数学一般观念教学的内涵、策略与案例

黄晖明

(集美区灌口中学,福建 厦门 361023)

数学知识是一个系统化的逻辑体系.新教材的编排具有科学、严密、整体的逻辑结构,用于统领教材编排的逻辑便是一般观念,它是单元整合的依据和标准.

1 数学一般观念的内涵

一般观念是数学大概念的一种表现形式,它是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括,是对数学对象的定义方式以及几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答,是研究数学对象的方法论,对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用[1].

一般观念可以根据其所在课程、单元、课时位置分层级;根据教学功能不同,还可以分为指向内容“是什么”的一般观念,如几何图形性质是什么(即图形的形状特征、大小度量及位置关系)等;指向内容“怎么学”的一般观念,如“借助单位圆研究三角函数”“利用坐标法研究几何对象”“通过运算研究数列问题”“研究几何图形的性质可由形到数(通过观察画出的图象,得到函数一些性质,再通过代数加以验证)或由数到形(进行代数变换,将解析式的某些特征翻译为图象性质)”等;指向内容所蕴涵数学基本思想的一般观念,如“三角函数性质是圆几何性质(主要是对称性)的直接反映”“向量是自由的,是沟通几何与代数的桥梁”“空间问题平面化”“函数思想统领方程、不等式”“导数是研究函数性质的工具”等.由上可知,一般观念具有数学基本思想和具体研究策略双重属性,反映的是专家的一种思维方式,能将离散的知识结构化、内隐的方法系统化,能统领教学内容的组织,引领课堂教学的有序展开.

一般观念是对教材知识的高度凝练,它不仅要让教师具备专家思维,同时也要让学生具备学者思维.通过教材中一般观念的提取与理解,有助于教师丰富前见,扩大教材理解的视域.众多的一般观念就构成了数学教学的说明书、指导手册,帮助教师整体地理解教材思想意图,把握教学内容价值.

2 一般观念教学的优势

一般观念教学是指在一般观念的思维引领下展开的教学设计与课堂实践.核心素养形成的前提是具备一般观念,一般观念教学是以培养学生解决真实问题的学者思维为核心目标的教学.具体就是先将散布在教材中“具有关联性”的知识按“是什么”的一般观念组织在一起,形成单元教学内容;然后在“怎么学”“数学基本思想方法”的一般观念指导下确定教学思路、设计教学流程、开展教学活动.

“关联”和“迁移”是一般观念教学的基本特征,也是一般观念教学实践的优势所在.一般观念统摄和组织教学内容时强调知识的内在逻辑性,突出一般观念的串联作用,根据关联性将“点”状的教学内容迭代累积连接成知识单元“线”,单元与单元之间的横向关联就编织成课程“网”,再加上内隐性的方法关联共同结成知识的认知“网”,下沉到课堂教学中,可以使课时与课时之间形成相互关联、逻辑连贯的整体;一般观念教学的实践是在高通路迁移(当新任务与原任务不相似时)的机制(具体—抽象—具体)中,从很多具体案例中抽象出一个原理,再用这个原理指导下一次任务的完成,在知识、方法的迁移过程中反复体验一般观念对问题解决的思维引领作用,形成反映专家思维的认知结构,帮助学生构建出一种解决相关问题的思维支架,实现自主解决现实问题的最终目标.

3 数学一般观念教学的实践策略

一般观念具有内隐性,在具体对象间的串联作用以及在解决问题中的思维引领作用并不显而易见,因此一般观念的培养不可能一蹴而就,而是要经历从接触到熟悉、领悟再到自觉运用的“生长”过程.一般观念教学主要涉及一般观念的提取、生成和驱动这3个关键环节.

3.1 内容深度解析,提炼一般观念

从内容本身所处的知识模块及所蕴涵的基本数学思想方法分析,提炼出一般观念,是一般观念教学的前提.以一元线性回归模型建构为例,其内容本身描述的是两个随机变量之间关系的最简单的回归模型,包含建模(模型的选择)、解模(模型参数的求解)、验模(检验和完善模型)、用模(分析和解决问题)的过程,提炼出“数学建模”单元的一般观念,并在它的引领下组织单元内容;在研究随机问题的重要思想(将一个随机变量表示成一个主要的确定性的量与一个次要的随机量之和,只要控制次要的随机量在一定的范围之内,那么随机问题就可以通过研究确定性问题得到理想的结果)引导下建立数学模型,这便是课时一般观念“研究随机问题的思想”;在寻找最合适的直线时,用到的是最小二乘法的数学优化技术(原理是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配),这也是课时一般观念.教师可在上述“是什么”一般观念的引领下组织本单元教学内容并安排3个课时教学内容(一元线性回归模型、一元线性回归模型参数的最小二乘估计、一元线性回归模型的应用).

3.2 挑战性学习任务,生成一般观念

专家思维常常镶嵌在具体情境之中,层次越高的一般观念需要更多的具体案例来支撑.“具体—抽象—具体”是一般观念的一种常用生成机制,而挑战性学习任务是承载一般观念生成的重要依托.

挑战性学习任务的设置应基于“两个过程的合理性”,即知识发展过程的合理性、学生认知过程的合理性.为什么要假设E(e)=0,D(e)=σ2?一元线性回归模型是怎么想到的?用什么量来定量描述所作出的直线与各散点整体上的接近程度?什么样的量可以科学合理地用来表示散点到直线的“距离”?上述问题是学生学习过程中的挑战性难题,主要还是因为学生在研究方法、思想方法层面知识准备不足导致的.在“怎么学”“数学基本思想方法”一般观念思维引领下,考量“两个过程合理性”后设计螺旋上升的挑战性学习任务:寻找教材案例中影响儿子身高的其他因素(理解随机误差e)、利用图形探寻随机误差e的特征(E(e)=0,D(e)=σ2)、构建模型刻画两个具有正线性相关关系的随机变量;构造统计量来定量描述所作出的直线与各散点整体上的接近程度,寻找可以科学合理地用来表示散点到直线的“距离”的量,对构建的模型进行拟合效果分析.

