在变式教学中落实数概念本质的一致性

潘丽君　张元国

［摘 要］文章结合“数的意义回顾整理”教学课例，从“计数单位”的视角对整数、分数和小数的相关知识进行回顾梳理，通过设计相应的变式练习，让学生在具体的习题训练中进一步理解和感悟数概念本质的一致性。

［关键词］计数单位；变式教学；一致性

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）23-0062-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识”。那么“数概念本质上的一致性”体现在哪里？ 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在教学建议中又指出：“在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性。”由此可见，“计数单位”是打通整数、分数和小数一致性的核心概念。“一个基本概念或基本技能的形成，需要有一定程度的重复，这就是熟能生巧的古训。那么，中国数学教学的‘重复训练’，是否有什么优越的地方？一个回答是‘重复经过变式而得到发展’。变式教学成为中国数学教学的特征之一。”这段话来自2006年出版的数学家张奠宙教授撰写的《中国数学双基教学》。时至今日，变式教学仍然是常见的教学方式，在数学教学中发挥着它独有的价值和作用。基于此，本文将以青岛版教材五年级下册“数的认识回顾整理”这节复习课为例，从计数单位入手，对整数、分数和小数进行梳理，通过设计相应的变式练习，让学生在具体的习题训练中进一步理解和感悟数本质上的一致性。

【教学过程】

一、用计数单位数数（shǔshù），感知数概念的一致性

师：数学家华罗庚说“数源于数（shǔ）”。那数是怎样数出来的？以365为例，可以怎样数？

生1：可以一个一个地数，1、2、3……一直数到365。

师：你是以“一”为单位来数的，还有更快的数法吗？

生2：可以先以“十”为单位来数，10、20、30……数到360后，再接着数5个一，即361、362、363、364、365。

生3：可以先数3个百，接着数6个十，最后数5个一。

师：以“一”为单位，以“十”为单位，以“百”为单位，都是以计数单位来数数。所有的整数都可以用相应的计数单位数出来。

师：整数能借助计数单位数出来。分数和小数能数出来吗？请举例说明。

生4：可以“0.01”为单位来数0.64。0.01、0.02、0.03……数64个0.01就是0.64。

生5：还可以先数6个0.1是0.6，再接着数4个0.01，合起来是0.64。

师：以“0.1”为单位，可以数出一位小数；以“0.01”为单位，可以数出两位小数……因此，小数也可以借助计数单位来数。

生6：[35]是数了3个[15]，还可以接着数[45]、[55]……数了多少个[15]就是五分之几。分数也可以借助计数单位来数。

师：整数、小数和分数，都是借助相应的计数单位数出来的，都是在数有多少个计数单位。

原题：

（1）124 =（  ）×1+（    ）×2＋（   ）×4

（2）0.24 =（    ）×2+（  ）×4

（3） [2425]=（    ）×[125]

变式1：你会用图形表示0.24、[2425]、124吗？试试看。

出示学生作品（如图1）：

师：说一说你们是怎么画的。

生7：0.24就是把一个正方形平均分成100份，一个小格表示0.01，涂24个小格就是0.24。

生8：[2425]就是把一个正方形平均分成25份，涂24个小格。

生9：一个小方格表示1，先涂一个百就是100个小方格，再涂2个十就是20个小方格，再涂4个一就是4个小方格。这样就得到124。

师：画图表示数的意义与数数有共同之处吗？

生10：它们都需要看有多少个计数单位。数数是数出计数单位，画图是画出计数单位。

变式2：在○里填上“＞”、“＜”或“=”。

4260 ○ 5001 ； [35]  ○  [47]；  1.1 ○  1.09

生11：4260＜5001。我比较的是千位上的数，4＜5，所以4260＜5001。

师：为什么比较最高位上的数？

生11：最高位上的计数单位最大，4260有4个千，5001有5个千，不管其他数位上的数是多少，4个千小于5个千，所以4260＜5001。

生12：[35]＞[47]。 我先通分，[35=2135] ，[47]=[2035]，21個[135]大于20个[135]，所以[35]＞[47]。

生13：1.1＞1.09，个位上的数都是1，就比较十分位上的数，1＞0，所以1.1＞1.09。

师：在整数、分数和小数的大小比较中，实质上比的是什么？

生14：比的是计数单位的大小和计数单位的数量。

师：在数的大小比较中，依旧要看计数单位和数计数单位的个数。

【设计意图】原题是用算式呈现数是对多少个计数单位的表达，而变式1改变题型，让学生用画图的方法表示数的意义，这种数形结合的形式直观可视地考查了学生对三种数的表达一致性的理解；变式2也是改变题型，让学生通过对数的大小比较进一步体验数的表达的一致性。

二、理解十进位值制，感受数概念的一致性

师：在刚才数数的过程中，我们知道满十要向前一位进一，这就是十进制。十进制只用10个数字符号，即0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，就可以表示所有的数。整数和小数都是十进制的，下面结合练习来感受。

