问题驱动 变中求本 积累经验

杨磊

摘   要：在数学教学中，问题是教学的出发点，也是驱动学生积极思考、推动课堂教学的有效载体。《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调通过合理设计探究问题促进数学教学活动的开展。教师在教学中重视在学生的认知起点和最近发展区设计有思维含量、有层次、有梯度的问题链，促进学生思维从无序向有序提升，从点状水平向结构化水平提升，从而促进学生深度思考和深度学习，探寻学科本质，感悟数学思想方法，积累数学活动经验。

关键词：小学数学；问题驱动；变中求本；积累经验

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2023）28-0016-05

一、课前思考

“探索乘积最大的规律”是冀教版小学数学四年级下册第九单元探索乐园的教学内容，目的是让学生在用不同的数字组数探索怎样组数乘积最大或最小规律的过程中，体会乘法运算中有许多奥秘，发展数感。研读教材时，重点做了以下几点思考。

问题一：学生的起点在哪里？

学习本课之前，学生已经掌握了三位数乘两位数的笔算方法、积的变化规律、乘法的估算、乘法运算定律等知识，并且对于探索规律类的学习内容有一定的数学活动经验。通过前测调研发现，用5个数字组乘积最大的三位数乘两位数的乘法算式，90%以上的学生没有头绪，思考处于无序的状态。后来改用4个数字组乘积最大的两位数乘两位数的乘法算式进行前测调研发现，60%左右的学生能想到这两个乘数的首位数字都要尽可能大，但后面的个位数字如何确定仍有困难。

问题二：如何选择研究的载体和素材？

教材中的问题是“用2、3、4、5、6五个数字组成一个三位数和两位数。怎样组数可使两个数的乘积最大？要使两个数的乘积最小，该怎样组数？”通过前测调研发现，如果直接研究五个数字组乘积最大的三位数乘两位数的问题，超出了大部分学生的最近发展区。基于学生的认知基础对教材进行教学法的加工，可以先退到研究四个数字或三个数字组乘积最大乘法算式的问题寻找规律，再研究五个数字的问题，会更顺应四年级小学生的认知特点。由于课上时间有限，教师应重点研究三个数字、四个数字、五个数字组乘积最大乘法算式的规律，将组乘积最小算式的规律放在课后拓展延伸完成。

基于以上的思考，确定本课的教学目标是：

1.会用三个数字、四个数字、五个数字组成乘积最大的乘法算式。

2.通过探索乘积最大算式规律的数学活动，感悟分类、数形结合、以退为进、转化等数学思想方法，发展数感、推理意识、模型意识等。

3.在探索规律的过程中，感受数学的有趣和神奇，激发学习数学的兴趣。

本课的教学重点在于能探索乘积最大算式的规律。教学难点是感悟分类、数形结合、以退为进、转化等数学思想方法，发展数感、推理意识、模型意识等。

二、教学过程

（一）提出问题孕伏铺垫

1.创设情境提出问题

师（出示）：用2、3、4、5、6五个数字组成一个三位数和两位数。怎样组数可使两个数的乘积最大？（学生尝试解答大约3分钟，教师巡视）

师：刚才老师发现大部分同学似乎遇到了困难，谁来说说你感觉难在哪里？

生：用这五个数字组成的三位数乘两位数的乘法算式有很多个。不容易确定到底哪个算式的乘积最大。

⒉启发思考，以退为进

师：是的，在这里遇到了困难，怎么办呢？让我们看看前人的智慧能否给我们些启发？

出示：天下难事，必作于易。——老子

复杂的问题要善于“退” ，足够的“退”，退到最简单而不失去重要性的地，是学好数学的一个诀窍。——华罗庚

师：老子和华罗庚先生的这两句话英雄所见略同。遇到复杂的、困难的问题，要退到简单的地方思考以获得启发。五个数字的问题对我们来说似乎有难度了，退到哪里，就容易了呢？

生1：四个数字。

生2：三个数字。

生3：二个数字。

师：哈哈，如果退到二个数字就不用研究怎样组乘法算式了，可以先退到比较简单的三个数字的问题思考。

⒊化难为易，尝试解决

出示：用4、5、6三个数字组成一个两位数和一位数。怎样组数，可使两个数的乘积最大？

（）（）×（）

师：猜一猜，哪个算式的乘积最大？

生1： 64×5。

生2： 65×4。

生3： 54×6。

师：同学们为什么不猜4□×□呢？

生：如果乘数比较小，乘积也就比较小。

师：好的，在刚才的几种猜想中我们先来研究一下65×4。65×4≈70×4=280，把65估大了，乘积才是280。同学们也可以估算一下另外两个算式的乘积。

生1： 64×5≈60×5=300。

生2： 54×6≈50×6=300。

師：另外的两个算式都是把数估小乘积是300，准确的乘积肯定要大于300。为什么65很大，它和4搭配组成的乘法算式的乘积却不是最大的呢？

生3： 4比较小。

师：在乘法算式中，两个乘数共同决定着乘积的大小。就像长和宽共同决定着长方形的面积，如果只考虑了长，而不管宽，那样面积不会大。同样的，如果只想着一个乘数尽可能大，而忽视了另一个乘数，乘积也不大。

