立足核心素养实现初高中数学学习有效衔接的探究

常慎义

摘   要：新课标的育人目标就是立德树人，提升学生的核心素养。立足核心素养，开展初高中数学学习的有效衔接研究是立德树人的重要環节。从初中到高中，数学教学既提升了学生数学语言的抽象程度，从感性到理性加深了数学思维的广度与深度，又从难度和灵活度上提高了对学生数学运算思维能力的要求，同时还对其学习方式和学习效率有了更高的要求。学习过程是不断突破自我、提升自我的过程，因此当学习遇到障碍或者瓶颈时，一定要在学习认知、行为方式上做深刻反思和改变，只有这样才能不断突破不断进步。

关键词：中学数学;立德树人;核心素养;数学语言;数学思维

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2023）26-0004-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出核心素养的构成主要是会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。《普通高中数学课程标准（2020年修订版）》明确提出数学学科的核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。因此立足核心素养，开展初高中数学学习的有效衔接研究是非常有必要的。

一、提升数学语言的抽象程度

会用数学眼光观察世界，就是对数学抽象素养和数学建模素养的培养。数学教育就是将实际问题抽象概括为数学语言或者建立数学模型，进而运用逻辑推理、数学运算或者数据分析等数学思维去表达处理。初中数学教学更直观、形象、通俗，即通过浅显的方式表述，对深度学习的要求不高。而高一数学则出现了集合语言、函数语言、逻辑语言等抽象表达，这给高一学生的数学学习带来了很大的跨度，在认知和知识的接受程度上也有了一定的障碍。解决这一问题的办法：一是通过直观事例，二是追根溯源，对接初中数学原有的知识。比如已知函数f（2x+1）的定义域为x∣x≥1，求f（3-x）的定义域。教材明确“自变量的取值范围叫做函数的定义域”，当问f（2x+1）的自变量是什么？很多学生会回答2x+1，如果问f（2x+1）=的自变量是什么？还是有部分学生回答2x+1，有部分学生回答x，但是如果问函数y=的自变量是什么？几乎所有学生都能回答正确是x，通过具体例子，可以引导学生更好地深度学习。再比如函数的奇偶性，普通高中教科书数学必修第一册（2019人教A版），通过观察函数f（x）=x2和 g（x）=2-x图像和数学运算，然后通过数学直观和不完全归纳，可得出偶函数的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果  x∈D，都有

-x∈D且f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。偶函数的图像关于y轴对称，但是怎么更好地理解“函数f（x）满足表达式f（-x）=f（x），f（x）图像就关于y轴对称呢？一般的轴对称表达式又与偶函数有什么关联呢？”是个难题。如果我们能将其与初中数学七年级下册（北师大版）轴对称的知识联系起来，并构造两个点A（x，f（x））和B（-x，f（-x）），AB两点横坐标的和是常数0，纵坐标相等，所以AB两点关于y轴对称，又因为  x∈D，所以函数f（x）的图像就关于y轴对称;如果A（a+x，f（a+x）），B（a-x，f（a-x）），那么AB两点关于x=a对称，又因为  x∈D，所以如果函数f（x）满足表达式f（a+x）=f（a-x），那么该函数图像就关于x=a轴对称。这样初高中的知识就建立了联系，学生对其的理解也会更深刻一些，也更容易接受新知识。

二、加深数学思维的广度与深度

会用数学思维思考世界，就是对逻辑推理素养、数学运算素养、直观想象素养的培养。立体几何作为平面几何的延续，在解释立体几何问题时，如果能够和平面几何的知识建立联系，学生的理解会更通透，从二维几何到三维几何的过渡也会更自然，更容易让学生接受。比如对立体几何中棱柱的侧面是平行四边形这一问题的解释，普通高中教科书数学必修第二册（2019人教A版）对棱柱的定义是：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。而多面体的定义是：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体就叫做多面体。初中平行线的定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交直线。在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行。由多面体的定义可知侧面ABB′A′是平面图形，由棱柱定义可知AA′∥BB′，且AB与A′B′没有公共点，再结合初中平行线的定义可知AB∥A′B′，所以棱柱的侧面是平行四边形。再比如，如下图所示，该几何体是由两个全等的直四棱柱相嵌而成的，且前后、左右、上下均对称，两个四棱柱的侧棱互相垂直，已知该几何体外接球的体积为8π，四棱柱的底面是正方形，且侧棱长为4，则两个直四棱柱公共部分几何体的内切球体积为（   ）

