解.无论运用哪种方法求解，都需进行合理的分类、分步，然后根据分类计数原理、分步计数原理进行求解.