师：64×5和54×6到底谁的乘积最大呢？

学生尝试计算：

生1： 64×5=320，54×6=324。

师：刚才大部分同学猜想64×5的乘积更大，而实际算出结果后却是54×6的结果更大，这是怎么回事呢？

生1：刚才估算的时候：64×5≈60×5=300，少算了4个5，如果再加上这4个5就是320；54×6≈50×6=300，少算了4个6，如果再加上这4个6，就是324。

师：同学们，能理解他的想法吗？我们可以联系乘法算式的意义来理解。

６４×５

＝（６０＋４）×５

＝６０×５＋４×５

５４×６

＝（５０＋４）×６

＝５０×６＋４×６

师：4放在6的后面组乘法算式，比300多算4个5；4放在5的后面组乘法算式，比300多算4个6。

师：解决了三个数字组乘积最大的两位数乘一位数的问题，回顾一下，你有什么窍门吗？

生：让最大的数字自己做一位数，让第二大和第三大的数字组成一个比较大的两位数，它们的乘积最大。

【思考】本环节重点启发学生遇到困难的、复杂的问题学会退到简单的地方开始思考，为后面解决复杂问题积累数学活动经验。

（二）继续追问深入探究

1.提出问题

师：有了前面研究的基础，同学们现在能进一步研究四个数字的问题了吗？

生：可以。

出示：用3、4、5、6四个数字组成两个两位数。怎样组数，可使两个数组的乘积最大？

2.分析问题

师：在组乘法算式的时候首先应该考虑什么？

生：让这两个乘数都尽可能大。需要先确定首位数字，尽量大。确定首位数字分别是6和5。

师：首位数字6和5确定之后，再和剩下的3和4搭配，组成的乘法算式有几种可能性？

生：64×53和63×54。

师：你觉得哪个算式的乘积最大呢？

生1：64×53乘积最大。

生2：63×54乘积最大。

师：到底哪个算式乘积最大，怎样能让大家信服呢？

生：计算出结果。

（学生计算验证：53×64=3392、54×63=3402）

3.理解原理

师：如果不计算出结果，你知道哪个算式的乘积最大吗？

生：54与63的差更小，它们的乘积更大。

师：你是怎样想到这个方法的？

生：三年级的时候，我们研究过长方形周长不变的时候，长和宽的差越小面积越大，这个问题与那个问题相似。

师：是的，这位同学联想到三年级长方形的研究，当长方形的周长不变（也就是长与宽的和不变）时，长与宽的差越小，长方形的面积越大。

（几何画板动态演示）

师：在这里，可以应用这个规律来解释。除此之外，我们也可以联系乘法算式的意义来理解。

６４×５３

＝（６３＋１）×５３

＝６３×５３＋１×５３

５４×６３

＝（５３＋１）×６３

＝５３×６３＋１×６３

师：也可以借助图形来帮助理解，电脑课件演示。比较两边的算式发现，64×53与54×63结果是相同的，1×53<1×63，所以54×63的乘积最大。

⒋变式练习

师：如果把这四个数字变一变，同学们还会思考吗？

出示：用8、5、6、3四个数字组成两位数和两位数。怎样组数，可使两个数的乘积最大？

（）（）×（）（）

学生尝试组乘法算式，师生交流：

师：谁来说一说你是怎么想的？

生：先考虑首位数字，把大的数字8和6放在首位。

师：首位确定后，考虑第二位有几种情况？

生：85×63， 83×65。

师：如果不计算出得数，你能快速判断出谁的乘积最大吗？

生：83×65。

师：怎么想的呢？

生1： 83×65的差更小，所以它们的乘積更大。

生2：也可以联系乘法算式的意义理解，比较大小。

８５×６３

＝（８３＋２）×６３

＝８３×６３＋２×６３

８３×６５

＝８３×（６３＋２）

＝８３×６３＋８３×２

师：四个数字组成乘积最大的两位数乘两位数的乘法算式，有什么共同的规律呢？

生：把最大的数字和最小的数字搭配组成一个两位数，再把另外2个数字搭配组成一个较大的两位数。

【思考】本环节引领学生探索四个数字组成乘积最大的两位数乘两位数算式，发展学生的理性思维，知其然知其所以然。

（三）拓展结构回归本原

1.提出问题

师：刚才的几个问题同学们解决得不错，下面敢不敢迎接新的挑战？

出示：用3、5、6、4、2五个数字组成一个三位数乘两位数的乘法算式（每个数字只能用一次）。怎样组数，乘积最大？

（）（）（）×（）（）

师：这个问题和刚才四个数字组乘法算式的问题相比较，什么相同？什么不同？

生：相同点都是组乘积最大的算式，不同点是多了一个数字2，由两位数乘两位数变成了三位数乘两位数。

2.小组合作全班交流

