对教材中一类对数式大小比较的探究

苏艺伟

(福建省龙海第一中学,福建 龙海 363100)

新教材中的习题具有典型性、针对性,是高考试题的直接来源.近几年的高考数学试题有不少题目就直接来源于教材习题的改编.不仅如此,有些省市的质检试题为了引导教师重视教材,在组织教师命题时就明确要求必须有部分试题是教材习题的改编[1].因此,在注重教材习题的基础上,如何对教材习题进行深度挖掘,以此提高学生的数学思维,并适应新高考的需求,成为一线教师不可避免的问题.

比较大小试题是近几年来十分热点的问题,在高考试题或者质检试题中经常出现,以选择题的形式为主,一般会给出三个数进行比较.在众多比较大小试题中,有一类题目是给出三个对数式,特点是一个对数式的真数是另一个的底数.此类题目出现在人教A版必修第一册(2019年版)第141页拓广探索第13题.对于此类题目,以教材中的该题为出发点,引导学生进行深度挖掘,可以起到很好的效果.

1 试题呈现

题目(人教A版必修第一册(2019年版)第141页拓广探索第13题)比较下列三个值的大小:log23,log34,log45.

2 试题分析

本题给出了三个对数式,要比较大小,特点是底数与真数是连续的正整数,真数比底数大1,其中一个的真数是另一个的底数.主要考查对数的运算、式子的变形转化、不等式性质的应用.考虑采用作差法解决.

3 试题解析

故log23>log34.

故log34>log45.

综上,log23>log34>log45.

4 试题推广

当n∈N时,logn(n+1)>logn+1(n+2).

所以logn(n+1)-logn+1(n+2)

所以logn(n+1)>logn+1(n+2).

5 试题应用

例1 (复旦大学自主招生试题)比较log2425与log2526的大小.

则lg225-lg26·lg24>0

故log2425>log2526.

例2(2022年全国甲卷文科第12题)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

解析易知m=log910,a=10log910-11,b=8log910-9.由于log89>log910>log1011,所以

a=10log910-11>10log1011-11=0,

b=8log910-9<8log89-9=0.

故a>0>b.故选A.

评注显然,借助该结论可以很好地解决本道高考试题,因此本道高考试题可以看成是该教材习题的改编.从这里我们可以体会到对教材习题进行深度挖掘的重要性,这同时也启发我们对于高考试题的解答要善于转化变形,将陌生的题目化归为已学的知识,才能透过表象看到本质.

A.f(3)>f(2) B.m≥2

解析由已知可得m≥2,

logm(m+1)-logm+1(m+2)

两边同时平方,得

ln2(m+1)>lnm·ln(m+2).

所以logm(m+1)>logm+1(m+2).

综上,本题选择ABD.

6 试题变式

诚然,对于教材习题深度挖掘的重要性不言而喻.此类对数式大小的比较十分具有代表性.但是为了进一步提高学生的数学思维,我们应该跳出此类题型的局限性,因为此类题型必须满足真数比底数大1等特点.如果我们仅仅停留于此,学生的思维会僵化,遇到较大的变化则无法解决.因此必须教会学生灵活处理类似的对数式大小比较问题.如2022年漳州市高三第二次质检的一道选择题:

A.b

由于lg29-lg210<0,此时无法判断.

所以b

变式是训练学生思维的重要抓手,能够提高学生于陌生复杂情境中解决问题的能力.此类对数式大小的比较不能停留在教材习题中的三个对数式,必须给予较大的变式才能更好地完善学生的认知结构,提高解题能力.事实上,此类对数式大小的比较在2020年全国Ⅲ卷理科第12题就出现过.

7 教学反思

以新教材习题为载体,进行深度挖掘,能够很好地对接新高考,是新课程、新高考的必然要求.在此基础上,我们不能局限于教材习题所固定的类型,必须做出深度的变式,以此引领学生的思维走向深处,否则学生只会处理固定的那类题型,稍微变化就无从下手了.这就要求教师必须具备十分丰富的经验,深入题海,并熟悉近几年高考试题,结合典型的高考试题加以分析、应用,让学生感悟高考试题的来源是教材习题,从而真正从思想上高度重视教材,以教材为本进行复习,走上正确高效的备考之路.