创设真实情境 浸润数学文化

吴俊英

摘 要： 在分析2023年高考数学全国卷中的数学文化试题后发现：数学文化类试题数量较少，数学文化类型分布集中在数学与生活、数学与科技两个类型；主题领域分布不均衡，“概率与统计”最多；试题通过创设自然真实情境，合理控制阅读难度、知识点个数、运算量等来契合试题要求层次和考生认知水平.高三试题命制应创造性使用教材，注意均衡各数学文化类型；课堂教学应依托情境化设计，关注阅读、思考、表达闭环训练，培养学生应用能力，浸润数学文化.

关键词： 数学文化；真实情境；高考

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修訂）》指出“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动” ［1］.2023年高考对数学文化的考查主要体现在创设自然真实情境，从现实生活情境、科学研究情境及劳动生产情境出发，合理控制阅读难度、抽象程度、运算量，使情境化试题契合试题要求层次和考生认知水平［2］.为明晰当前高考试题中渗透了哪些数学文化，以2023年高考数学全国卷试题为文本对象进行统计分析与讨论，以期为高三复习提供启示与建议.

1 数学文化试题特征分析

整理、分析2023年高考数学试题，从试卷、题型与题号、试题背景、考查内容知识点、考查内容主题及文化类型六个方面对全国甲卷（文科、理科）、全国乙卷 （文科、理科）、新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷六套试卷中的数学文化类考题进行统计、归纳，如下表1. 基于已有研究，依据张维忠等人关于高考数学试题中数学文化的分类标准，将数学文化内容类型分为数学史、数学与人文艺术、数学与科技、数学与生活四类［3］.

1.1 试题文化类型分析

2023年全国高考统一命题数学试题中的数学文化题总数较少，仅有15道题，数学文化试题类型分布不均衡但贴近生活，便于学生学习兴趣的培养.试题以数学与生活、数学与科技为主阵地，从现实生活情境（如新课标Ⅱ卷第3题，全国甲卷理科第9题，新课标Ⅰ卷第21题）、科学研究情境（如新课标Ⅰ卷第10题，新课标Ⅱ卷第19题，全国甲卷理科文科数学第19题）及劳动生产情境（如全国乙卷理科文科第17题）出发，充分体现了数学与实际生活息息相关，增加高考数学试题和社会生活、科技生产等的联系，可以使数学更加贴近现实生活，拉近学生和数学之间的距离，提高学生学以致用的能力，培养学生应用数学的意识，更多关注学生综合解决问题的能力.试题的突出特点有以下两点：一是以人员安排、体育比赛等为背景的试题较多，以科技创新为背景的试题偏少；二是对数学史给予的关注度不够，数学史、数学与人文艺术今年没有直接考查.

1.2 试题知识主题分析

从知识主题的统计分析发现，数量分布最多的是“概率与统计”主题，试题总数为14道;其次是“函数”主题，试题总数为1道；“几何与代数”主题和“数学建模活动与数学探究活动”没有考查.总体来说，除了新课标Ⅰ卷第21题，其他试题综合难度不高.每个试题知识点含量有所提升，从知识点个数来看，结合的知识点数量以2个或3个为主，主要考查学生对基础知识的理解和基本技能的应用，解答题中3个及以上知识点的考查占比在逐年增高.

1.3 试题题型及阅读量分析

从试题题型的统计分析发现，选择题有8道，填空题1道，解答题6道.在数学文化考查方式上，更多地发挥了选择、填空题行文简洁凝练，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等特点.同时都有一道题以解答题形式考查数学文化.按照阅读量分类标准：试题字符数在100以内为少量，试题字符数在100—200之间为中等，试题字符数在200以上为大量.今年试题阅读量控制题干字数，表达严谨精简，情境化设计简洁贴近现实社会.统计得阅读量少量为7道，中等为2道，大量为6道.在阅读量上，选填题多以中等为主，需要学生拥有快速阅读提取信息整合信息的能力.解答题的阅读量字符数一般较多，需要学生进行文字语言与数学语言的相互转化，试题既提高了数学知识的关联程度，也提升了试题本身的阅读难度.

2 典型试题欣赏与评析

2023年高考数学文化的渗透聚焦在数学与科技、数学与生活两个内容上.在数学与生活试题中背景涉及到体育、选课、社区服务、文艺汇演、作文比赛等等，能让学生深切体会到数学无处不在.既体现了数学的应用价值，也具有育人价值，能够提高学生的社会意识与社会责任感.

例   （新课标Ⅰ卷第21题） ：甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1） 求第2次投篮的人是乙的概率；

（2） 求第ⅰ次投篮的人是甲的概率；

（3） 已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i=1）=1-P（X i=0）=q i，i=1，2，…，n，则 E（∑ n i=1 X i）=∑ n i=1 q i. 记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）.

点评：  本题以考生熟悉的篮球投篮作为情境，设计新颖，将概率问题融入两人的连续投篮练习中.前两个设问考查事件的关系，根据全概率公式与条件概率，从随机过程分支中找数列的递推关系进而解决问题.考查考生的逻辑思维能力，考查考生对复杂事件的分解和转化的能力.求解的关键是问题背景中前后试验具有密切的关联性，其概率的内在联系决定了数列的递推关系，而递推关系的数学本质是全概率公式［4］. 第3问考查离散型随机变量的期望，需要在较为复杂的情境中明晰各信息之间的联系，用数学符号、文字语言表达问题，对随机变量进行分析和转化，逐步将问题解决.求解关键是用数学的眼光发现此题的研究对象，将题目转化为数学问题，并借助数学语言和思维对题目进行表达进而解决问题.

