代建云
对于一个函数而言,切线的本质是割线的极限形式.函数在某点处存在切线的前提是在此处可导,因为导数的唯一性,所以函数在任意一点处的切线也具有唯一性.而在平面内过一点作函数的切线,在一般情况下却不止一条.2021年新课标1卷第7题就考察了指数函数的切线条数,在此之后,在各地的模拟试题中涌现出了一系列关于切线条数的问题.
一、试题及分析
例1 (2021年新课标Ⅰ卷第7题)若过点(a,b)可以做曲线y=ex的两条切线,则().
A.eb C.0 例2 (2022年顺德区青年教师解题比赛第8题)过点P(1,m)(m∈R)有n条直线与函数f(x)=x·ex图象相切,当n取最大值时,m的取值范围为(). A.-5e2 C.-1e2 例3 (自编)已知函数f(x)=x3-x+1,过点A(0,1)作函数y=f(x)的切线,可做()条. A.1 B.2 C.3 D.无数条 分析:这三道例题都在考察曲线切线的条数,区别在于对应的函数不同,所涉及的点与函数的位置也不相同.那么它们有没有什么共性呢?经过笔者的不断尝试,发现切线的条数与函数的凹凸性与渐近线有关联.本文将研究过程展示如下,以飨读者. 二、函数凹凸性及相关性质 1.函数凹凸性的定义及判断方法 设函数y=f(x)在区间I上有定义,如图1,若对任意x1,x2∈I且x1≠x2,有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2,则称函数y=f(x)在区间I内为凸函数; 如图2,若f(x1+x22) 函数凹凸性的判断定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导,若在(a,b)内满足:(1)若f″(x)>0,则函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数;(2)若f″(x)<0,则函数y=f(x)在区间[a,b]上为凸函数[1]. 2.与切线相关的性质 引理1 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x0∈(a,b),则有f′(x0) 证明:根据拉格朗日中值定理可知,存在ξ∈(x0,b),使得f′(ξ) 引理2 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x0∈(a,b),设函数y=f(x)在x0处的切线为lx0,设直线lx0与函数y=f(x)在b处的切线lb的交点为A(xA,yA),則有xA 证明:直线lx0的方程为y=f′(x0)(x-x0)+f(x0),直线lb的方程为y=f′(b)(x-b)+f(b).联立两直线方程可得点A的横坐标xA=x0f′(x0)+f(b)-bf′(b)-f(x0)f′(x0)-f′(b),根据引理1可得f(b)-f(x0)>f′(x0)(b-x0),代入上式可得xA 引理3 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x0∈(a,b),设函数y=f(x)在x0处的切线为lx0,设直线lx0与函数y=f(x)在b处的切线lb的交点为A(xA,yA),则xA的值随x0的变化而变化. 证明:假设存在x1∈(a,b),x2∈(a,b)且x1 引理4 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x0∈(a,b),设函数y=f(x)在x0处的切线为lx0,设直线lx0与函数y=f(x)在a处的切线la的交点为B(xB,yB),则有xB>a,且xB的值随x0的变化而变化. 证明同上,此略. 现讨论切线问题,如图3,函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,函数y=f(x)在a,b处的切线la,lb以及函数y=f(x)本身将平面区域分成A,B,C,D,E.设函数y=f(x)在x0处的切线为lx0,显然可知直线lx0不经过区域C和E. 引理5 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x0∈(a,b),设函数y=f(x)在x0处的切线为lx0,设直线lx0与切线la,lb的交点为B(xB,yB),A(xA,yA),则线段AB区域A中. 证明:设直线lx0与切线lb的交点为A(xA,yA),因为函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,所以lx0的斜率小于lb的斜率,所以线段AB位于曲线y=f(x)的下方且位于lb的上方;同理可知线段AB位于曲线y=f(x)的下方且位于la的上方,综上即可得引理成立. 引理6 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x1∈(a,b),x2∈(a,b)且x1 证明:结合上述引理2以及引理5即可得结论成立,过程略. 由此可得到关于切线条数的相关结论: 定理1 当点M∈区域C或区域E时,过点M作函数y=f(x)的切线有0条. 定理2 当点M∈区域B或区域D时,过点M作函数y=f(x)的切线有且仅有1条. 证明:假设在区域点M∈区域B或区域D时,过点M可作2条函数y=f(x)的切线.与上述引理6相矛盾. 定理3 当点M∈区域A时,过点M作函数y=f(x)的切线有且仅有2条. 证明:如图4,因为函数y=f(x)的连续性,当点M∈区域A时,至少存在一条切线lx0(切点的横坐标为x0).设该切线与la,lb的交点为P,Q.根据引理5可知PQ区域A. 显然函数y=f(x)在[x0,b]上也是凹函数,根据引理4,存在唯一x3∈(x0,b),使得函数y=f(x)在x3的切线经过点M. 综上可知,过點M作函数y=f(x)的切线至少有2条,而在[a,x0)内,根据引理2,在任意一点的切线与lx0的交点的横坐标都小于x0.综上可知原命题成立. 当函数为凸函数时,可模仿上面的过程得到相关的结论,过程略.对于渐进性而言,可理解为无穷远处的切线. 三、实例分析 对于例1,已知函数f(x)=ex为凹函数,y=0是该函数的渐近线,利用函数f(x)=ex与y=0可 将原函数分成如图5所示的三个区域.利用上述结论可知,当点(a,b)∈区域A,没有切线;当点(a,b)∈区域B时,有2条切线;当点(a,b)∈区域C时,有1条切线.故选D. 对于例2,对函数f(x)=x·ex求导可得f′(x)=(x+1)·ex,再次求导可得f″(x)=(x+2)·ex,令f″(x)=0,可得x=-2. 当x∈(-∞,-2)时,函数f(x)=x·ex为凸函数;当x∈(-2,+∞)时,函数f(x)=x·ex为凹函数.过拐点(-2,-2e2)的切线以及渐近线y=0将原函数分成如图6所示的七个区域.当点(a,b)∈区域C,没有切线,当点(a,b)∈区域D或区域G时,有1条切线,当点(a,b)∈区域B或区域F时,有2条切线;当点(a,b)∈区域A或区域E时,有3条切线.结合题意可知点P(1,m)∈区域E,从而选B. 对于例3,点A(0,1)恰好为函数y=f(x)的拐点,过该点仅有1条直线与原函数相切.故选A. 参考文献 [1]田云江.高中数学奥林匹克实用教程第4册[M].:河北大学出版社.2012.8:2. [2]龙宇.巧用函数的“公切线”解题[J].数学教学,2017(5),28-29.