错在哪里

1 福建省莆田第四中学

祁君华 (邮编:351106)

福建省莆田第五中学

祁君英 (邮编:351199)

题(2023年新高考Ⅰ卷,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.

解答错了!错在哪里?

以上是一节习题课上多位学生的错误解法,貌似合情合理,简便自然,其实是顾此失彼,一错到底.由于思维定势,忘记回头检验了(大角对大边),忽略了第(1)问中求出的角C与tanA的值对角B范围的微妙影响,产生了增根.

因此,AB边上的高为AC·sinA=6.

正解2(1)略;

所以AB边上的高为

正解3(1)略;

如图,过点C作CH⊥AB,垂足为H.设CH=3x,AH=x,则BH=5-x.

所以AB边上的高CH=6.

2安徽省安庆市第二中学

王 庆(邮编:246001)

题(2023届“皖南八校”高三第三次大联考8)已知函数f(x)=mex-x-n-1(m,n∈R),若f(x)≥-1对任意的x∈R恒成立,则mn的最大值是( )

A.e-2B.-e-2C.e-1D.-e-1

错解f′(x)=mex-1,当m≤0时,f′(x)<0恒成立,则f(x)单调递减,f(0)=m-n-1,显然f(x)≥-1不恒成立;当m>0,x∈(-∞,-lnm)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-lnm,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)min=f(-lnm)=lnm-n,又f(x)≥-1恒成立,所以lnm-n+1≥0,n≤lnm+1,从而mn≤m(lnm+1),令h(m)=m(lnm+1),所以mn≤h(m),mn≤h(m)min. 由h(m)=m(lnm+1)得h′(m)=lnm+2,h(m)在区间(0,e-2)内单调递减,在区间(e-2,+∞)内单调递增,所以h(m)min=h(e-2)=-e-2,故选B.

解答错了!错在哪里?

错因分析当m=n=1时,f(x)=ex-x-2,因为ex≥x+1恒成立,当且仅当x=0时等号成立,所以ex-x-1≥0,即f(x)=ex-x-2≥-1恒成立,此时mn=1,所以答案都不对.

为什么出错呢? 当m≤f(x)恒成立时,变量m满足的充要条件为m≤f(x)min.本题中m>0时,mn≤m(lnm+1),令h(m)=m(lnm+1),则mn≤h(m)恒成立与mn≤h(m)min不是充要关系.因为不等式左右两边的变量都是m,而m≤f(x)中左右两个变量不相同.本题中mn的最大值即为h(m)的最大值.

正解f′(x)=mex-1,当m≤0时,f′(x)<0恒成立,则f(x)单调递减,又f(0)=m-n-1,显然f(x)≥-1不恒成立;当m>0,x∈(-∞,-lnm)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-lnm,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)min=f(-lnm)=lnm-n,因为f(x)≥-1恒成立,所以lnm-n+1≥0,从而m(lnm+1)≥mn恒成立,令h(m)=m(lnm+1),则mn≤h(x)max.所以h′(m)=lnm+2,h(m)在区间(0,e-2)上单调递减,在区间(e-2,+∞)内单调递增,所以当m→+∞时,h(m)→+∞,所以mn无最大值,故无答案.所以本题是一道无效题.

3福建省莆田第五中学

叶建英(邮编:351100)

解答错了!错在哪里?

很多同学都是这么做的,为什么错了?主要是错解中对cos(α+β)的两个值进行了分类讨论,事实上,此时必须对cos(α+β)的符号进行取舍。

正确解法

注本解法利用y=cosx在(0,π)内的单调性,确定cos(α+β)的符号.

注本解法利用y=cosx以及y=sinx在(0,π)内的单调性,缩小α+β的范围,从而确定cos(α+β)的符号.