Romanian Mathematical Magazine问题1132的加强与逆向

安徽省南陵县城东实验学校 邹守文 (邮编:241300)

1 引言

Romanian Mathematical Magazine问题1132(Proposed by Marin Chirciu-Romania)为:

在△ABC中,求证[1]:

(1)

2 主要结果

定理1在△ABC中,有

(2)

(3)

定理2在△ABC中,有

(4)

(5)

3 定理的证明

3.1 定理1的证明

证明设△ABC的三边长为a,b,c,由(s-a)ra=(s-b)rb=(s-c)rc=sr,有

又由Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2,有

故(2)式成立.

又由Gerretsen不等式s2≤4R2+4Rr+3r2,有

故(3)式成立,从而定理1得证.

3.2 定理2的证明

在[2]中,已证得

(6)

由(3)(5)式,有

故(4)式成立.

因为

结合(2)式,有

故(5)式成立,从而定理2得证.

3 结论的讨论

综合(2)(3)式,有:

(7)

联合(4)(5)式,得到一个不等式:

(8)

除此之外,还能够得到一个恒等式:

(9)