基于城市标度律模型的不同规模城市发展指标研究

李薇宇，贺 晓，李文皓，孙名扬，范宇琼

（苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009）

改革开放以来，中国的各个城市基本上得到了快速的发展，城市经济呈现上升趋势[1]。然而，随着城市化的快速发展，中国的城市内部也出现了一些问题，如人口数量激增、就业压力大、资源短缺、生态环境恶化等。区域之间也出现了发展不平衡状况，呈现特大城市群持续扩张，中小城市发展缓慢，城市之间与城乡之间贫富差距扩大趋势[2]。传统研究城市发展的理论并不能很好地适应当下的中国城市发展的状况[3-4]，因此，需要更好的模型来研究较为复杂的城市系统。标度律（Scaling Law）便是研究城市系统复杂性的理论之一，它是指某种指标在不同情况下所满足的统一规律[5]，如常见的幂律就是标度律的一种形式。大量研究表明，标度律是物理学、生物学、化学等复杂系统中存在的普遍规律。例如，在生物学上，生物的新陈代谢频率与个体尺寸的异速增长关系与标度律有关[6]，研究者发现，将不同物种的新陈代谢频率与生物体的体积画到对数坐标上，所有哺乳动物基本上落在一条斜率为0.75 的直线上，这个关系式揭示了生物能量消耗的规模效应，即质量越大的组织，单位质量单位时间的能耗更低[7]。而后研究者将标度律引入到城市科学[8]、空间科学领域[9]，在不断完善和改进过程中，建立了城市标度律的整体框架。

城市标度律的幂函数形式为Y（t）=Y0N（t）β[10]，其中，Y（t）为t 时刻城市的指标，可以指物质方面的资源（例如基础设施数量、建成区面积），或者为社会活动的度量（例如GDP、烟尘排放量等）；Y0是一个标准化的常量；N（t）代表t 时刻的城市人口规模；β 为标度因子。在城市体系内，城市标度律可以系统化展示某种城市指标与人口规模的幂律关系，在选取了不同的指标后，可以发现和分析整个城市体系的状态和特征。

目前国内学者对于城市标度律的研究处于初始阶段[11-14]，应用层面较少，对城市标度律的理论研究不够深入，并存在一些误解。因此，文中立足于我国目前的城市经济背景与城市可持续发展的政策要求，综合考虑我国目前不同规模城市发展的情况，围绕影响城市发展的因素，主要针对以下两方面进行实证研究：（1）借助城市标度律探讨不同城市规模下中国城市综合发展状况，在此基础上进行城市发展指标和影响因素分析，试图为城市可持续发展提供思路；（2）用数据来验证城市标度律的适用性，寻找城市标度律的内在逻辑，并借助修正模型来提高城市标度律的准确性和稳定性。

该论文创新点有三：第一，用较为新颖的城市标度律模型代替传统的城市发展理论来量化城市发展水平指标；第二，利用分形理论，依据人口规模将城市分为三个类别进行研究；第三，利用折线拟合代替直线拟合来提高拟合优度，处理存在异质性的数据。

通过笔者的研究，借助城市标度律量化模型，构建衡量城市发展水平的指标，不仅可以有效评估我国当前城市的发展水平，还在此基础上分析不同城市规模下城市发展的差异性，结合城市发展模式，从多维度发掘城市发展的内核动力。因此，一方面，论文的研究有利于政府选择合适的指标来衡量城市发展状况；另一方面，论文的研究有利于合理规划不同城市规模的发展方向。

1 数据与区域划分

文中以中国各城市为研究对象，收集整理了2018 年294 个地级市的城区常住人口、工业废水排放量（Industrial Wastewater Discharge，简称IWD，单位：t）、市辖区建成区面积（Area of Built-up Areas under Municipal Jurisdiction，简称BUA，单位：km2）、第一产业GDP（简称1GDP，单位：元）、第二产业GDP（简称2GDP，单位：元）、第三产业GDP（简称3GDP，单位：元）数据[15]，其中常住人口为城区的户籍人口和暂住人口之和，数据均来自于2018《中国城市统计年鉴》。依据《中国城市规模划分新标准的适用性研究》，采用第六次人口普查数据将中国城市划分为三类：城区常住人口100 万以下的城市为小中城市；城区常住人口100 万以上500 万以下的城市为大城市；城区常住人口500 万以上的城市为特大及以上城市。

