巧用曲线系探索一类斜率比值问题

林景芳　林志敏

题目 （2022年全国甲卷·理20）设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点Dp，0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF=3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．

分析：（1）y2=4x，过程略；（2）求α－β的最大值，关键是解决倾斜角β，α的关系，进而转化为寻找tanα，tanβ即kMN，kAB的关系.

思路一：设My214，y1，Ny224，y2，Ay234，y3，By244，y4，直线MN：x=my+1，由x=my+1，

y2=4x联立得y2－4my－4=0，Δ>0，y1y2=－4，kMN=y1－y2y214－y224=4y1+y2，kAB=y3－y4y234－y244=4y3+y4，MD：x=x1－2y1·y+2，代入y2=4x，得y2－4x1－2y1·y－8=0，Δ>0，y1y3=－8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1.所以kAB=4y3+y4=42y1+y2=kMN2，即kMNkAB=2.再利用两角差正切公式及基本不等式求解，过程略.

本题涉及的是直线与抛物线问题，计算相对简单，如果把曲线改为椭圆或双曲線，计算量将大大增加，为了更好解决这类问题并加以推广，本文着重介绍曲线系的解题方法.

思路二：分别设直线MN，AB，MA，NB的方程分别为x=t1y+1，x=t2y+m，x=t3y+2，x=t4y+2.构造二次曲线系（x－t1y－1）（x－t2y－m）+λ（x－t3y－2）（x－t4y－2）=μ（y2－4x），其中λ，μ∈R，分别对比x2项、xy项、y项、常数项的系数，得1+λ=0，

－（t1+t2）－λ（t3+t4）=0，

（mt1+t2）+2λ（t3+t4）=0，

m+4λ=0，解得t2=2t1，即kMNkAB=2.

评注：本题涉及的是蝴蝶型斜率比值为定值与直线过定点之间的关系，我们把问题一般化，便于探索其内在联系.

结论1 如图1，设抛物线Γ：y2=2px（p>0）的弦AB过定点M（m，0）（m>0），过M作抛物线Γ的弦CD（异于AB），若直线AC与x轴交于定点N（n，0）（n≠0），直线AC，BD的斜率存在且非零，则直线BD过定点Lm2n，0，且k1k2=mn.

结论3 如图3，设双曲线Γ：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的弦AB过定点M（m，0）（m>a），过M作双曲线Γ的弦CD（异于AB），若直线AC与x轴交于定点N（n，0），直线AC，BD的斜率存在且非零，则直线BD过定点L2ma2－na2－m2na2+m2－2mn，0，且k1k2=a2－m2a2+m2－2mn. 特别地，当C、D分别为左、右顶点即n=－a时，k1k2=a－ma+m.

例1 已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为23，半焦距为c（c>0），且a－c=1，经过椭圆的左焦点F，斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：k1k2为定值．

析解：（1）易得椭圆方程为x29+y25=1.

（2）由结论2，a=3，m=1，n=－2，得k1k2=a2－m2a2+m2－2mn=47.例2 椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，M在椭圆上，ΔMF1F2的周长为25+4，面积的最大值为2.

（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx（k>0）与椭圆C交于A，B，连接AF2，BF2并延长交椭圆C于D，E，连接DE，求证直线DE过定点，并探索直线DE的斜率k′与k的关系.

解析：（1）易得椭圆方程为x25+y2=1.

（2）由结论2，a=5，m=2，n=0，得2ma2－na2－m2na2+m2－2mn=209，故直线DE过定点209，0.又kk′=a2－m2a2+m2－2mn=19，即k′=9k.

以上从曲线系的解题视角证明并推广了一类斜率比值及定点问题，它也是解析几何的热点问题和常见模型，挖掘其内在联系并加以推广，具有重要意义.实际上，本文得到的三个结论，也是蝴蝶定理和坎迪定理在解几中的一个具体应用.

（本文为2021年泉州市基础教育教学改革专项课题《基于数学运算能力的高中质优生培养的有效教学策略研究》（编号：QJYKT2021-068，主持：林志敏）；《基于质优生培养有效策略之试题变式教学研究》（编号：QJYKT2021-067，主持：黄婉真）的研究成果之一.）