让数学思想方法根植于数学课堂

【摘 要】注重以深刻的思想启迪学生是数学教师的一项重要责任。在高中数学课堂教学中深入揭示数学思想方法，是发展学生核心素养的需要，是促进学生理性思维生长的高级样态，也是学生关键能力获得的主要通道。根植思想方法于课堂，要加强数学教材的阅读和知识之间关联的梳理，科学提炼并合理筛选隐藏在知识背后的数学思想方法；要通过情境创设，启发学生探寻数学思想方法；通过课堂讨论，点拨学生感悟数学思想方法；通过整理概括，引领学生内化数学思想方法；通过问题解决，助力学生活用思想方法。

【关键词】高中数学课堂教学；数学思想方法；核心素养；教学设计；教学策略

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）37-0015-05

【作者简介】段志贵，盐城师范学院（江苏盐城，224002）数学与统计学院教授，南京师范大学、青海师范大学兼职硕士生导师。

如果说“用诗意的语言感染學生”是语文教学应当努力实现的境界，那么，数学教师的重要责任就是“以深刻的思想启迪学生”。［1］帮助学生感悟、理解并在真实问题解决中自觉地运用数学思想方法，已成为新时期发展学生核心素养的基本要求；加强数学思想方法的教学渗透，让思想方法根植于数学课堂教学是我们优化数学教学的永恒追求。

一、揭示数学思想方法是发展学生核心素养的需要

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）明确提出教学要从学情出发，加强以培养学生数学核心素养为指向的数学思想方法的渗透。在数学教学中加强学生的核心素养培养，一般说来重在两个方面，一是发展学生的理性思维，二是培养学生的关键能力，而发展思维和培养能力又都依赖于数学思想方法的学习理解和灵活运用。

（一）数学思想方法是学生理性思维生长的高级样态

数学是思维创造的产物，数学活动则是思维创造的活动，因此学习数学重在学习思维和思维再创造。从高阶思维的角度看，数学思想方法指的是阐述数学发生发展规律和内在逻辑本质的思维活动。它是人们对现实世界数量关系和空间形式本质的、抽象的、概括的理性认识产物，是构建和整合各类数学知识有机联系的“黏合剂”。它属于理性知识，但又高于通常所说的理性知识；它作为一种高层次的思维形式，是抽象的，但又不失形象性内涵；它让思维更精准地表达，更通透地展示。

渗透数学思想方法的教学是培养和发展学生理性思维的有效途径。与初中生大多处于经验性思维阶段不同，高中生的思维已具有初步的理论化特征，能够运用基本的理论来分析、综合材料，建立起基本的辩证思维。高中生这一思维特点也为在高中数学教学中加强数学思想方法的渗透奠定了基础。在数学教学活动过程中，我们可以根据需要选择适切的时间或场景，启发学生加强对现实世界的观察与思考，引领他们通过分析与比较、综合与概括以及判断与推理，准确而有条理地表达自己的思想，掌握必备的数学思想方法，并通过数学思想方法的学习感悟，不断提升思维的合理性、条理性、灵活性、敏捷性和创造性。

（二）数学思想方法是学生关键能力获得的主要通道

数学教学培养学生的核心素养，其中很重要的一项是发展学生的关键能力。所谓关键能力，即是支撑终身发展和适应时代要求的能力。它是发展学科素养、培育核心价值所必须具备的能力基础。［2］客观地说，数学学科关键能力的形成，外显性知识是主要来源，但数学思想方法等潜在的知识或思维方式也是数学学科关键能力形成不可或缺的资源，它们深刻地影响着学生关键能力的形成和发展。

数学思想方法是人们认识世界、改造世界的概念框架。理解数学思想，就能在一个更高的层面上整体地审视基础知识的发生与发展，厘清知识的网络结构及其本质要素；掌握数学方法，就能从技能技巧训练升华为对通性通法的深刻体悟［3］，不断提升解决真实问题的能力，从而形成适应新时代社会发展需求的核心素养。

