对一道双变量最值题解法的多视角探究

王恩普

(江苏省淮阴中学教育集团淮安市新淮高级中学,江苏 淮安 223001)

题目已知实数x,y满足2x2+4xy+5y2=1,则x2+y2的最小值为____.

此题属于一道涉及双变量类型的最值问题,视角众多,既能够考查学生分析问题的能力[1],又可以考查学生逻辑推理、数学运算等能力.

1 解法探究

角度1 函数法.

解法1 由题知

令f′(t)=0,得

当t<-2时,f′(t)>0,f(t)单调递增;

又当t<-2时,

而4t2-4t+1=(2t-1)2>0,

2t2+4t+5=2(t+1)2+3>0,

评注本解法主要是结合条件与结论构造齐次式,再进一步通过比值代换,把双变量问题转化成单变量,进而通过函数与导数来解决.

解法2由2x2+4xy+5y2=1,知

5y2+4xy+2x2-1=0.

将其看成关于y的方程,由方程的有解性知

评注尽管本解法相对比较复杂,但其本身也是将双变量转化为单变量,只是相比较而言,形式较为丑陋,并且用x表示y的过程中出现的“±”用绝对值来处理,避免了进一步讨论,但是此时出现了不等关系,最后给予检验即可.

解法3构造拉格朗日函数:

L(x,y,λ)=x2+y2+λ(2x2+4xy+5y2-1).

分别对x,y,λ求导,得

评注针对多变量的最值问题,拉格朗日乘数法主要是由结论和条件建立拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y),然后通过Lx=0,Ly=0,Lλ=0解出极值点,进而求出最值.

解法4 由最小值的定义知:

如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的最小值.

设x2+y2的最小值为λ,即有x2+y2≥λ,且等号可以成立.

因此有x2+y2≥λ(2x2+4xy+5y2).

即(1-2λ)x2-4λxy+(1-5λ)y2≥0.

要使得上式恒成立,且等号成立,则有

评注借助于函数最值的定义求最值在高中数学中运用广泛[2],其中基本不等式求最值以及放缩法求最值时,都是要求建立起的不等关系一边是常数,同时要保证等号条件成立.

角度2 不等式法.

解法5 由基本不等式,知

2x2+4xy+5y2≤2x2+(2x)2+y2+5y2,

当且仅当2x=y时取等号,则有1≤6(x2+y2).

解法6由条件知

1=2x2+4xy+5y2=x2+y2+(x+2y)2.

由柯西不等式,知

(x+2y)2≤(12+22)(x2+y2),

当且仅当2x=y时取等号,

即有1-(x2+y2)≤5(x2+y2).

评注本解法巧妙地把条件表示成结论与完全平方的形式,借助于柯西不等式构造出关于x2+y2整体的不等关系,从而求出最值.

角度3 方程.

解法7 令t(x2+y2)=1,由题知t>0.

由2x2+4xy+5y2=1知

2x2+4xy+5y2=tx2+ty2.

即(2-t)x2+4xy+(5-t)y2=0.

此时,若t=2时,显然方程有解;

若t≠2时,由于关于x的方程有解,则有Δ=16y2-4(2-t)(5-t)y2≥0对任意的y∈R恒成立[3].

此时有4-(2-t)(5-t)≥0.

即t2-7t+6≤0.

解得1≤t≤6且t≠2.

评注本解法处理此类问题的思路是先确立其中一个变量为主元,利用其有解性列出相应条件,再以另一变量为主元进行进一步的处理.

角度4 三角换元.

解法8由2x2+4xy+5y2=1,得

2(x+y)2+3y2=1.

评注本解法采用的是三角换元,对于形如“ax2+bxy+cy2=1”的式子,都可以配凑成“(dx+ey)2±(fy)2=1”或“(dx)2±(ex+fy)2=1”的形式,然后借助于“sin2α+cos2α=1”或“sec2α-tan2α=1”进行代换即可[4].

角度5 极坐标.

又2x2+4xy+5y2=1,即有

2ρ2cos2θ+4ρ2sinθcosθ+5ρ2sin2θ=1.

评注考虑到条件与结论中涉及到双变量,可以看成坐标[5],而极坐标又可以借助于ρ与θ与平面坐标进行转化,再借助于三角函数知识即可解决,很好地体现了化归思想.

2 解题启示

解题需要结果,但是解题不仅仅需要结果,更要注重过程的获得,而一题多解则丰富了学习者的思维,同时能够在关联的情境中,多视角地经历数学建模的过程,不仅能提升学生学习的兴趣,增强学习数学的自信心,养成良好的数学学习习惯,更能够提升学生的创新意识.