利用函数的凹凸性探究切线问题

代建云

对于一个函数而言，切线的本质是割线的极限形式.函数在某点处存在切线的前提是在此处可导，因为导数的唯一性，所以函数在任意一点处的切线也具有唯一性.而在平面内过一点作函数的切线，在一般情况下却不止一条.2021年新课标1卷第7题就考察了指数函数的切线条数，在此之后，在各地的模拟试题中涌现出了一系列关于切线条数的问题.

一、试题及分析

例1 （2021年新课标Ⅰ卷第7题）若过点（a，b）可以做曲线y=ex的两条切线，则（）.

A.eb

C.0

例2 （2022年顺德区青年教师解题比赛第8题）过点P（1，m）（m∈R）有n条直线与函数f（x）=x·ex图象相切，当n取最大值时，m的取值范围为（）.

A.－5e2

C.－1e2

例3 （自编）已知函数f（x）=x3－x+1，过点A（0，1）作函数y=f（x）的切线，可做（）条.

A.1 B.2 C.3 D.无数条

分析：这三道例题都在考察曲线切线的条数，区别在于对应的函数不同，所涉及的点与函数的位置也不相同.那么它们有没有什么共性呢？经过笔者的不断尝试，发现切线的条数与函数的凹凸性与渐近线有关联.本文将研究过程展示如下，以飨读者.

二、函数凹凸性及相关性质

1.函数凹凸性的定义及判断方法

设函数y=f（x）在区间I上有定义，如图1，若对任意x1，x2∈I且x1≠x2，有f（x1+x22）>f（x1）+f（x2）2，则称函数y=f（x）在区间I内为凸函数；

如图2，若f（x1+x22）

函数凹凸性的判断定理：如果函数y=f（x）在区间［a，b］上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导，若在（a，b）内满足：（1）若f″（x）>0，则函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数；（2）若f″（x）<0，则函数y=f（x）在区间［a，b］上为凸函数［1］.

2.与切线相关的性质

引理1 函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x0∈（a，b），则有f′（x0）

证明：根据拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈（x0，b），使得f′（ξ）

引理2 函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x0∈（a，b），设函数y=f（x）在x0处的切线为lx0，设直线lx0与函数y=f（x）在b处的切线lb的交点为A（xA，yA），則有xA

证明：直线lx0的方程为y=f′（x0）（x－x0）+f（x0），直线lb的方程为y=f′（b）（x－b）+f（b）.联立两直线方程可得点A的横坐标xA=x0f′（x0）+f（b）－bf′（b）－f（x0）f′（x0）－f′（b），根据引理1可得f（b）－f（x0）>f′（x0）（b－x0），代入上式可得xA

引理3 函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x0∈（a，b），设函数y=f（x）在x0处的切线为lx0，设直线lx0与函数y=f（x）在b处的切线lb的交点为A（xA，yA），则xA的值随x0的变化而变化.

证明：假设存在x1∈（a，b），x2∈（a，b）且x1

引理4 函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x0∈（a，b），设函数y=f（x）在x0处的切线为lx0，设直线lx0与函数y=f（x）在a处的切线la的交点为B（xB，yB），则有xB>a，且xB的值随x0的变化而变化.

证明同上，此略.

现讨论切线问题，如图3，函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，函数y=f（x）在a，b处的切线la，lb以及函数y=f（x）本身将平面区域分成A，B，C，D，E.设函数y=f（x）在x0处的切线为lx0，显然可知直线lx0不经过区域C和E.

引理5 函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x0∈（a，b），设函数y=f（x）在x0处的切线为lx0，设直线lx0与切线la，lb的交点为B（xB，yB），A（xA，yA），则线段AB区域A中.

证明：设直线lx0与切线lb的交点为A（xA，yA），因为函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，所以lx0的斜率小于lb的斜率，所以线段AB位于曲线y=f（x）的下方且位于lb的上方；同理可知线段AB位于曲线y=f（x）的下方且位于la的上方，综上即可得引理成立.

引理6 函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x1∈（a，b），x2∈（a，b）且x1

证明：结合上述引理2以及引理5即可得结论成立，过程略.

由此可得到关于切线条数的相关结论：

定理1 当点M∈区域C或区域E时，过点M作函数y=f（x）的切线有0条.

定理2 当点M∈区域B或区域D时，过点M作函数y=f（x）的切线有且仅有1条.

证明：假设在区域点M∈区域B或区域D时，过点M可作2条函数y=f（x）的切线.与上述引理6相矛盾.

定理3 当点M∈区域A时，过点M作函数y=f（x）的切线有且仅有2条.

证明：如图4，因为函数y=f（x）的连续性，当点M∈区域A时，至少存在一条切线lx0（切点的横坐标为x0）.设该切线与la，lb的交点为P，Q.根据引理5可知PQ区域A.

显然函数y=f（x）在［x0，b］上也是凹函数，根据引理4，存在唯一x3∈（x0，b），使得函数y=f（x）在x3的切线经过点M.

综上可知，过點M作函数y=f（x）的切线至少有2条，而在［a，x0）内，根据引理2，在任意一点的切线与lx0的交点的横坐标都小于x0.综上可知原命题成立.

当函数为凸函数时，可模仿上面的过程得到相关的结论，过程略.对于渐进性而言，可理解为无穷远处的切线.

三、实例分析

对于例1，已知函数f（x）=ex为凹函数，y=0是该函数的渐近线，利用函数f（x）=ex与y=0可

将原函数分成如图5所示的三个区域.利用上述结论可知，当点（a，b）∈区域A，没有切线；当点（a，b）∈区域B时，有2条切线；当点（a，b）∈区域C时，有1条切线.故选D.

对于例2，对函数f（x）=x·ex求导可得f′（x）=（x+1）·ex，再次求导可得f″（x）=（x+2）·ex，令f″（x）=0，可得x=－2.

当x∈（－∞，－2）时，函数f（x）=x·ex为凸函数；当x∈（－2，+∞）时，函数f（x）=x·ex为凹函数.过拐点（－2，－2e2）的切线以及渐近线y=0将原函数分成如图6所示的七个区域.当点（a，b）∈区域C，没有切线，当点（a，b）∈区域D或区域G时，有1条切线，当点（a，b）∈区域B或区域F时，有2条切线；当点（a，b）∈区域A或区域E时，有3条切线.结合题意可知点P（1，m）∈区域E，从而选B.

对于例3，点A（0，1）恰好为函数y=f（x）的拐点，过该点仅有1条直线与原函数相切.故选A.

参考文献

［1］田云江.高中数学奥林匹克实用教程第4册［M］.：河北大学出版社.2012.8：2.

［2］龙宇.巧用函数的“公切线”解题［J］.数学教学，2017（5），28-29.