例谈估算的应用

江苏省苏州市吴中区金山高级中学 (215101) 许 桦

估算作为数学运算不可或缺的组成部分,是我们解决数学问题的一种重要手段.它的表现形式是多种多样的,它是思维广阔性、发散性、敏捷性的睿智体现,它的运算策略是多思少算,合理快捷,估计准确.估算可以帮助我们认知数学的思想方法,提高思维品质和数学素养,因此应该重视对它的研究与应用.本文通过试题谈谈估算的一些具体方法,期望能起到触类旁通的作用.

A.1 B.2 C.3 D.4

析解：取a=2,b=1,c=0,得n≤4,故选D.

评注：因为是单项选择题,通过赋值验算避免了复杂的计算与推理,简化了解题过程.

例2 方程x3+lgx=18的根x≈.(结果精确到0.1)

析解：令f(x)=x3+lgx-18,易知当x>0时,f(x)是增函数,由于f(2.5)<0,f(2.7)>0,所以函数f(x)的零点在区间(2.5,2.7)内,故x≈2.6.

评注：由于要求结果精确到0.1,所以利用数形结合观察不太合适.用零点定理进行赋值估算比较合理.

评注:若问题结论是定值或唯一时,就可以考虑用特例来求解.

例4 已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)

析解：因为f(x)=x2+ax+b的值域为[0,+∞),且a,b∈R,所以不妨令a=b=0,则f(x)=x2,此时,若关于x的不等式f(x)

评注：用特殊情形来化解问题简单明了,可谓深入浅出.

例5 使log2(-x)

析解：在同一平面直角坐标系作出函数y=

log2(-x)与函数y=x+1的图象如图1所示,观察可知-1

图1

评注：利用代数方法不易解决,采用数形结合法,就能直观看出答案.

例6 设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为.

图2

评注：利用数形结合,考虑两个端点与一个切点的特殊位置,“逼出”了a的值.

例7 设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=____________;当n>4时,f(n)=.(用n表示)

评注：通过观察图形找出变化规律,结论也就一目了然了.

T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案,第6棵树种植点的坐标应为;第2008棵树种植点的坐标应为.

析解：根据递推关系,求出前几项,探索xk,yk的变化规律.我们发现xk,yk的变化都存在周期性,周期都是5.其中xk是以1,2,3,4,5每5个循环.yk是以1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,···,每5个相同,并以公差为1递增.所以x6=1,y6=2,x2008=3,y2008=402.

评注：通过计算发现周期性的规律,将看似复杂的问题轻松化解了.

A.190 B.171 C.90 D.45

评注：思维直觉的缘由是零的绝对值最小以及对称性.

例10 在平面直角坐标系xoy中,点A在曲线

y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.

评注：可以直觉的猜想出方程解为e,再用图象观察出方程的解唯一.

例11 如图3,菱形ABCD边长为2,∠BAD=60°,E为边AB的中点.将ΔADE沿DE折起,使A到A′,且平面A′DE⊥平面BCDE,连接A′B,A′C.则四面体A′CDE的外接球直径为.

图3

评注：通过构造长方体的模型,很快的解决了问题.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

评注：利用构造的特殊函数,把比较抽象的问题具体化了.

例13 四边形ABCD是矩形,AB=3AD,点E,F分别是AB,CD的中点,将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合,则直线ED,BF所成角α在旋转过程中( ).

A.逐步变大 B.逐步变小

C.先变小后变大 D.先变大后变小

评注：此题要用计算去判断是比较复杂的.若从图形入手,将代数的极限思想应用于图形中,考虑极端位置和特殊位置,则能合理地推测出结果.

例14 已知a,b,c满足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),则( ).

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

析解：由于a,c均用b表示,所以可以考虑b取特殊值,再进行比大小.首先考虑取b=1,则a=1,c=1,此时|a-c|=|b-c|,|a-b|=|b-c|,其次考虑b→0+时,a→log52,c→-∞,此时|a-c|>|b-c|,|a-b|<|b-c|.综上选B.

评注：此题若常规解法是比较复杂的.若根据a,c均用b表示,考虑特殊值入手,特别是将极限思想应用于解题中,则能快速的比出大小,推测出结果.

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

评注：利用转化思想与合情推理,通过简单的适度放缩,解决了比较大小的问题.

评注：由已知得到一个关于n的不易求解的不等式,于是通过合乎情理的放缩进行估算.

总之,估算就是根据已知条件及有关知识对事物的数量或算式的结果作出的大概推断或估计.它是一种简单、有效、快速的计算方法,它的显著特征是少算、多思、快捷、巧妙.它体现了必然与偶然、直观与抽象、一般与特殊的对立与统一.也蕴含了函数与方程、化归与转化、数形结合等数学思想方法.因此,应该重视估算在解决问题中的作用,借此培养学生思维的灵活性,提高创新能力和数学素养.