师：多了一个数字2怎么办呢？请同学们先独立思考尝试解决，然后小组内讨论交流你的想法。（大约5分钟）

师：哪个小组先来汇报一下你们的想法？

生：前面四个数字的问题已经讨论过了，3、5、6、4四个数字组成63×54乘积最大，剩下重点研究2放在哪里就可以了。

生：2可以放在63或54的后边，组成632×54或63×542。

师：632×54和63×542到底谁的乘积最大？如果不计算出结果你能判断出，哪个算式的乘积最大吗？

生：542与63的差更小，所以它们的乘积更大。

师：这位同学的想法，你们同意吗？

（一部分同学同意，另一部分同学不置可否）

师：实际上刚才的那个规律是有前提条件的，前提条件是当两个数的和确定不变，结论是这两个数的差越小，乘积越大。仔细研究这里能够发现632×54和63×542，算式中的两个数的和变化了，已经不满足那个规律的前提条件了，所以这里就不能应用那个规律。这条路走不通了，我们需要及时调整思考方向，还有其他的办法吗？

生：我们用计算器算出了结果632×54=34128

63×542=34146，63×542的乘积最大。

师：仔细观察算式，能试着解释其中的原理吗？

生：仔细观察比较这两个算式632×54和63×542，能发现主要是2的位置发生了变化，2的位置变化就导致数的意义变了，乘法算式的意义也变了，可以从乘法算式的意义来理解。

６３２×５４

＝（６３０＋２）×５４

＝６３０×５４＋２×５４

６３×５４２

＝６３×（５４０＋２）

＝６３×５４０＋６３×２

师：观察比较左右两边的算式你发现了什么？

生：630×54和63×540的结果是相等的，2×54< 63×2，所以 632×54<63×542。

师：5个数字，组成一个三位数乘两位数的乘法算式，怎么组数乘积最大呢？

生：先不管最小的数，退到4个数字的情况思考，再把最小的数放在较小的两位数后边。

【思考】本环节回归本原问题放手让学生进行独立思考、小组合作，分析并解决问题。

（四）课堂小结

师：学习到这里，让我们一起回顾下这节课是怎样探索组成乘积最大乘法算式规律的？

生：先研究了三个数字、四个数字组成乘积最大算式的问题。

师：接下来我们研究了什么问题？

生：接下来研究了五个数字组成乘积最大算式的问题。

师：遇到困难的时候，我们是用什么方法解决的？

生：五个数字的问题比较难，先“退”到三个数字、四个数字的问题来思考。

师：用三个数字、四个数字、五个数字组乘积最大算式共同的方法是什么？

生：都是把最大的数字分别放在2个乘数的最高位上，然后再思考剩下的数字怎样搭配。

师：研究到了这里，大家觉得下面我们还可以研究什么问题？

生1：六个数字、七个数字组成乘法算式，怎么组数乘积最大？

生2：怎样组乘积最小的算式呢？

师：看来同学们有很多有价值的思考，大家有基本的思路吗？

生1：最大的数字要放在最高位上，再考虑其他数字的搭配。

生2：复杂的问题退到简单的地方思考。

生3：组乘积最小的算式就是反过来想。

师：课后我们可以继续探索这些新问题。

【思考】本环节重点引领学生回顾组成乘积最大算式的数学思想方法，并启发学生联想到新的数学问题，课后拓展延伸。

三、教后反思

像“探索乘積最大的规律”这样的探索规律的教学内容需要让学生充分经历观察比较、猜想验证、归纳概括、解释原理的过程，使学生最终实现数学思维的提升。回顾整节课的教学，有以下几点思考和感悟。

（一）顺应学生认知特点，解决学生的真问题

探索乐园的教学内容对小学生来说往往思维难度较大，教师需要对教材进行教学法的加工。探究的问题要突出数学的本质，有思维含量，解决学生的真问题。学习过程采用探索发现式学习与有意义的接受式学习相结合，可以有效的突破难点。在一次次“跳一跳摘果子”的过程中，学生的数学思维得到较好的发展，体会到数学思考的乐趣。

（二）运用数学思想方法，促进学生的真学习

探索乘积最大规律的学习过程中综合运用分类、转化、数形结合、以退为进等多种数学思想方法，发展了推理意识、模型意识等。通过探究一组问题，打通一类问题，为今后解决复杂问题积累了丰富的思维活动经验，促进学生深度思考，让学习真实发生。

（三）发挥数学育人价值，助力学生的真发展

在学习的过程中学生不仅着眼于具体的小规律，更加重视使学生领会数学的基本思想，形成研究问题的基本能力。在学习的过程中学生潜移默化感悟到数学的研究对象在变，思想方法不变，研究套路不变，体会到数学内在的力量。在学习的过程中，学生经历问题解决的全过程，理解和掌握数学思想方法，提升了数学核心素养。

【责任编辑 王   悦】