化隐为显 揭示本质

宋辉

摘 要：

众所周知，所谓的解题过程，就是在条件与结论之间架起桥梁，通过条件的不断转化、化隐为显、揭示本质，最终解决问题的过程.本文通过几类问题，探究“化隐为显、揭示本质”的解题过程.

关键词： 解题；转化；化隐为显

1 隐“零点”问题

例1   已知函数f（x）＝aex- ln  x，a＞0，求证：f（x）≥2+ ln  a.

解：  f ′（x）＝aex- 1 x ＝ axex-1 x （x＞0），令h（x）＝axex-1，则h′（x）＝aex+axex＝aex（1+x）.

因为a＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（0）＝-1＜0，h  1 a  ＝e 1 a -1＞0，所以存在x 0∈ 0， 1 a  ，使h（x 0）＝0，即存在x 0∈ 0， 1 a  ，使 f ′（x 0）＝aex  0- 1 x 0 ＝0，即x 0＝ 1 aex  0 ，

又当x∈（0，x 0）时，f ′（x）＜0，所以f（x）在（0，x 0）上单调递减；当x∈（x 0，+∞）时，f ′（x）＞0，

所以f（x）在（x 0，+∞）上单调递增，所以f（x）  min ＝f（x 0）＝aex  0- ln  x 0＝ 1 x 0 - ln   1 aex  0 ＝ 1 x 0 +x 0+ ln  a≥2  1 x 0 ·x 0 + ln  a＝2+ ln  a，

当且仅当 1 x 0 ＝x 0时，即x 0＝1时等号成立，所以f（x）≥2+ ln  a.

例2   已知函数f（x）＝ex-ax+b，其中a，b∈ R . 若f（x）在x＝0处存在极值-1，且x∈（-1，+∞）时，f（x）+2＞k（x+1）恒成立，求实数k的最大整数值.

解：  由f（x）在x＝0处存在极值-1，得f ′（0） ＝0，f（0）＝-1，所以a＝1，b＝-2；则f（x）＝ex-x-2，f ′（x） ＝ex-1.

当x∈（-∞，0）时，f ′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f ′（x）＞0，f（x）单调递增.

则f（x）在x＝0处存在极值f（0）＝-1，滿足题意.

由题意f（x）+2＞k（x+1）恒成立，即ex-x＞k（x+1）在x∈（-1，+∞）恒成立，

即k＜ ex-x x+1 ，设h（x）＝ ex-x x+1 ，只需k＜h  min  （x）.

因为h′（x）＝ xex-1 x+1 ，令t（x）＝xex-1，t′（x）＝ex （x+1），

所以t′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，t（x）在（-1，+∞）上单调递增，

因为t  1 2  ＝ 1 2  e -1＜0，t（1）＝e-1＞ 0，所以存在x 0∈  1 2 ，1 ，使得t（x 0）＝x 0ex  0-1＝0.

即ex  0＝ 1 x 0 ，且在（-1， x 0）上，t′（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减；

在（x 0，+∞）上，t′（x） ＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

所以，h  min （x）＝h（x 0）＝ ex  0-x 0 x 0+1 ＝  1 x 0 -x 0 x 0+1 ＝ 1 x 0 -1.

又x 0∈  1 2 ，1 ，所以h（x 0）∈（0，1） ，

所以k的最大整数值为0.

小结：  隐“零点”问题，就是零点不能精确求出，通过寻找零点满足的隐性条件，不断化简问题，最后解决问题.

2 隐“轨迹”问题

例3   （多选题） ：已知点A（-1，0），B（1，0），若圆（x-2a+1）2+（y-2a-2）2＝1上存在点M，满足MA ·MB ＝3，则实数a的值可以为（  ）.

A.  -2

B.  -1

C.  2

D.  0

解：  设点M（x，y），则MA ＝（-x-1，-y），MB ＝（-x+1，-y），因为MA ·MB ＝（-x-1）（-x+1）+y2＝3，所以点M的轨迹方程为x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径为2.

由题意知，圆（x-2a+1）2+（y-2a-2）2＝1与圆x2+y2＝4有公共点，又圆（x-2a+1）2+（y-2a-2）2＝1的圆心为（2a-1，2a+2），半径为1，所以1≤ （2a-1）2+（2a+2）2 ≤3，解得-1≤a≤ 1 2 .

故选择答案： B 、 D .

例4   过点P（2，4）任作两条互相垂直的直线l 1，l 2.若l 1交x轴于A点，l 2交y轴于B点，记线段AB中点为M，求PM的最小值.

解：  设点M的坐标为（x，y），因为M为线段AB的中点，所以A（2x，0），B（0，2y）.又l 1⊥l 2，且l 1，l 2交于点P，所以PA⊥PB，即PA ·PB ＝0.

又P（2，4），所以PA ＝（2x-2，-4），PB ＝（2，2y-4），

所以-2（2x-2）-4（2y-4）＝0，

化简，得x+2y-5＝0.所以点M的轨迹方程为x+2y-5＝0.

PM的最小值就是点P（2，4）到直线x+2y-5＝0的距离，故PM的最小值为 2+2×4-5  12+22  ＝ 5 .

小結：  对于隐“轨迹”问题，当问题中出现动点时，探究动点的运动轨迹是必然的过程.

3 隐“结构”问题

例5   已知函数f（x）＝ ln  x+ ln  a+（a-1） x+2（a＞0），若不等式ex-2≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围.

解：  ex-2≥f（x）即ex-2≥ ln  x+ ln  a+（a-1）x+2

即ex-2+x-2≥ ln  （ax）+ax即 ln  ex-2+ex-2≥ In  （ax）+ax

观察不等式两边的结构，得是同一种结构.

设g（x）＝ ln  x+x，则原不等式恒成立等价于g（ex-2） ≥g（ax）在（0，+∞）上恒成立，

因为g′（x ） ＝ 1 x +1＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数，

则g（ex-2）≥g（ax）在（0，+∞）上恒成立，等价于ex-2≥ax在（0，+∞）上恒成立，

等价于a≤ ex-2 x 在（0，+∞）上恒成立，

令h（x）＝ ex-2 x （x＞0），则h′（x ）＝ （x-1）ex-2 x2 .

又（0，1）上，h′（x）＜0，（1，+∞）上h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）上为减函数，在（1， +∞）上为增函数，

所以h  min （x）＝h（1）＝ 1 e ，故 1 e ≥a＞0.所以实数a的取值范围为 0， 1 e  .

小结：  对于隐“结构”问题，将“不同”结构转化成相同结构，利用同构解决问题是关键.

4 隐“函数”问题

例6   试求函数f（x）＝（3x-1）（ 9x2-6x+5 +1）+（2x-3）（ 4x2-12x+13 +1）的零点.

解：  f（x）＝（3x-1）（ （3x-1）2+4 +1）+（2x-3）（ （2x-3）2+4 +1）.

令f（t）＝t（ t2+4 +1）， t∈ R ，由 f（-t）＝-f（t），得f（t）为奇函数，易知f（t）在 R 上单调递增，原函数可表达为y＝f（3x-1）+f（2x-3）.

令y＝0，即f（3x-1）+f（2x-3）＝0，f（3x-1）＝-f（2x-3）＝f（3-2x），由f（t）在 R 上单调递增，得3x-1＝3-2x，解得x＝ 4 5 .所以f（x）的零点为 4 5 .

小结：  对于隐“函数”问题，通过合元、并元、消元等方法转化成函数问题.

参考文献：

［1］ 单墫.解题研究［M］.上海：上海教育出版社，2013.