本题是一个“马尔可夫链”问题.马尔可夫链是一个著名的概率模型，它描述随着时间的推移，各个不同状态间的相互转化，在自然科学和社会科学中有着广泛的应用.马尔可夫性可以解释为：在已知现在的情况下，将来的随机变化规律与过去发生的事件无关，即未来状态n只受当前状态n的影响，与之前的n无关.在现实生活中，很多随着时间变化的随机变量序列都具有马尔可夫性.一般地，我们称具有马尔可夫性的随机变量序列{X i}为马尔可夫链.在实际应用中，可以通过问题的背景直接判断随机變量序列是否具有马尔可夫性.教材和各地模拟题中也有相关的习题可以供拓展练习使用.

拓展练习1   （人教 A 版数学选择性必修第三册第81页第10题） ：如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.

（1） 质点回到原点；

（2） 质点位于4的位置.

拓展练习2   （人教 A 版数学选择性必修第三册第91页第10题） ：甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率.

3 启示与建议

结合杨正朝、曹文杏等人对近些年数学文化试题的研究［5］ ［6］，联系前文对2023年试题总体特征的分析及个别试题的赏析，发现了一些命题特征，由此为试题的编制和教师课堂教学提出以下几点建议.

3.1 基于教材进行试题编制，二次加工教材创设情境

高考评价体系强调“无情境，不成题”，强调试题的情境设计和创造.各版数学教材中提供了很多的情境，不仅在新授课时应重视，在高三复习时也应回归教材，尤其重视引言、旁白、探究、阅读与思考等内容，梳理可渗透数学文化的材料，根据教学内容，改编教材情境试题.2019年高考理科数学全国Ⅰ卷第21题，2020年高考理科数学Ⅰ卷第21题也都是基于马尔可夫链的概率问题.实际上，普通高中课程标准实验教科书数学选修4 9（ A 版）《风险与决策》中第四讲马尔可夫型决策简介详细介绍了马尔可夫链问题，但显然部分教师对这部分内容缺乏足够的重视.高考数学试题的命制来源于教材又高于教材，教师可以多阅读各个版本的教材并从中积累素材，试题编制时关注文字的精炼，合适控制文字数量和阅读理解对问题难度的影响，适当均衡各部分内容，让学生充分体会到数学的重要性.在数学与生活的选材上，除了关注个人生活背景，可以关注结合社会热点、社会公共生活；在数学与科技的选材上，注意材料要与时俱进，契合时代背景，关注最新科技研究成果与数学的联系，在数学史的选材上，除了数学名家、数学名题、数学名著，还可以用我国古代数学优秀成果和中华优秀传统文化来凸显文化自信.此外需要关注数学文化在人文艺术方面的应用，以更为丰富的数学文化内容和更多元的数学文化类型彰显数学文化的价值意义.

3.2 课堂教学关注阅读、思考、表达闭环训练，培养学生应用能力

通过对数学文化类试题的分析发现，近些年高考试题的情境越来越真实复杂，且解答题字符数目较多，更加注重考查学生阅读理解和信息整合能力.教师应该重视高考命题趋势，调整教学.课堂上要给 学生完整的阅读、思考、表达等基本活动的体验，经历从阅读到理解再到应用的过程，形成课堂教学闭环.教师应重视与现实生活的联系，设置或选择真实复杂的问题情境，锻炼学生从情景中抽象出数学问题、进行数学阅读的能力，培养学生用数学的眼光观察世界的习惯.接下来围绕问题的解决，教师引导学生开展学习，教师在教学设计中应注重基本概念的理解与应用，在教学活动中充分展示数学本质，重视具体知识与技能的生成过程，用数学的思维思考世界.最后用数学的语言表达世界，鼓励学生探索创新，自主创设符合问题的试题情境.

总之，以情境为载体的高考命题，秉承立德树人的教育理念，渗透数学文化，坚持以文化人，以文育人.高三试题命制应创造性使用教材，注意均衡各数学文化类型；课堂教学应依托情境化设计，关注阅读、思考、表达闭环训练，培养学生的应用能力，浸润数学文化.

参考文献：

［1］ 中 华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 教育部教育考试院.深入考查基础知识和能力，助力人才选拔和“双减”落地——2023年高考数学全国卷试题评析［J］.中国考试，2023（7）：15 21.

［3］ 张维忠，金月丹.高考试题中的数学文化内容类型研究——基于近5年高考试卷的量化分析［J］.中学数学月刊，2020（6）：26 34.

［4］ 余建国.过程分支类概率问题的数学本质与求解方法［J］.中小学数学，2023（6）：11 13.

［5］ 杨正朝，吴京霖，王宽明.高考数学文化类试题评析——以2020—2022年高考数学全国卷为例［J］.辽宁师专学报（自然科学版），2022（12）：11 17.

［6］ 曹文杏，胡余旺.高考数学中数学文化类试题特征及其评析：以2016—2020年全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷为例［J］.教育测量与评价，2021（5）：49 57.