二、提炼数学思想方法是课堂教学设计的重要内容

为在教学中把数学思想方法的渗透落到实处，教师首先就要在教学设计上下功夫。教师应基于不同的教学内容，科学提炼并合理筛选隐藏在知识背后的数学思想方法。

（一）要注重数学教材的阅读，提炼数学思想方法

教材是开展教学设计的“根据地”。教材中几乎每一个数学知识板块都有着比较丰富的发生、发展史，其背后蕴藏着许多深刻的数学思想方法。研读高中数学教材，我们不难发现，某一特定教学内容可能同时蕴含几种不同的数学思想方法。例如“任意角”的教学，从内容上看有正角、负角和零角，相关的还有象限角，贯穿其中的就有类比思想、特殊到一般思想、转化与化归思想等。同一种数学思想方法也可能分布于不同学段、不同章节或不同的知识模块之中。以“类比思想”为例，高、初中三角函数定义可以类比，立体几何与平面几何可以类比，等比数列与等差数列可以类比，还有双曲线与椭圆类比，计数原理中的分类和分步类比等。

教师应注重阅读教材的教学设计，不依靠新奇的情境吸引学生眼球，而是通过对教材编写意图的揣摩与理解，把教学内容放置于大单元的教学之中整体建构，突显思想方法的灵魂作用。数学教学不只是结论性知识的传授，更重要的是要让学生掌握其中的思想方法，比如数形结合、分类讨论、特殊化、一般化、化归、类比、归纳等思想方法。因此阅读教材不能只读概念、公式和定理，不能只解例题，而是要找出隐藏其中的数学思想方法。数学思想方法常常蕴涵在基础知识及其发生发展的过程之中，需要跨段落仔细品味或深度解读，才能明白其中的道理。教师在钻研教材、编制教学目标时，一定要把隐性的思想方法挖掘出来，使其化“隐”为“显”，有机地渗透在教学过程之中。以苏教版高中数学教材必修一“三角函数的图象与性质”的教学为例，可以紧扣数形结合思想把教学设计为相互衔接的三个阶段：第一个阶段，通过回顾揭示函数性质的研究方法，帮助学生理解知识之间的关联，感悟数形结合思想的本质；第二个阶段，直观展示正弦函数图象的生成过程，通过问题串的形式层层深入，引领学生抽象概括出正弦函数性质，使得学生对“形”的认识进一步转变到对“数”的挖掘；第三个阶段，可以采用合作探究等方式深化对正弦函数性质的理解，并基于类比获得余弦函数的性质，深化对数形结合思想的理解。

（二）要梳理知识之间的关联，筛选数学思想方法

数学思想方法的筛选服务于核心素养的培养，服从于数学学科知识体系的建构过程。整个高中数学是基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本活动经验的和谐统一体。数学思想方法是数学知识、数学技能在更高层次上的抽象、概括与提炼，它蕴含在数学知识技能发生、发展和应用的过程中。为从教学内容中甄别和优选出课堂教学需要渗透并且能够让学生掌握的思想方法，教师课前必须理清知识之间的关联，尤其是，要把课堂知识传授的“明线”理顺，辅以思想方法渗透“暗线”的设计，让明、暗两条线相辅相成，相得益彰。

大单元数学内容的整合，或者不同模块甚至跨学科间知识关联的梳理，本质上就是知识结构体系的构建。它可以帮助学生更好地理清数学本质，也能更易抓住问题解决的关键点，还能给学生提供培养数学抽象与概括能力的机会，深化对数学思想方法的认识和理解。事实上，从中凝练筛选出来的数学思想方法具有統摄相关知识点及其结构体系的功能，有助于学生提升对问题的认识高度以及问题解决的广阔视野。以苏教版必修二第十章“两角和与差的余弦”的教学为例，教师可以把这一单元的相关知识结构化，将化归思想、“算两次”思想以及基本的数学发现方法加以整合进行教学设计，一是串联向量数量积运算法则和两点间距离公式，突出“算两次”在两角差余弦公式推导过程中的引领作用；二是通过余弦的差角公式推导余弦、正弦和角公式，加强化归思想在三角变换中的渗透；三是启发学生用余弦的和（差）角公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明问题，学会观察与分析，掌握基本的数学发现方法。［4］