A.π  B.π   C.π   D.π

本题典型考查学生的直观想象能力。公共部分内切球的直径就是直四棱柱底面正方形的边长，其对学生思维广度和深度的要求是非常高的。

三、提高对学生数学运算思维能力的要求

会用数学思维思考世界，就包含对数学运算素养的培养。《普通高中数学课程标准（2020年修订版）》明确数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等。初中对学生数学运算思维和能力的要求比较低，更多地是要求其会运用算理和法则进行基本运算。高中则从难度和灵活度上提高了对学生数学运算思维能力的要求，尤其对数学运算速度和数学运算技巧有了更高的要求，即学生能够有效借助数学运算解决问题。比如因式分解，初中对因式分解的要求主要是提公因式法、公式法，而如果掌握了十字相乘法，甚至因式分解定理、试根法、多项式相除法、双十字相乘法，在高中数学中处理相关题目，速度会更快，解决问题的方法也更灵活。例如，2020年全国新高考1卷（山东）第22题第（2）小问的解答中，由

（k2+1）+（km-k-2）-+（m-1）2+4=0

得到4k2+8km+3m2-2m-1=0，经化简整理可得（2k+3m+1）（2k+m-1）=0.

但如果采用以下方法则更容易因式分解。

方法一：把4k2+8km+3m2-2m-1=0看作关于k的二次多项式，再用十字相乘法因式分解：

2k            3m+1

2k            m-1

得到（2k+3m+1）（2k+m-1）=0.

方法二：用双十字相乘法：

2k           3m            1

2k            m            -1

得到（2k+3m+1）（2k+m-1）=0.

总之，想要适应高中数学学习中数学运算的要求，除了要在高中学习过程中不断提升数学运算思维和能力外，还要将初中的知识和一些运算方法做一些拓展和深度学习，这是立足数学运算素养，做好初高中数学学习有效衔接的重要一环。

四、对学习方式和学习效率有更高要求

初高中衔接的重要一环就是学习行为方式的转变与学习效率的提高。有许多高一新生，初中数学成绩并不差甚至是比较优秀的，但进入高中学习后，数学成绩却一落千丈，究其原因主要是不适应高中学习节奏，学习方式没有及时转变，学习效率比较低等导致的。

对此，首先应迅速提升学习节奏，深度学习所学内容。初中的学习节奏慢，对知识内容理解的深度要求比较低，因此应用数学知识解决问题的难度也比较低。而高中则相反，相对于初中数学学习来说，其学习节奏快很多，对知识内容理解的深度也比较高，尤其是概念的抽象性，应用数学知识解决问题也比较灵活，难度也比较大。因此高中数学学习更加注重知识背景、知识生成的过程，即知识是什么，知识怎么用。只有重视数学知识在解决问题中的工具作用，才能更好地运用知识解决问题。

其次，高中生要不断提高自学能力。初中生的预习，往往是看看课本，了解下一节要讲什么内容。而高中生则要有自学意识，并不断提高自学能力。即通过静心阅读教材和学习资料，提高阅读理解能力进而提升审题能力。同时通过做一部分同步练习，检测自己对教材的理解和掌握情况，以找准本节课的难点、疑惑点，如此可为课堂听课做好充分的课前准备，并提升课堂学习效率。

再次，改变纠错方式，纠错关键看的是纠错的效率和效果。初中生往往很认真地把错题的原题和解析整理到错题本上，甚至用彩笔圈圈点点，很规范，也很美观，这是中小学学习习惯的培养。但经调查却发现，很多学生的错题本一学期没有翻看几次，甚至整理的过程也有很多抄课堂笔记或者记忆的成分，这种学习方式适應节奏慢的初中学习，即纠错的效率比较低。高中用“错题重做”的方法，纠错效率会更高。即一些错题，感觉听懂了，会了，就要在第二天或者过几天拿出来，当作一道新题目，从题目条件联系相关知识重新审题，然后独立、迅速解决这一问题，做后还需要做进一步研究、总结，以提升理解的深度，甚至举一反三，最后过几天再重新做一次，以真正纠正错误的思考习惯。如此既可提升学生对相关知识的认识和理解程度，又可帮助学生体会知识的应用，沉淀学习的活动经验。