原题：观察图2，你能写出哪些数？

变式1：如图3，有4颗珠子，可以任意摆放到计数器上。

（1）你可以摆出哪些数？

（2）摆出的最大的数是（     ），摆出的最小的数是（       ）。

（3）说一说40、4、0.4、0.04中的“4”的意义。

师：为什么把珠子放在最左边，得到的这个数就最大？

生1：因为在计数器上，计数单位从右向左越来越大，所以把珠子放在计数器的最左边，表示的数就最大。

师：说一说40、4、0.4、0.04中的“4”的意义。

生2：40中的“4”在十位上，表示4个十；0.4中的“4”在十分位上，表示4个0.1……

师：都是“4”，为什么表示的意义不同？

生3：因为所在的数位不同，计数单位也不同，表示的意义就不同。

师：同一个数字在不同的数位上，表示的值不同，这就是位值制。我们现在常用的计数法就是十进位值制。

生5：不用写计数单位，只需要写出计数单位的数量就行，比较简单方便。

生6：计数单位的位置是固定的，整数的数位是从右向左依次是个位、十位、百位……小数部分从左向右依次是十分位、百分位、千分位……所以表示的数有顺序。

师：有了十进位值制，只需要在数位上用0～9十个数字表示计数单位的数量即可。

【设计意图】原题是引导学生理解“相同数量的珠子，因所在的数位不同，即计数单位不同，表示的数就不同”。变式1是通过任意摆放4颗珠子得到不同数，促进学生进一步思考、感知位值制。变式2是把十进位值制与古埃及的十进累加制对比，凸显十进位值制的优势，即简单、方便、有序。

三、梳理三种数的联系，感悟数概念的一致性

师：整数、小数和分数这三种数之间有什么联系呢？先想一想，整数与分数之间可以互化吗？可举例说明。

生1：1 = [1 1 ]= [22] = [33]……

师：对，1可以写成分母是1、2、3……的假分数，那么其他的非零自然数也能化成分母是1、2、3……的假分数吗？请试着填一填。

原题： 2 = [（      ）1] =[  （      ）2] = [（      ）3]

4 = [（      ） 1] = [（      ）2] = [（      ）3]

变式：

5 = [（      ）3] = [（      ）5] = [10（      ）] = [20（      ）] = [（       ）（       ）]

师：所有的非零自然数都可以看作分母是1、2、3……的假分数。分子是分母倍数的假分数可以化成整数。继续思考，整数和小数可以互化吗？分数和小数呢？

生2：3.6 = [3610]，0.26 = [26100]，小数可以化成分母是10、100、1000……的分数； [35]= 0.6，[13]= 0.333……，分数可以化成小数。

生3：2.0 = 2，2.00 = 2，根据小数的基本性质，像这样的小数可以化简为整数。整数有时也可以根据需要改写成小数。

師：根据需要，整数和分数、整数和小数、分数和小数之间可以相互转化。除此之外，它们之间还有联系吗？

……

师：我们认识了那么多的整数，从几个、几十、几百、几千到几万……你认为整数中最小的计数单位是几？

生4：整数中最小的计数单位是1。

师：对，所有的整数都可以看作是从1开始累加的，如26是由26个一累加的，703是由703个一累加的……

师：大家在三年级时认识了分数，什么时候需要分数？

生5：当把一个物体平均分成两份、三份或更多份，每一份就不能用整数表示时，产生了分数。

师：把1平均分7份，其中的一份是[17]，5份是[57]……继续下去，我们就可以得到分母是7的所有分数。如果把1平均分9份呢？

生6：我们就可以得到分母是9的所有分数。

师：同理可得，分数是把1平均分得到的。

师：有时为了方便，又把十进分数（[110]、[5100]、[23100]……）用小数表示。小数的计数单位就是十分之一、百分之一、千分之一……所以小数也是把1平均分得到的。

师：还可以进一步总结整数、分数和小数的关系。所有的数都是从1开始，把1累加就得到整数，把1平均分若干份就得到分数，其中十进分数又可以写成小数。因此，有人说“1是万数之首”。（出示图5）

原题：（1）470是由（    ）个1组成的；

（2）[58]可以看作是把1平均分成（    ）份，表示这样的（    ）份；

（3）0.672也就是[（         ）（         ）] ，即把1平均分成（    ）份，表示这样的（   ）份。

变式：在图6上画点表示0.3、1[13]、3、[45]。

【设计意图】整数、分数和小数的联系可从两方面来理解，一是三者之间可以互相转化；二是三者之间有内在联系，即“1”累加产生整数，把“1”平均分产生分数，十进制分数又可以记作小数。原题是让学生理解基础的“1”的累加和平均分；变式题是让学生在数轴上先找计数单位再找点，经历“1”的累加和平均分的过程，从而进一步体验计数单位是数概念中的关键。

【教后反思】

一、于变式教学中统整数概念

教师先让学生在最熟悉的数数中对“多少个计数单位”有了最初的感知；再让学生在数的组成中加深认识，如0.24=（0.1）×2+（0.01）×4；然后在画图表示中，学生顺其自然地想到要数“多少个计数单位”后再涂色，如0.24需要数2个0.1、4个0.01；最后，在数的大小比较中，学生通过交流明确比的是“计数单位及计数单位的个数”。学生的思维在各种形式的变式练习中穿梭，于变化中体验不变，学生对数的认识上升到“由复杂到简单”的回归，学生能够逐步建立数概念的本质模型，即整数、分数和小数都是计数单位的累加。

二、于变式教学中理解数概念

十进位值制在计数制的发展中具有重要意义，为加深学生的理解，通过对“计数单位的有序排列和无序排列”练习进行变式，体现了计数单位有序排列的便捷性和高效性，即“不用写计数单位，只要写出计数单位的数量就行”，进而促使学生理解“每个数位上的数字表示的是相应计数单位的个数”，感受整数和小数基于十进位值制的一致性。

三、于变式教学中关联数概念

复习课不是知识的重复练习，而是要在“温故”的基础上能够“知新”，使知识系统化。首先，教师在梳理整数、分数联系的基础上举一反三，使学生能够融会贯通，厘清整数和小数、小数和分数的联系，建立三种数之间的转化关系网；其次，教师借助“1”关联整数、分数和小数三者的关系，让学生从基础的填空到在数轴上找点找数，进一步感受计数单位的重要性，感悟数概念之间基于计数单位的联系。至此，学生学会用整体的、联系的眼光看问题，数学核心素养得以发展。

（责编 金 铃）