几何直观在小学数学教学中的运用

韩娟

【摘要】在小学数与代数学中进行几何直观教学，能够帮助学生理解和掌握抽象的数学概念、算理、运算定律，学会分析复杂的数量关系，培养数学课程核心素养.基于此，文章先介绍了几何直观的含义、教学价值，再详细介绍了几何直观在小学数学教学中的应用，希望以此培养学生的抽象意识，促进学生深度学习.

【关键词】小学数学，几何直观，数与代数，课堂教学

几何直观是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的核心概念之一，强调知识之间有机地融合，当前依赖几何直观的“直观型”课程已成为数学课程设计的主流之一.笔者结合教学实践谈谈对几何直觀的认识及实现几何直观教学的几点做法.

一、几何直观的含义及教学价值

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中的“几何直观”是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯，能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路.同时指出：几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径.

孔凡哲、史宁中两位教授在《直观模型在数学学习中的价值分析》中将几何直观的概念界定为：借助见到、想象到的几何图形的形象关系，对研究对象进行直接感知、整体把握的能力.虽然空间观念的定义也包括通过想象解决问题，但两者之间还是存在一定差异.几何直观是借助于可看见的实物或模型为学生搭建起数学学习的“脚手架”，而空间观念即便有时也需要借助于几何，但更加侧重于在无任何背景的情况下的想象，而且包含了位置关系、图形变化、画出图形等方面.

几何直观具有特殊的教学价值，一方面为学生自主探究解决问题开辟新的途径，另一方面也能够让学生站在直观的角度理解概念、公式、算理等.因此，笔者认为几何直观不但可以帮助学生将一些抽象的概念、算理等变成可以“看得见、摸得着”的直观图形，帮助学生理解知识，化繁为简；还可以培养学生的几何直观能力，促进学生从多角度分析、思考问题能力的发展，从而拓展学生思维.

二、在小学“数与代数”中实现几何直观教学

在小学数学中，“数与代数”的内容比较多、所占比重也较大，还是其他领域学习的基石.而小学生的思维又是以“具体、直观、形象”为主.因此，在“数与代数”领域探索几何直观的运用，有着举足轻重的意义.教师可以利用几何直观，引导学生理解和掌握抽象的数学概念、明白算理、掌握规律，学会分析复杂的数量关系，培养数学课程核心素养.

（一）几何直观在数学概念教学中的运用

德国哲学家康德认为：缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的.在教学实践中，小学生难以理解复杂、抽象的数学概念，即使把概念背得很熟，但在使用中还是会出现很多错误，究其原因还是其没有真正地理解概念.小学生思维的特点是以具象思维为主，对知识的理解总是建立在丰富典型的直观表象之上.这启示教师在教学概念、定理时要与几何直观图相结合，把抽象的变具体、复杂的变简单，才能帮助学生获得具体、形象的感性材料支撑.

例如，“分数的初步认识”这节课的重点是分数的意义，也是分数学习的核心概念，对于三年级学生而言，是一个较为抽象的概念.在课堂教学中，怎样才能使学生对分数的概念形成清晰的理解和认识呢？笔者借助几何直观，在课堂中出示以下图形：

然后，让同学们说一说阴影部分占整个图形的几分之几，这样一来，在直观图形的引领下，学生对分数这样的抽象概念有了深刻的理解和认识，从而加深了学生对分数概念的理解.

除了上述概念，还有小数的意义，分数与除法等概念教学，教师都可以尝试应用几何直观，突破概念教学的难点，提高概念教学的效果.

（二）几何直观在计算算理教学中的运用

计算教学是“数与代数”领域的核心内容.计算教学不仅要让学生熟记算法，更要让学生理解其中的算理，但是在教学中，很多时候教师为了追赶教学进度，常常忽视算理的教学，从而导致学生不明白算理，难以真正掌握计算方法.基于此，教师可针对不同的教学内容，设计合适的直观图形，帮助学生理解算理.