三、渗透数学思想方法是提高课堂教学活力的主线

数学思想方法的渗透是提高数学课堂教学活力的主线。一般说来，数学思想方法产生于对焦点问题的思考之中，发展于对相关问题的研讨之中，成熟于对数学活动的反思和总结之中，巩固于蕴含同一数学思想方法的问题解决及训练之中。由此，注重知识传授与思想方法渗透“明”“暗”两条线的有机融合，把数学思想方法教学真正落到实处。

（一）通过情境创设，启发学生探寻数学思想方法

通过创设问题情境引领学习，不仅能生动具体地反映知识建构过程，也能充分展示理性思维的特点，同时更能帮助学生形成大概念，建构大目标，加深对真实问题更宏观、更具概括性的认知，促进其对数学思想方法的认识和理解。因此，数学教学一定要注重揭示相关概念或公式、定理产生的实际背景及其发展的来龙去脉，从中加强与学生已有经验建立有价值的实质性联系，以此帮助学生感悟、领会直至内化为自觉的思想方法意识。在具体情境的创设上，教师要依据问题解决的难点恰当地引发认知冲突，激发学生对思想或方法探究的欲望。具体来说，可以采用有梯度和效度的问题进行导入，使探究思路和过程自然、清晰，努力把学生对真实问题的观察、思考及其对问题本质的理解，上升到培养合乎逻辑的推理意识和思维品质上来，促进他们对蕴涵其中的数学思想方法的理解和感悟。

以苏教版必修一第五章“函数的单调性”一节的教学为例，在开始阶段，教师不妨以当地某天的气温变化图为实例来创设情境，引领学生通过观察气温随时间变化图，形成对“单调递增”“单调递减”的直观理解，并能基于数学思维进行思考，利用数学语言表达气温变化规律。［5］教学中通过数形结合思想的渗透，既能让学生感受到数学来源于生活，又能帮助学生突破对函数单调性严格界定认知上的困难，为后续相关内容的符号化、形式化学习奠定基础。

（二）通过课堂研讨，点拨学生感悟数学思想方法

新课标强调知识的形成性生长，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，注重课堂教学对问题的研讨过程，着意培养学生搜集和处理信息的能力，逐渐发现和理解知识中蕴含的数学思想和方法。

课堂教学研讨既有生长性和针对性特点，也能使数学教学过程更深刻地体现数学思想方法“再创造”的特点。以苏教版必修一第七章“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”的教学为例，教师可以从三角函数与一般函数的异同点入手，组织学生研讨二次函数图象变换规律。在此基础上进行类比迁移，引导学生在交流讨论中探索函数y=Asin（ωx+φ）图象变换规律。在不同类型的三角函数图象变换的探究中，渗透分而治之、各个击破的分解策略，帮助学生认识函数y=Asin（ωx+φ）图象变换的本质特征，使学生在深入思考和互动交流中获得对数形结合、类比、特殊化、一般化以及演绎推理、合情推理等思想方法的经历体验和深度理解。

（三）通过整理概括，引领学生内化数学思想方法

每节课、每个单元教学结束都应有总结环节，甚至有的教学内容还需要安排专门的复习课进行总结。一般说来，小结除了对知识点进行梳理外，最重要的一项工作就是有目的、有意识、有重点地对教学内容中蕴含的数学思想方法作系统性、结构化的概括和整理。

