例谈求解二面角问题的路径

张士花

二面角的大小通常用其平面角来表示.在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.那么如何求作二面角的平面角呢？下面介绍三种路径.

一、利用三垂线法

三垂线法是指根据三垂线定理或其逆定理来解题.三垂线定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.三垂线逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.运用三垂线法求作二面角的平面角，关键是作出一个平面的斜线、垂线以及斜线在另一个平面内的射影，以构造出三垂线.如图1，过平面α内的一点 A 作 AO ⊥β于 O ，过 A 作 AB 垂直二面角α-c -β的棱 c 于 B ，则 BO 为斜线 AB 在平面β内的射影，由三垂线定理可知 OB⊥ c ，则∠ABO 为二面角α-c -β的平面角.

例1.如图2，在正四棱锥 P -ABCD 中，点 E、F ，O 分别是线段 BC，PE，BD 的中点.（1）求证：OF∥平面 PAD ；（2）若 AB =PA ，求二面角 F - CD -E 的正弦值.

解：

要确定二面角的平面角，关键是证明 FH ⊥平面 ABCD ，于是根据三垂线定理，由 HI⊥ CD 得到 FH⊥ CD ，从而找到了二面角的平面角∠FIH .运用三垂线法求作二面角的平面角，要先找到一个半平面的垂线，以快速确定斜线及其射影.

二、运用射影面积法

若容易确定二面角的一个半平面在另一个半平面内的射影，则可采用射影面积法解题.先分别求出一个半平面与其射影的面积；再将二者作商，即可得出二面角的余弦值.如图3，若△ABC 在另一个平面内的射影为ΔA′B ′C ′，则二面角的余弦值为 cos θ= S（S）斜（射）=

例2.已知 RtΔABC 的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成30°和45°角，则ΔABC 所在的平面与平面α所成的锐二面角的余弦值为  .

解：

由于 ΔABC 与 ΔABD 的底边相同，所以它们的面积之比就是它们在 AB 边上的高之比，不难发现这两个三角形的高 CE 和 DE 的夹角就是二面角的平面角，可直接运用射影面积法，求得两个三角形 ΔABC 与 ΔABD 的面积，即可解题.

三、采用垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个半平面的公垂面与二面角的棱垂直，因此公垂面与两个半平面的交线所成的角，就是二面角的平面角.如图 5，若平面 OABC 为二面角 α - a - β 的公垂面，则这个二面角的平面角为∠COB .运用垂面法解题，要先根据面面垂直的判定定理证明公垂面与二面角的两个半平面都垂直，才能确定二面角的平面角.

例3

解

運用垂面法解题时，可以找到一个与二面角的棱垂直的平面，那么根据面面垂直的判定定理可知这个平面即为二面角的公垂面.在本题中，我们根据 CD1 ⊥平面 FHP ，确定平面 FHP 为二面角的公垂面，从而找到二面角的平面角∠FHP .

总之，在求解二面角问题时，我们需根据解题需求，采用三垂线法、射影面积法、垂面法来确定二面角的平面角，再根据平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理来求平面角的大小.