2 模型的建立、求解与检验

2.1 建立模型

城市标度律通常为幂函数形式Y=Y0Nβ来表示[10]。文中将城市标度律模型优化为

其中，Y 为城市指标，可以表示资源水平（例如学校数量、医院数量、市辖区建成区面积）或者对于经济发展、工业发展的度量（例如GDP、硫化物排放量等）；k 为城市划分标准中的第k 类城市，k=1，2，3；Y0k是一个标准化常量；N 代表t 时刻的城市的人口水平，用来衡量城市的规模；β 为标度因子，βk与1 的大小关系可以反映Y 与城市人口规模N 之间的关系，可将展现城市属性的变量分为3 种类型[10]：

（1）超线性指标（βk＞1）：与社会交互相关的城市指标（如疾病、GDP、知识产出、违法犯罪等）的标度因子大于1（一般在1.15 左右），该类城市指标随城市人口规模呈超线性增长，这是因为社会交互随人口增加呈超线性增长，从小城市到大城市，要素增加率大于人口增长率，体现了规模报酬递增效应（集聚效应）；

（2）次线性指标（βk＜1）：与城市基础设施相关的城市指标（如学校数量、医院数量等）的标度因子小于1（一般在0.85 左右），该类城市指标随人口规模呈次线性增长，表明从小规模城市到大规模城市，要素增加率小于人口增加率，这是因为大城市有更多居民共享城市基础设施，反映了规模经济效应，例如尽管上海有4倍于南通的人口，但上海并不需要南通4 倍数量的加油站（加油站与人口的幂律指数为0.77）；

（3）线性指标（βk=1）：与城市居民个人需求相关的城市指标（如工作岗位数量、住房数量、家庭用水量等个体需求相关）的标度因子等于1，该类城市指标随城市人口规模呈线性变化。

对城市标度律方程两边同时取对数后，采用最小二乘法（OLS）得到回归检验方程[10，16]

式中：对于Y，文中分别统计和计算了代表城市经济发展水平的GDP、工业废水排放量、第一产业GDP、第二产业GDP、第三产业GDP，代表城市用地指标的市辖区建成区面积；N 是城市人口；logY0k是常数；βk作为回归系数参数反映了城市系统中各指标的标度律。

考虑到统计数据质量可能会一定程度地影响实证结果，进行回归分析时采用残差平均值正负两倍标准差剔除异常值。首先对人口及城市要素取对数进行线性回归拟合，得到斜率βk及截距logY0k，并用实际值减去预期值得到残差ξ

若logY 在残差平均值正负两倍标准差范围外，则视其为异常值，予以剔除。剔除异常值后再根据保留的数据重新拟合，得到标度因子β 及拟合优度R2。

2.2 模型评价

该模型适用于国内大部分综合发展型城市，但不适用于资源型城市。因为资源型城市的GDP 数据深受当地矿产资源的影响，不能作为城市发展水平的量化指标，但对于非资源型城市而言，GDP 可以体现当地的城市发展水平。

这里采用拟合优度（R2）和均方误差根（RMSE）作为模型性能的评价指标，RMSE 和R2定义如下

其中，yi代表某一城市指标的真实值，代表拟合值，n 代表样本个数。

2.3 规模修正指标

城市标度律是全球城市系统普遍表现出的规律[16-18]，探究其在城市研究中的具体应用是目前国内外大多数学者重点研究的问题。传统做法上多采用人均指标衡量城市表现，但这忽略了城市指标与人口规模的非线性标度关系。为消除城市人口规模的影响，Bettencourt 等提出了规模修正指标SAMI[10]，其定义式如下

式中：SAMIi为消除规模影响的城市i 的某一指标，实质为城市指标关于人口规模拟合方程的残差，表示偏离其预期值的程度；Yi为城市i 的某个指标的真实值；Y0Niβ为城市i 的某个指标的估计值；Ni为城市i 的常住人口规模；Y0和β 为拟合参数。