3.3 问题链“铺路”,渗透一般观念

问题链是一般观念的“门窗”,为一般观念的渗透“铺路”,并提供脉络化探索路径.数学问题链是根据教学内容及所蕴含的思维脉络,立足学生认知水平而设计的具有系统性、层次性、结构化的问题序列.它由横向的主干问题及纵向的追问组成,以整体到局部的结构化思想为指导.教师应融合学习任务及所蕴含的思维主线而设置主干问题,搭建问题链整体框架,构建思维层次;同时细化局部,设计追问,延展思维深度.主干问题是驱动数学知识发生、发展过程中的核心问题;追问是遵循学生认知过程、联结主干问题间的思维跨度、指引学生深入思考的重要问题[2].

4 数学一般观念教学的典型案例

以一元线性回归模型建构(2个课时)教学环节及问题链设计为例.

4.1 第1课时教学环节

环节1创设情境,提出问题.

主干问题1根据成对样本数据的散点图和样本相关系数r≈0.886,可以推断父亲身高和儿子身高两个变量是正线性相关的关系,且相关程度较高.如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样,通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的关系,那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的关系.这里能用函数模型刻画吗?

追问1由于存在其他因素,使得儿子身高和父亲身高有关系但不是函数关系.请你说说影响儿子身高的其他因素是什么?

追问2如何理解随机误差对儿子身高的影响?

师生活动教师引导学生发现:如果用x表示父亲的身高,Y表示儿子的身高,用e表示各种其他随机因素影响之和,假设没有随机误差,那么儿子身高只受父亲身高影响,则

Y=bx+a.

事实上,相关系数r≈0.886,从而

Y≈bx+a,

也可以记作Y=bx+a+e.

追问3随机误差e有哪些特征?

师生活动教师引导学生总结e是一个随机变量.如图1,受随机误差影响,在理想状态下,散点会均匀分布在直线两侧,不会离直线越来越远,故要使问题简洁可以假设随机误差e的均值为0,方差(衡量散点偏离直线的程度)是与父亲身高无关的定值σ2.

图1

环节2建立模型,加深理解.

主干问题2能否考虑到这些随机因素的作用,用类似于函数的表达式表达儿子身高与父亲身高的关系呢?

师生活动教师引导学生在“研究随机问题的思想”思维引导下,结合函数解析式的表达方式写出

追问4已知父亲身高为xi,能用一元线性回归模型确定儿子身高Y吗?

4.2 第2课时教学环节

环节1创设情境,探究“最好”.

主干问题1利用散点图,你能找到一条“最好”的直线,使得散点在整体上与这条直线最接近吗?

追问1你能选择一个衡量标准来定量地刻画你选择的直线最“接近”吗?有什么经验可以借鉴吗?

师生活动学生容易想到用点到直线的距离公式来刻画接近程度,教师引导学生分析确定想法是有道理的,但是比较难操作(涉及含绝对值和根式的运算),引导学生回顾在寻找双曲线的渐近线过程中,在刻画“距离”问题时使用两点“竖直距离”来表示,即对于n对样本数据,由yi=bxi+a+ei(其中i=1,2,3,…,n),得

|yi-(bxi+a)|=|ei|.

显然|ei|越小,表示点(xi,yi)与点(xi,bxi+a)的“距离”越小,即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.因此,可以用这n个竖直距离之和

来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”.在实际应用中,因为绝对值计算不方便,通常用竖直距离的平方和

(1)

环节2推导方程,求解模型.

主干问题2我们取Q达到最小时的a,b的值,作为截距和斜率的估计值,如何利用成对样本数据求Q取最小值时的a,b?

师生活动教师引导学生分析式(1),其中(xi,yi)是已知的成对样本数据,Q由a和b决定,即它是a和b的函数,问题的本质是求a和b的值,使Q达到最小.

1)根据模型,如果一位父亲的身高为176 cm,预测他儿子长大成人后的身高(保留整数).

3)根据模型,由你父亲的身高估计你的身高,预测数据与观测数据是否符合?若不符合,请说明理由.

环节3残差分析,检验和完善模型.

师生活动根据最小二乘原理,如果残差比较稳定,残差绝对值比较小,那么说明回归模型拟合的精度比较高.

追问3如何观测残差的情况呢?

师生活动从残差图(如图2)可以看出,残差有正有负,残差点比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元回归模型的假定,是均值为0、残差为σ2的响应变量的观测值(教师再展示教材中4组不同类型残差图加以区分).因此,通过观察残差图可以直观判断样本数据是否满足一元线性回归模型的假设,从而判断回归模型拟合的有效性.

图2

设计意图“数学建模”一般观念引领下第二课时主要围绕“确定参数—求解模型—检验和完善模型”确定教学流程,融合主要学习任务设计3个主干问题;在寻找统计量刻画“距离”问题时,学生在学习双曲线渐近线时有经验,设计追问引导学生回顾,可以为课时一般观念“最小二乘法”搭建思维阶梯;最后的模型检验阶段,通过展示不同类型残差图更为直观地说明模型拟合效果,帮助学生再次巩固模型假设原因(E(e)=0,D(e)=σ2)的直观解释.

一般观念让教师进行教学设计时有逻辑可循,为课堂教学提供整体设计思路.一般观念教学具有教学过程自然化、知识结构化、方法体系化的优势.从知识点教学向一般观念教学的转型,是呼应课堂教学改革的尝试,有利于教师科学、高效地开展课堂教学实践.