同课异构 切磋探究——以“函数的零点与方程的解”为例

赵 博

(山西大学附属中学,山西 太原 030006)

同课异构是一种“直观”的教学研究方式.2022年11月,笔者参加了一次这样的活动,课题是人教A版《普通高中教科书·数学》(必修第一册)第4.5.1节“函数的零点与方程的解”,分别由3位教师执教.

这是一节兼有概念与定理的课型.该课型的教学定位是在概念定理发生发展过程中,把概念定理的抽象理论转化为学生能接受的具体知识,通过知识的演练进一步揭示它的本来面目.通过初中阶段和高中阶段前4章的学习,学生能运用列表、描点、连线画函数图象,知道了一些基本初等函数的图象,有一定的看图识图能力.因此,教学的思路是突出函数的核心地位,通过大量的函数图形,让学生观察,进而提炼概念,归纳定理.

根据《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》建议的教学目标及教材的教学内容,本节课的学习内容依次为:建立“函数零点”的概念;理解3个“等价关系”;学习一个定理(零点存在定理)并体会方程与函数的联系,感悟“函数方程思想与数形结合思想”[1].在教学的实施中,3位教师呈现了不同的教材处理方式和教学理念.现把3节课的教学设计精彩之处记录下来,与广大读者分享和交流.

1 重视节引言的先行组织者作用

本节课是第4章的应用课,这节课的引入是承上启下,因此教师首先回顾之前的知识,让学生明确本章的任务.

下面是教师A的教学片段.

师:前面,我们已经掌握了函数的定义及研究的基本方法,并以指数函数、对数函数、幂函数这3个初等函数为例,从定义、图象和性质这3个角度展开分析,初步熟悉了研究的基本方法.这节课,我们开始学习第4.5节“函数的应用(二)”．这一节我们将要学习什么内容呢?那就是以函数的思想为统领,研究如何用函数这一工具解方程,学会如何建立合适的函数模型,解决日常生活中的一些实际问题．怎样用函数建立数学模型呢?这是我们在后续要研究的内容.今天我们研究函数的应用之一——解方程.解方程我们很熟悉,为什么要研究利用函数解方程?如何利用函数来求方程的根?体现了函数与方程之间怎样的联系呢?我们将逐一去探索.

评注以上引入说明了本节课的整体结构,让学生对新的一课有一个全局的把握,并指出本节课要用到的数学思想方法,让学生在全局观念下去逐一学习,增强了学生学习的针对性.

2 创设合理情境导入,激活学生的思维

教材的编写是在回忆初中阶段已经学习过二次函数的图象与一元二次方程关系的基础上引入函数零点的概念.3位教师上课的班级是普通班,学生对二次函数方面的基础知识掌握不够牢固,在教学中如何处理、如何呈现才能扬长避短,从而降低学习新知识的门槛呢?3位教师对教材内容作了合理的改编,以所教学生现有的知识为出发点,结合学生的实际情况对教材内容进行重组,从复习回顾初中的知识入手,即一元一次方程与一次函数图象的关系,逐步得到函数零点的概念.

下面是教师B的教学片段.

师:我们来看这样一个问题,如图1所示的函数关系式为y=-x+2,这个式子表示什么?

生1:从代数角度看是一次函数,从几何角度看是一条直线.

师:将上式改写成x+y-2=0后呢?

生2:变为等式．但含有两个未知数,就成为二元一次方程．

师(出示PPT):回答准确．请同学们看如下对应关系:函数(一次函数)——图象(一条直线)——方程(二元一次方程).

师:对于y=-x+2,令y=0,得-x+2=0,则x=2．这里的2与上式有何关系?

生3:从代数角度来看,2是方程-x+2=0的根;从几何直观分析,2是函数y=-x+2的图象与x轴交点的横坐标．

师:若令函数值为0,则(2,0)是函数y=-x+2的图象与x轴的交点,2就是相应函数的图象与x轴交点的横坐标,此时把2称为函数的零点．这节课,我们就来探讨这个问题．

评注教材编写的内容是问题生成的一种方式,是否适合所有的学生,这就需要授课教师选择适合学生的授课方式和内容.教师B的授课从初中的旧知识出发,引出了新知识,让学生回忆的问题恰好是函数零点概念的本质,并且由易到难,逐步深入,与学生的认知规律相符.

