巧用相似三角形

马学斌 龙宗云

【摘要】平行线分段成比例、相似三角形的判定和性质在解决平面几何问题中应用十分广泛，是历年中考数学的必考内容.因此，相似三角形的应用技巧值得我们研究.

【关键词】相似三角形；平行线分线段；初中数学

相似三角形是一种重要的几何模型，它是全等三角形的推广，当两个相似三角形的相似比为1∶1时，这两个三角形就是全等三角形.相似三角形主要研究两个三角形中的边、角关系，是很重要的一个知识点，主要考点有：相似三角形的判定和性质、求线段的长度、角、线段的比例、位似图的性质等，相似三角形的性质是比例性质的再现和应用，借助相似三角形考查平行线分线段成比例定理及其推论.在解决相似三角形问题中恰当运用一些小技巧可以化繁为简，事半功倍，下面举例说明.

1 转化法

例1 （2022·浙江舟山）如图1，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连接CE，则CE的长为（  ）

分析 如图2，过点E作EF⊥BC，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，根据等腰直角三角形的性质可得BE=22，∠BED=45°，进而得到EG=AG=22AE=22，BG=322，AB=BC=5，再证得△BEF∽△ABG，可得BF=255，EF=655，CF=755，然后根据勾股定理得CE=EF2+CF2=17．故选（D）.

点睛 此题利用等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，求线段CE的长，熟练掌握并灵活运用相似三角形和等腰直角三角形的判定和性质，是解决本题的第一要素．寻找平行线，转化平行线分段成比例问题是解决本题的重要方法，需要结合待求线段在图形中的位置，思考平行线的构图，巧作平行线.

2 用等线段替换

例2 （2021·江苏扬州）如图3，在△ABC中，AC=BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，若CF=4，BF=3，且DE=2EF，则EF的长为．

点睛 此题以矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识为依托，利用相似三角形的性质求得EF的长.

3 三点定形法

例3 如图4所示，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，点E是AC的中点，ED、AB的延長线交于点F，求证：FB·AD=FD·DB.

点睛 将待证的乘积式转化为比例式，需要运用相似三角形的判定和性质定理证明四条线段成比例，如果图形比较复杂，不易寻得哪两个三角形相似，“三点定形法”是一个寻找相似三角形的重要方法，“三点定形法”通常包括：横向三点定形法、纵向三点定形法、变用三点定型法. 如果通过三点定型法找不到相似三角形，就将其中某个积变成相等的另一个积，再寻找相似三角形.当然，寻找相似三角形的思路还有很多，三点定形法只是其中一种，还有基本图形定形法和作辅助线的方法等，具体用什么方法需要因题而异.

4 “跳眼法”

例4 （2022·江苏盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，步骤如下：

第一步：水平举起右臂，大拇指竖直向上，大臂与身体垂直；

第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；

第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；

第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．

如图5是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（  ）

（A）40米. （B）60米. （C）80米. （D）100米.

分析 参照题目中所给的“跳眼法”估测出距离即可．由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的10倍．观察图形，横向距离大约是汽车长度的2倍，为8米，所以汽车到观测点的距离约为80米，故选（C）．

点睛 本题主要考查了测量距离，正确理解“跳眼法”测物距是解答本题的关键．