变质量完整系统的Herglotz 型微分变分原理与守恒律

蔡铭俣，张 毅

（1.苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009；2.苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011）

众所周知，如果一个动力学方程或一个微分方程存在变分描述，那么它不仅仅在数学上有重要的意义，而且具有深刻的物理意义。分析力学中经典的积分变分原理，如Hamilton 原理，只适用于完整保守系统，对于受非势力的完整系统或非完整系统，由于不能表示为某个泛函的极值，而不再是稳定作用量原理[1]。Herglotz 提出的一类广义变分原理[2]为非保守耗散系统提供了一个变分描述。文献[3-4]利用Herglotz 原理给出了粘性力作用下弦的振动、声波在介质中的传播、非线性Schrödinger 方程等非保守经典和量子力学系统的变分描述，这些系统从经典变分原理的角度都不存在变分描述。Georgieva 和Guenther 基于接触Lagrange 函数在单参数变换群下的不变性研究了Herglotz 型Noether 定理[5]。Santos 等将Herglotz 变分问题推广到高阶微商情形[6]，并给出相应的Noether 定理。文献[7-11]给出了相空间、分数阶动力学、含时滞动力学、时间尺度动力学的Herglotz 变分原理及其Noether 定理。文献[12]综述了Herglotz 变分原理及其Noether 对称性的研究进展。守恒律不仅可通过对称性研究[13-14]，也可通过微分变分原理来构建[15-16]。基于这个思想，文献[17-19]通过Herglotz 微分变分原理研究了完整非保守系统、非完整系统的守恒定理。比较文献[7]与[20]可以看出，通过Herglotz 微分变分原理可以得到含有规范函数项的守恒量，而通过Noether 对称性给出的守恒量不含规范函数项，因此，由Herglotz 微分变分原理有可能找到比利用对称性更多的守恒量。但是关于Herglotz 微分变分原理的研究还仅限于常质量系统。

变质量力学系统主要研究质量变化物体的运动与作用在其上力之间的关系。杨来伍和梅凤翔[21]系统地介绍了变质量系统的分析力学。变质量系统在自然界和工程中有大量的应用[22-27]，包括高速滑车试验、桌面链条下坠问题、火箭升空等。因此，研究变质量力学系统的守恒律具有重要意义。国内外学者对变质量力学系统及其对称性进行了研究，并取得一系列成果[28-33]。近期，笔者[34]等将Herglotz 变分原理推广到变质量力学系统。与文献[34]不同，该文将基于Herglotz 微分变分原理进一步研究变质量完整系统的守恒律，导出变质量完整系统的Herglotz 型微分变分原理，在此基础上建立Herglotz 型守恒定理以及逆定理。

1 变质量完整系统的Herglotz 型微分变分原理

假设变质量力学系统由N 个质点组成。在时刻t，第i 个质点的质量为mi（i=1，…，N）；在时刻t+dt，由质点分离（或并入）的微粒质量为dmi。设位形由n 个广义坐标qs（s=1，2，…，n）确定，设mi＝mi（t，qs，），则Herglotz 意义下的Lagrange 函数为