3 分析等价关系,揭示利用函数解方程的本质

方程f(x)=0有实根⟺函数y=f(x)的图象与x轴有交点⟺函数y=f(x)有零点.这3个等价关系是利用函数解方程的本质所在,是沟通数与形的桥梁．函数y=f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,在数值上等于方程f(x)=0的根[2]．这里要强调从数值上看,它们是等价的.于是给出了解方程的新天地:当方程的解容易求得时,就用代数方法;当方程的解不易求得时,转化为该方程相应的函数的图象与x轴交点的横坐标,由形求数,体现数形结合思想.

下面是教师C的教学片段.

师:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.那么函数f(x)=x2-3x-1,f(x)=x2-2x+1,f(x)=x2-2x+4的零点分别是什么?

生5:函数f(x)=x2-2x+1的零点是1.

生6:函数f(x)=x2-2x+4没有零点.

师:那么,零点是不是函数y=f(x)的图象与x轴的交点呢?

(学生讨论、思考.)

生7:零点不是y=f(x)的图象与x轴的交点,而是y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,也是方程f(x)=0的根.

师:那么函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根以及函数y=f(x)的图象之间有怎样的联系呢?

教师C引导学生思考并帮助学生分析得到:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,亦即方程f(x)=0有实根⟺函数y=f(x)的图象与x轴有交点⟺函数有零点.

评注教师C从零点定义出发,找出具体函数的零点,通过找到的零点,是数而不是点,进一步引导学生发现图象与x轴交点的横坐标就是零点.一环套一环,帮助学生分析得到零点的意义,让学生体会利用函数解方程的本质所在,也为零点存在定理铺平了道路.

4 丰富典型例证,促进学生探索发现

探索发现零点存在定理是本节课的一个难点.为此首先设置具体问题,接着给出大量图示,引导学生从不同角度审视,获得猜想.

下面是教师A的教学片段.

练习1求下列函数的零点:

1)f(x)=2x+4;

2)f(x)=x2+x-2.

师:若把第2)小题中的2换成3,则函数f(x)=x2+x-3是否有零点?大家有什么办法解决这个问题?

生8:利用一元二次方程根的判别式定理进行判断.

生9:解方程x2+x-3=0,求出方程的两个根x1,x2.

生10:利用列表、描点、连线画出函数的图象,观察图象.

师:同学们想出多种方法解决这个问题,都是正确的.现在若把第2)小题中的x2换成3x,则得函数f(x)=3x+x-3是否有零点?

师:用大家之前想到的方法能给出方程3x+x-3=0的解吗?

(全体学生陷入了思考.)

师:前面我们找到了“3个等价关系”,这是方程转化为函数的工具,能否作为解决问题的办法?

生12:作出函数图象.

(学生小组讨论.)

师:哪个小组有初步的研究结果?

生13:取6个值(如表1所示),在同一坐标系中描出当x=-1,0,…时相应的点观察发现,函数与x轴有交点,根据等价关系,这就是函数的零点.还能发现零点所在的区间.

表1 y=3x+x-3的取值

师:用几何画板软件画出函数图象验证,如图2所示为函数f(x)=3x+x-3的图象.据此观察可知:函数有一个零点,在区间(0,1)内．

图2

图3

师:同学们的讨论结果完全正确．这个有零点的区间,函数值具有怎样的特征?

评注通过具体的问题,设计台阶式的问题,逐步让学生体会定理的生成过程.本问题用代数的方法求出方程的实数根,就得到了函数的零点,让学生体会零点与方程的关系[3].接下来利用数形结合的思想,引导学生用画图的方法,画出函数y=f(x)的图象,找到零点,这样也可以解决问题.

练习2分析函数y=f(x)的图象并回答问题,总结函数在一个区间内有零点的条件是什么?

1)f(x1)f(x2)______0,在区间(x1,x2)内______(有或无)零点;

2)f(x2)f(x3)______0,在区间(x2,x3)内______(有或无)零点;

3)f(x3)f(x4)______0,在区间(x3,x4)内______(有或无)零点;

完成练习2,并得出结论.