1.低年级竖式计算

低年级计算教学第一次引入竖式计算时，教师要帮助学生掌握竖式的书写格式、理解竖式与其他方法之间的联系，这也是教学的重难点.想要让学生真正理解抽象的竖式计算，教师就要借助直观的操作帮助学生建构模型，让学生经历抽象到直观的演变过程.为此，笔者鼓励学生通过摆小棒、拨计数器、数的组成（口算）等多种算法，唤醒学生的已有知识经验，在多种方法的整合中进一步理解竖式计算算理.与此同时，笔者设计了三次利用几何直观与抽象算式的对比，帮助学生理解竖式与其他方法的内在联系.第一次，摆小棒法与竖式法有什么相同的地方？将直观的摆小棒和抽象的算式相比较，让学生感受两者都是整十数相加减、个位上的数相加减，从而初步感受加法计算的算理.第二次，拨计数器与竖式法有何异同点？结合课件的演示，教师引导学生在计数器上拨出36，其实就是竖式的第一个加数，再拨出第二个加数23，这时候再将其书写在竖式上第一个加数的下面.这样直观的演示不仅能帮助学生掌握竖式计算的书写格式，还能帮助学生掌握位值思想，感受数位对齐的重要性.第三次，摆小棒、拨计数器、数的组成（口算）、竖式计算四种方法同时比较.学生用发展的眼光将这四种方法联系在一起，通过比较直观的方法和抽象的算式找出它们的相同点，竖式计算的本质就有了模型支撑.同时学生能感受到这四种方法的内在联系，明白虽然形式不同，但算理都是要相同数位上的数相加减.

2.乘法教学

在乘法的教学中，如果教师不注重引导学生对口诀和乘法意义进行深入理解，而主张死记硬背的方式的话，不仅会浪费时间、偏离教学目标，还会对学生以后学习乘法造成很大的负面影响.因此，在进行教学设计时，教师可以结合点子图组织教学活动，使得学生能迅速地理解口诀与乘法等的内在含义.点子图作为一个半直观半抽象的直观模型，既比操作性强的小棒等抽象，又比抽象的公式、定律等直观.点子图是一种抽象但包含着十进制的思想的结构化的直观模型，可以在学生与数学之间搭起一座沟通的桥梁.从理论上来讲，用点子图来进行教学，不但适应了儿童的思维特点，又考虑了数学的学科特点.

例如，在“乘法的意义”教学中运用点子图.在“数一数与乘法”这一单元能帮助学生从多角度理解乘法的意义.虽然抽象的乘法算式的意义很重要，但是并不是所有低年级的学生都理解.为了让学生能够不仅看得见，更加摸得着，笔者在教学中使用了直观模型点子图，通过“横着数”“竖着数”这两种方式，很轻易就能让学生理解乘法的意义———求几个相同加数的和的简便运算，更能让学生可以准确地找出什么是“个数”、什么是“相同加数”.笔者还利用10×10的点子图，任意编“几乘几”的算式，促进学生理解乘法意义.

再如，在“乘法口訣”教学中运用点子图.在编排乘法口诀这一内容时，笔者充分发挥点子图这一直观模型的作用，先是在“2～5的乘法口诀”这一单元用具体的实物（松果、筷子、轮胎等）按逐次加一倍的摆放方式呈现给学生，再将实物转化成半直观、半抽象的点子图进行练习.而在紧接着的“6～9的乘法口诀”这一单元，我给出了点子图让学生自主探究乘法口诀的排列规律，教师给出了6×9的点子图，学生可通过去数三个不同颜色圈的点子数自行编出前三行的算式和口诀，从而帮助学生理解点子数和乘法算式的关系，同时巧记6的乘法口诀.