课堂教学中，概括数学思想方法一般可有两种教学方式。一是“生成式”，通过知识讲解，生成数学思想方法的内容、规律，即将数学对象共同属性或关系渐次抽取出来；二是“强化式”，把数学思想方法与知识间联系贯穿教学始终，即将阐明表达出来的共性（思想方法）逐步推广到同类的全部对象上去，从而实现从个别特殊化的感知与体验上升到一般性意义上的理性认识或符号表示。以苏教版选择性必修一的“直线与方程”的复习课教学为例，教师可以设计“以数学思想串联知识体系”的教学。一方面，以复习总结知识点为主线，渗透数学抽象化结构思想——串联研究对象（直线）、基本性质（相关角、点、位置关系、距离等）、研究结论及其应用，引领学生通过知识梳理，感悟数学研究的内在规律，体会数学的抽象化结构思想。另一方面，加强数与形的有机结合，渗透数形结合思想——用二元一次方程表示直线、利用方程研究与直线有关性质、通过数与形的结合解决相应问题。显然，后一种教学是在不断强化数形结合思想的渗透和应用，让学生在学习体验中不断获得检验，逐步加深理解。

（四）通过问题解决，助力学生活用数学思想方法

基于问题解决的教学，本质上就是在已知条件与待求结论之间实现联结，据此不断变换、逐步逼近并最终得以“无缝衔接”的过程。在这其中，数学思想方法居于支配地位，是问题解决的观念性成果。它引领着问题解决，并贯穿于数学问题解决的全过程。不妨以2021年高考数学浙江卷第17题的教学为例加以说明。

已知平面向量a，b，c（c≠0）满足｜a｜=1，｜b｜=2，a·b=0，（a-b）·c=0，记平面向量d在a、b方向上的投影分别为x、y，d-a在c方向上的投影为z，求x2+y2+z2的最小值。

设计本题教学，教师一方面可以利用向量的几何特征，引导学生根据向量运算法则和向量投影作图分析，把问题所给条件在数与形之间进行自然转化，让学生从中感悟数形结合的思想；另一方面，可以将已知条件代数化，再局部放缩消元，轉化为关于x的二次函数轻松得解，让学生体会化归的思想；再一方面，可以基于已知条件，引领学生利用整体思想，直接套用柯西不等式，化繁为简，快速求解。

任何陌生问题的解决，或许都需要尝试以及尝试过后的经验作为辅助。然而尝试和经验只能算是技巧，只有高屋建瓴的思想方法才能让我们找到问题解决的突破口。有经验的教师指导学生解题，不会停留在某一具体题目上，也不会限于一招一式，而会通过一道例题的讲解，让学生收获一类问题的解法，即掌握问题解决的通性通法。这些通性通法，就是对问题本质的认识，是对问题解决内在规律性的把握。它们不仅是解题方法，更是贯穿于问题解决过程中的理性思维。它们是数学思想方法的呈现方式与具体表征，理应活学活用。

数学思想方法根植于数学课堂是教学内在规律的体现，更是新时代培养学生理性思维、发展学生核心素养的需要。诚如物理学家爱因斯坦所说，教育是一个人忘光学校所学的一切之后剩下的东西。数学思想方法正是数学教学需要留下的、让每个人铭记于心的好东西。而当下让数学思想方法根植于课堂教学，正是这样一件富有意义、值得追求的创造性工作。

【参考文献】

［1］郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J］.数学教育学报，2019，28（5）：24-32.

［2］教育部考试中心.中国高考评价体系说明（2019年版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］喻平.核心素养指向的数学教学目标设计［J］.数学通报，2021，60（11）：1-5，13.

［4］曾荣.教学设计：两角和与差的余弦——“算两次”思想引领下的探究式教学［J］.数学通讯，2010（12）：11-12.

［5］段志贵，张雯.也谈高中数学形式化及其教学［J］.数学教育学报，2022，31（6）：60-64，92.