对式（2）取等时变分

对于变质量完整系统，微分和变分运算是可交换的，所以有

方程（6）是关于δz 的一阶微分方程，可解得

考虑到z（b）→extr 以及初始条件（4），得

由于方程（7）对于t∈[a，b]都成立，所以令t=b，得到

由于式（10）的积分区间适用于所有的[a，b]，所以有

式（11）称为变质量完整系统的Herglotz 型微分变分原理。

由于系统是完整的，δqs（s=1，2，…，n）相互独立，所以有

式（12）称为变质量完整系统的Herglotz 型运动微分方程。

2 Herglotz 型微分变分原理不变性条件

等时变分δqs定义为

非等时变分定义为

引进空间和时间的无限小生成函数Fs，f，令

这里的ε 为无限小量。因此有

将式（18）代入式（11），整理得

式（21）为变质量完整系统的Herglotz 型微分变分原理不变性条件的变换式。

3 Herglotz 型守恒定理

由Herglotz 型微分变分原理不变性条件的变换式（21），可得到如下定理：

定理1对于变质量完整系统（12），如果空间和时间的无限小生成函数Fs，f，以及规范函数G 满足条件

则系统存在守恒量

如取G≡0，那么定理1 退化为：

定理2对于变质量完整系统（12），如果空间和时间的无限小生成元Fs，f，以及规范函数G 满足条件

则系统有守恒量

定理2 与文献[34]中Noether 定理给出的结果一致。

4 Herglotz 型守恒定理的逆定理

假设变质量完整系统（12）存在守恒量

对等式（26）两边同时求导

将式（18）代入式（11），由于ε 是任意的，得到

再令积分式（26）等于守恒量式（23），即

定理3如果已知变质量完整系统（12）有一个守恒量式（26），那么通过式（29），（30）可找到时间和空间的生成函数Fs，f，以及规范函数G。

定理3 可称为变质量完整系统的Herglotz 型守恒量的逆定理。

5 算例

例1一辆质量为m 的洒水车在公路上作业，洒水车初始的质量为m0。假设水的出口相对速度v（v=const）不依赖于车的速度。用p 表示单位时间内速度为1 时通过出水口水的质量，假设洒水车受到的阻尼力与速度成正比，比例系数为c（c=const）。试研究该系统的守恒量。

设水平坐标为q1，出水口出水的质量为m1。有

即

系统的Herglotz 型Lagrange 函数为

将式（33）代入方程（12），可得

其中

首先，通过Herglotz 微分变分原理寻找守恒量，将式（33）代入式（22），有

方程（36）有如下解

将式（37），（38）分别代入式（23），可得

式（39），（40）分别是由式（37），（38）导致的守恒量。

其次，从Noether 对称性寻找守恒量，该系统的Noether 等式[34]为

方程（41）有解

由式（42）导致的守恒量为式（39）。但作者未找到与守恒量式（40）相应的Noether 对称性。

最后，研究该系统的Herglotz 型守恒量的逆问题。设系统有守恒量

根据式（29），（30）可得

因为两个方程三个未知函数，所以式（44），（45）的解不唯一，可得到以下的解

由此可见，在变质量完整系统中，同一个守恒量可以由不同的生成函数导致。

例2已知质量为m=m0exp（-αt）（α=const）的质点，在阻尼力作用下在空间运动。试研究该系统的守恒量。

令q1=x，q2=y，q3=z。该系统的Herglotz 型Lagrange 函数为

将式（48）代入方程（12），可得

式（49）是系统的运动微分方程。其中

首先，从Herglotz 微分变分原理寻找守恒量。将式（48）代入式（22），有

方程（51）有如下解

将式（52），（53），（54）分别代入式（23），可得

式（55），（56），（57）分别是由式（52），（53），（54）导致的守恒量。

其次，从Noether 对称性寻找守恒量，该系统的Noether 等式[33]为

方程（58）有解

由式（59），（60）导致的守恒量为式（55）和（56）。但是作者未找到与守恒量式（57）相应的Noether 对称性。

最后，研究该系统的Hergloz 型守恒量的逆问题。设系统有守恒量

根据式（29），（30）可得

根据式（62），（63），可得以下解

6 结语

不同于以往通过对称变换建立Herglotz 型Noether 定理从而找到守恒量，文中基于Herglotz 微分变分原理，研究变质量完整系统的守恒律。主要结果如下：一是基于Herglotz 变分问题导出变质量完整系统的Herglotz 型微分变分原理式（11）；二是引进时间和空间的生成函数，建立Herglotz 型微分变分原理不变性条件的变换式（21）；三是利用Herglotz 型微分变分原理的不变性条件的变换，建立变质量完整系统的守恒定理（定理1），得到Herglotz 型守恒量。当规范函数G≡0 时，定理1 退化为定理2；最后给出守恒定理的逆定理（定理3）。研究表明，对于一个动力学系统，尽管其独立的守恒量数是确定的，但是利用微分变分原理有可能找到通过Noether 对称性难以找到的守恒量。文中的研究方法和结果可以进一步推广到变质量非完整系统、含时滞变质量系统。