又如，在“笔算乘法”教学中运用点子图.如何列出正确的乘法竖式是小学阶段的一大重难点，而让学生正确理解乘法算式中每一步的含义更是难点之中的难点.为了解决这一棘手的问题，笔者在人教版三年级数学上册的“两位数乘一位数”的口算、笔算教学中引入了点子图，还在人教版三年级数学下册的“两位数乘两位数”的口算、笔算中借助了点子图.点子图在帮助学生理解整数乘法意义的各个方面起着非常重要的作用.例如，在教学“两位数乘两位数”时，教师利用点子图这一几何直观模型，帮助学生理解两位数乘两位数竖式计算原理.上课时，笔者出示情境：少先队员举行队列表演，一共有12行，每行有14人.一共有多少人？

教学步骤一：教师引导学生提出问题，如“参加队列表演的少先队员有多少人？然后学生再列出相应的算式，例如14×12或12×14.

教学步骤二：利用点子图探索计算方法.教师带领学生回忆学过的整体分块求积的方法，然后教师引导学生在点子图上圈一圈（如图2），算出14×12（或12×14）的得数.学生有的先圈出10个14，再圈出2个14；有的先圈出10个12，再圈出4个12，再去理解计算过程.

教学步骤三：学生交流圈点子图的过程及对应算式的算法.

点子图的价值不是简单的圈一圈、画一画，更重要的是能够培养学生的抽象思维，教师多给学生机会去发现点子图的妙用，在教学其他内容的时候同样可以向学生提供可圈画的点子图.

总之，设计点子图时，教师要按照“由浅入深、循序渐进、螺旋上升”的特点进行，展现知识的产生和应用过程，形成“问题情境→建立模型→解释与运用”的基本模式，突出知识之间的互相联系.这样的设计，学生能够有更多的时间去自主探究算理、算法等，从而提升几何直观能力和解决问题的能力.

（三）几何直观在理解运算定律中的运用

小学数学有五条运算定律，由于这五条运算定律比较抽象，不少小学生不能真正地理解其原因，学生只是通过死记硬背定律，知其然却不知其所以然.为了解决这些问题，在教学时笔者充分利用几何直观的办法，用圆纸片或长方形的面积图帮助学生理解乘法分配律.如图3：

上课时，笔者布置任务：求出如图3所示的长方形的面积，然后引导学生用两种方法计算，方法一是将此图看成是宽为a、长为（b+c）的长方形.方法二是将此图看成是长和宽分别为a，c和长和宽分别为a，b的两个长方形.最后引导学生得出a×（b+c）=a×b+a×c.在上述教学过程中，教师通过几何直观图，让学生看清了规律的内涵，深化了乘法分配律的理解.

（四）运用几何直观分析数量关系

分析数量关系是“数与代数”领域的重点内容.教师利用几何直观的办法分析数量关系，能够让学生通过见到的或想到的几何图形产生对数量关系的直接认知，这是一种非常有效的办法.学生把文字中数量关系的理解转化成几何图形展示出来，从而感知到：数学的结果除了“证”出来，还可以“看”出来.

从图中，很直观能看出第一根绳子的长度小于第二根绳子的长度，即这两根绳子中第二根长.

类似线段图在“数与代数”领域中很常见，它是解决较复杂的应用题的重要学习工具.在培养学生观察力的同时培养其推理能力，提升了学生的思维品质.因此，通过画线段图等几何直观的办法去表达数量关系，是有效提高学生解决问题能力的途径.

实践证明，采用几何直观教学，不仅能够让学生对于所遇到的数学问题有更清晰的认识，而且能够帮助学生初步形成数形结合的数学思想，为以后的数学思想的学习打下基础.引导学生运用几何直观学习“数与代数”领域的内容，是值得教师继续探索的.几何直观在帮助学生理解数学概念、明晰计算算理、理解数学运算规律、分析数量关系方面发挥着重要作用.

【参考文献】

[1]叶晓宏.几何直观在小学数学教学中的运用[J].小学数学教育，2012（06）：26-28.

[2]马云鹏.小学数学教学论[M].北京：人民大学出版社，2013.

[3]程佳丽.基于“格子图”的结合直观培养策略[J].教学月刊小学版（数学），2015（04）：17-20.