3 结果与分析

3.1 直线拟合

不同指标直线拟合图，如图1 所示。对各个指标进行对比分析发现，工业废水排放量、第二产业GDP、第三产业GDP 和GDP 的β 估值均大于1，说明以上四个指标为超线性指标，体现了规模报酬递增效应；而市辖区建成区面积和第一产业GDP 的β 估值均小于1，说明以上两个指标为次线性指标，体现了分散效应。对于截距logY 的估值：第一产业GDP、第二产业GDP、第三产业GDP 和GDP 的logY 估值均为正值，说明以上四个指标中Y＞1，具有扩大作用；对而工业废水排放量和市辖区建成区面积的logY 估值均为负值，说明以上两个指标中0＜Y＜1，具有收缩作用。对于P 值：六个指标的P 值均小于2.2×10-16，即均小于0.001，故均在P=0.001 水平上通过了显著性检验。在拟合优度R2方面：工业废水排放量、市辖区建成区面积和第一产业GDP的R2均约等于0.4，说明以上三个指标拟合优度较差；而第二产业GDP、第三产业GDP 和GDP 的R2均大于6，说明以上三个指标拟合优度较好。

3.2 折线拟合

不同指标折线拟合结果，如图2 所示。

对所选不同指标进行折线拟合后所得结果进行分析发现，以特大城市、大城市、小中城市的第一产业GDP 为例。对于小中城市的第一产业GDP 指标，截距（logY01）的估值、标准误差、T 值、P 值分别为-1.420 8、3.397 3、-0.418、0.682 62；β 的估值、标准误差、T 值、P 值分别为1.828 1、0.585 8、3.121、0.008 12，其中P=0.008 12＜0.01，通过显著性检验；拟合优度为0.428 3，修正拟合优度为0.384 3，方程的拟合程度较好；对于F检验，其P 值为0.008 118，显然小于0.01，该方程在P=0.01 水平上通过显著性检验。对于大城市的第一产业GDP 指标，截距（logY02）的估值、标准误差、T 值、P 值分别为3.873 7、0.994 9、3.893、0.000 139，其中P=0.000 139＜0.001，通过显著性检验；β 的估值、标准误差、T 值、P 值分别为0.916 8、0.154 6、5.929、1.54×10-8，其中P=1.54×10-8＜0.001，通过显著性检验；拟合优度为0.164 1，修正拟合优度为0.159 5，方程的拟合程度一般；对于F 检验，其P 值为1.538×10-8，显然小于0.001，该方程在P=0.001 水平上通过了显著性检验。对于特大及以上城市的第一产业GDP 指标，截距（logY03）的估值、标准误差、T 值、P 值分别为9.144 2、1.727 0、5.295、9.37×10-7，其中P=9.37×10-7＜0.001，通过显著性检验；β 的估值、标准误差、T 值、P 值分别为0.146 2、0.251 1、0.582、0.562；拟合优度为0.004 016，修正拟合优度为-0.007 841；对于F 检验，其P 值为0.562 1。对于其他五个指标折线拟合的结果解读同上。

3.3 不同城市规模下各个指标的分析

下面分别对三种城市规模的各个指标进行分析（见表1）。以大城市为例，第二产业GDP、第三产业GDP、GDP、工业废水排放量的β 估值均大于1，说明该指标为超线性指标，体现了规模报酬递增效应；第一产业GDP、市辖区建成区面积的β 估值均小于1，说明以上指标为次线性指标，体现了分散效应。对于截距logY0的估值，工业废水排放量和市辖区建成区面积的logY0估值均为负值，说明以上两个指标中0＜Y＜1，具有收缩作用；第一产业GDP、第二产业GDP、第三产业GDP、GDP 的logY0估值均为正值，说明以上四个指标中Y＞1，具有扩大作用。第一产业GDP、第二产业GDP、第三产业GDP、GDP、工业废水排放量、市辖区建成区面积的P 值均小于0.001，故均在P=0.001 水平上通过了显著性检验。对于其他两种城市规模的结果解读同上。

表1 不同规模城市下各指标拟合结果

3.4 不同城市指标下各个城市规模的分析

下面对不同城市指标的各个城市规模进行讨论。以GDP 为例，小中城市β 估值均小于1，说明以上指标在该城市规模为次线性指标，体现了分散效应；大城市、特大及以上城市β 估值均大于1，说明该指标为超线性指标，体现了规模报酬递增效应。对于截距logY0的估值，特大及以上城市logY0估值均为负值，说明该指标中0＜Y＜1，具有收缩作用；小中城市、大城市logY0估值均为正值，说明该指标中Y＞1，具有扩大作用。大城市、特大及以上城市的P 值小于0.001，该方程在P=0.001 水平上通过了显著性检验。R2约等于0.74，拟合优度较好。对于其他五种城市指标的结果解读同上。