生15:函数f(x)在[a,b]上连续,且两端点函数值异号(f(a)>0且f(b)<0或f(a)<0且f(b)>0),则f(x)在(a,b)内有零点．

于是可得零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点．

师:现在将定理中,两端点函数值“异号”改成“同号”,即:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且f(a)>0,f(b)>0(或f(a)<0,f(b)<0),则函数y=f(x)在区间(a,b)内仍有零点吗?

生16:不一定,因为根据现有条件,判断不了函数图象是否与x轴相交．

评注通过具体案例,教师C让学生动手操作感知,并发动学生找例子来验证;对于探寻定理的条件和结论,教师C通过设计逐层深入的问题,逐个击破定理的关键点,最终学生自主地得到该定理.

5 通过辨析,深化对定理的理解

通过定理的应用,纠正错误思维,深刻理解定理的内涵和外延.零点存在定理只解决了零点存在的充分性,且该命题不可逆,无法判定唯一性.利用学生现有的知识,可以采取纠错法来训练学生的思维.

下面是教师B的教学片段,通过判断辨析达到深入学习知识的目的.

练习1

1)如果函数y=f(x)在区间[m,n]上仅满足f(m)<0且f(n)>0,那么函数y=f(x)在区间(m,n)上存在零点吗?(反例如图4所示.)

图4 图5

2)如果函数y=f(x)在区间[m,n]上仅满足f(m)>0且f(n)<0,那么函数y=f(x)在区间(m,n)上存在零点吗?(反例如图5所示.)

3)如果函数y=f(x)在区间[m,n]上连续且满足f(m)f(n)>0,那么函数y=f(x)区间(m,n)上一定没有零点吗?(反例如图6所示.)

图6 图7

4)如果函数y=f(x)在区间[m,n]上连续且满足f(m)f(n)<0,那么函数y=f(x)区间(m,n)上一定有且只有一个零点吗?(反例如图7所示.)

接下来的目标检测又进一步强化了对定理的理解.目标检测如下:

练习2

1)判断下列说法正确与否:

①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0;

②函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,若f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内无零点．

2)(教材习题)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如表2所示的对应关系,指出函数f(x)存在零点的区间?

表2 函数f(x)的对应关系

3)下列函数在相应区间内是否存在零点?

①f(x)=4x-x2,其中x∈[-1,0];

②f(x)=-x3-x+3,其中x∈[1,2].

评注在思考这些辨析题目的过程中,学生结合举出的反例,不断纠错,逐步建立完善的知识结构.典型习题的训练解决了学生“上课听得懂,作业不会做”的问题.

6 注重知识的前后联系,从整体把握授课内容

在教材整体的把握上,教师B和教师C的设计体现了“函数的零点与方程的解”这节内容教材的设计意图,那就是通过本节课的学习,为二分法求根做前期理论准备,使学生了解求方程根的“逐步逼近”的依据.

下面是教师C的教学片段.

师:对于函数f(x)=3x+x-3,它的零点个数还可以怎么确定?

生17:在同一坐标系内作函数y=3x与y=-x+3的图象来确定.由图8知,函数f(x)=3x+x-3有一个零点．

图8

师:说说你的想法?

生18:函数y=3x与函数y=-x+3图象交点的横坐标,是方程3x+x-3=0的解,也就是函数f(x)=3x+x-3的零点．

师:从图象上能看出这个零点所在的区间吗?

生19:(0,1),(0.5,1),(0.7,0.8)等．

师:这种确定零点个数的方法,用到了函数图象,这种数形结合思想,也是解决问题的方法之一.对于得到的零点所在区间,后续学习中将进一步研究:如何进一步缩小这个区间的范围,如何求出这个零点的近似值?这些问题将在下次课中探讨(为下节课学习“用二分法求方程的近似解”进行铺垫).

评注教学设计就是体现教师引导学生逐步分析、理解知识的过程.教师C设计的结尾承上启下,既让学生学到了求函数零点的新方法,又为下一节课的教学内容做铺垫,引发学生的求知欲,让学生期待数学的学习.