关于函数解析式构建考查的探究

赵卫东

【摘要】函数解析式问题的构建考查方式较多，相交构建、平移变换、对称变换是其中较为特殊的三种.探究构建方式，总结知识规律是教学的重点.本文以抛物线问题为例，结合实例具体探究.

【关键词】函数解析式;初中数学;解题

求函数解析是初中数学的基本问题，也是需要重点掌握的知识.函数解析式问题的考查方式较多，实际考查时常从综合视角进行命题构建，涉及众多的知识考点.下面以抛物线为例，探究其中较为特殊的三种方式.

构建考查一 相交构建

相交构建考查，即设定直线、曲线、坐标轴之间的交点，探究函数图象的解析式.三者之间可以形成多种相交形式，解析时可先确定其交点，再采用待定系数法来推导.

例1 已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，与坐标y轴交于点C，且满足BC=5，则该二次函数的解析式为.

思路分析 题干给出抛物线过点A和B的坐标，并设定与y轴的交点C，满足BC=5，求其解析式需要求出点C的坐标.解析时需要求出点C的坐标，关注两点：一是点A和B均位于坐标轴y轴上；二是点C相对于x轴的位置未知，需要分类讨论，有两种情形.

过程解析 已知抛物线过A（1，0）和B（4，0），则可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4）.抛物线交y轴于点C，且BC=5，则点C可位于x轴上方，也可位于其下方.

情形1 当点C可位于x轴的上方时，其坐标为（0，3），

可求得此时抛物线的解析式为

情形2 当点C可位于x轴的下方时，其坐标为（0，-3），

可求得此时抛物线的解析式为

综上可知，二次函数的解析式为

评析 上述抛物线解析式问题中，构建了图象与坐标轴相交情形，属于相交构建考查.问题解析需要利用线段条件求交点坐标，再利用待定系数法求函数解析式.探究学习时应关注抛物线与x轴相交于点x1，0，x2，0情形时其解析式的设法，可将其直接设为y=ax－x1x－x2.

構建考查二 平移变换

通过平移变换构建来考查二次函数解析式，其知识重点是二次函数的平移规律，包括两点：一是坐标系中二次函数解析式与平移之间的关联；二是函数图象平移的“不变”规律，即图象形状、大小和开口方向不变，a的值不变.

例2 如图1所示，已知抛物线y=x2+2x-3与x轴正半轴交于A点，M（-2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移2个单位，则平移后的解析式为.

思路分析 本题目是关于抛物线平移交换的解析式推导问题，解析突破需分两步进行：第一步，推导顶点P的坐标；第二步，分析平移过程，确定平移后点P的坐标，求解析式.

过程解析  令y=0，则x2+2x-3=0，解得

x1=-3，x2=1，

可得A点坐标为（1，0）.

将x=-2代入y=x2+2x-3中，

可得y=-3，则M点坐标为（-2，-3）.

y=x2+2x-3=（x+1）2-4，则P点坐标为（-1，-4）.

作MH⊥x轴于H，由于AH=1-（-2）=3，MH=3，

可推知△AMH为等腰直角三角形，

则∠OAD=45°，

进而可得△AOD为等腰直角三角形，

所以OA=OD=1，可求得D（0，-1），

点P（-1，-4）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的点的坐标为（-2，-5），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+4x-1.

评析 上述抛物线解析式问题中，以平移交换为背景考查解析式的平移及平移特性.问题解析要以顶点P的平移转换为切入点，把握平移过程，总结平移规律.对于抛物线的平移问题，可将其解析式转化为顶点式，利用平移与解析式关联可直接推导解析式.

构建考查三 对称变换

对称变换构建考查函数解析式，其核心知识是对称转换的性质规律.对于抛物线，对称变换过程中其形状不会发生变换，则a保持不变.求对称变换后的抛物线函数解析式，可从其顶点坐标及开口方向入手，逐步推导.

思路分析 可先求出点P的坐标，再解方程，求出点B的坐标，然后根据中心对称求出点M的坐标.最后根据对称性，利用顶点式形式写出C3的解析式即可.

过程解析 由抛物线解析式可知顶点P的坐标为（-2，-5），利用交点法可求得点B的坐标为（1，0）.

由于点P、M关于点B对称，所以点M的坐标为（4，5）.

已知抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，抛物线C2向右平移得到C3，

所以可求得抛物线C3的解析式为

结语

总之，上述结合实例探究了抛物线求解析式的三种特殊方式，其中相交构建主要考查直线与曲线位置关系及交点法，平移变换、对称变换则主要考查图象运动规律.探究解析时，要把握三种问题的构建形式，总结知识规律，构建解题思路，形成解题策略.