4 结果与讨论

4.1 结果

从拟合优度R2来看，折线图的模型在对异质性数据进行处理时更精确，回归效果更显著，将城市按规模进行区分并分段回归的效果要高于将所有城市视为总体进行线性回归的结果。

在模型参数解读方面，异速标度指数β 本质上是分维之比，是同一个系统的两种测度相对增长率之比[19-21]。针对异速标度指数与1 的大小关系，可以将其分成正异速生长（β＞1）、同速生长（β=1）和负异速生长（β＜1）。就建成区面积—人口规模异速标度指数而言，该指数可作为城市化过程中城市土地利用合理程度的一个定量判别依据。当β＞1，城市常住人口扩张的速度小于城市建成区面积扩张的速度，城市用地浪费；当β＜1，城市人口扩张的速度大于城市建成区面积扩张的速度，城市用地节约；当β=1，城市人口扩张的速度等于城市建成区面积扩张的速度，城市用地恒定。针对拟合结果，发现特大及以上城市用地浪费，小、中城市及大城市用地节约。针对GDP—常住人口规模异速标度指数，当β＞1，城市人口增长率大于经济增长率，存在经济产出集聚效应；当β＜1，城市人口增长率小于经济增长率，存在分散效应；当β=1，城市人口增长率等于经济增长率，经济发展稳定。针对拟合结果，发现大、特大及以上城市经济发展存在集聚效应，小、中城市经济发展存在分散效应。

4.2 讨论

文中将2018 年中国294 个地级市的数据代入得出大、特大及以上城市经济发展存在集聚效应，小、中城市经济发展存在分散效应的结论，符合实际城市发展的经济规律。通过文中的研究可以给予城市发展模式的思考，究竟选择城市集聚发展还是城市分散发展的经济模式，不仅取决于城市规模，还取决于城市人口的扩张速度。

在以往的城市标度律研究中，拟合的方式一般采用直线拟合，但这往往会忽视数据可能存在的异质性，从而导致拟合结果较差或参数不符合实际情况，而分段折线拟合更适用于处理存在异质性的数据，可以较好地处理了上述情况。在一定的误差范围内，利用分段折线拟合的方式，用折线来代替一整条直线，并将拟合的结果呈现在同一张图中，这样可以直观地展现出不同城市规模下某种指标的拟合结果，方便进行对比。此外，折线拟合得到的拟合优度，相比较直线图而言，折线图的模型在对异质性数据进行处理时更精确，回归效果更显著，回归拟合效果更好，提高了数据分析的严肃性、有效性和准确性。

然而文中的研究模型也有一定的局限性。第一，对于资源型城市，该模型并不适用，需要寻找更加合理的标度律去度量城市的发展水平；第二，城市标度律模型需要建立在“互动”的社会经济活动基础上，即需要人口流动、知识交流、经济流通等条件；第三，城市标度律系数会随着空间尺度的变化而变化，以市辖区为划分尺度是最理想的，但事实上，我国部分城市依然存在这大量的非城市化地区，这对于城市标度律模型的应用是一种挑战[13]。

研究不同城市规模下中国城市发展指标、中国城市发展的内在规律和影响因素对中国城市的可持续发展尤为重要。因此，以下问题将是未来的研究方向：（1）在基础设施建设、文化发展、科技水平等方面，是否存在更好地衡量城市、区域发展状况的城市指标；（2）对于其他的城市规模划分（如长三角地区、珠三角地区、京津冀地区），城市标度律的适用性如何，哪些数据和空间尺度更能反映城市标度律；（3）在规模修正、减小误差等方面，城市标度律模型是否可以继续完善。

5 结语

由文中建模结果分析，结合我国实际情况，针对我国城市的发展提出如下建议：（1）对于特大及以上城市，适当降低建成区面积扩张的速度，实现有效且高效扩张，以避免出现城市用地浪费的现象。（2）对于小中城市，在继续保持第一产业稳定发展的基础上，进一步鼓励第二产业和第三产业的发展，国家提供技术支持和资金保障，拉动小中城市稳健发展，从而提高城市经济水平；相反，对于特大及以上城市，在发展第二产业和第三产业的同时，更要保障其第一产业的发展满足第二产业和第三产业的需求，以实现各产业均衡发展，从而进一步提升特大及以上城市的经济实力。（3）对于小中城市，要促进各产业的综合发展，积极响应国家相关扶持政策，完善基础设施建设，促进经济高速发展，进而实现中国城市经济的稳步发展。