“双根”技巧简化运算，等价转化探究本质

黄桃荣

解决轨迹问题的一般方法是设点，通过题干发现点所满足的关系式，化简关系式求得结论.当题干条件复杂时，如何选择切入点则是解决此类问题的关键.笔者研究了2023届广州市高三调研测试第21题，通过该题的解答过程，很好地体现了如何设点以及消元的完整过程，现将笔者的思考展现如下，以飨读者.

一、题目

已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合.（1）求抛物线C和圆M的方程；（2）设P（x0，y0）（x0≠2）为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的交点A（x1，y1）、B（x2，y2）和Q（x3，y3）、R（x4，y4），且y1y2y3y4=16.求证：点P在一条定曲线上.

分析：本题的主题干对抛物线与圆的信息交代的非常清晰，且考查的方式也很直接，抛物线C的方程为y2=4x，圆M的方程为（x－1）2+y2=1，过程略.本题的难点主要集中在第（2）问，涉及到了圆的切线，直线与抛物线相交，四个交点的纵坐标满足某种关系式.并证明点P在一条定曲线上.考查的因素很多，且条件环环相扣，但所求的是一条轨迹问题.但题干没有直接计算点P的轨迹（通过后文可知其轨迹为圆的一部分），该设问方式反而降低了要求（回避了分析在所求的轨迹中排除不满足的部分）.

二、解法呈现

解法一：（以斜率为基本量求得轨迹）设直线AB，QR的斜率分别为k1，k2，设直线AB的方程为y=k1（x－x0）+y0.因为直线AB与圆M相切，所以k1+y0－k1x0k21+1=1.化简可得（x20－2x0）k21－2（x0－1）y0k1+y20－1=0.同理可得k2也满足上述方程，即有（x20－2x0）k22－2（x0－1）y0k2+y20－1=0.从而可得k1，k2是关于k的方程（x20－2x0）k2－2（x0－1）y0k+y20－1=0的两个根，根据韦达定理可得k1+k2=2（x0－1）y0x20－2x0，k1·k2=y20－1x20－2x0.联立直线AB与抛物线C的方程可得k1y2－4y+4（y0－k1x0）=0，显然k1≠0，利用韦达定理可得y1y2=4（y0－k1x0）k1，同理可得y3y4=4（y0－k2x0）k1.所以y1y2y3y4=16（y0－k1x0）（y0－k2x0）k1k2=16，即y20－（k1+k2）x0y0+k1k2（x20－1）=0，代入上式所得关于k的韦达定理可得y20－2（x0－1）y0x20－2x0x0y0+y20－1x20－2x0（x20－1）=0，化简整理得x20+y20=1.

综上即可知点P在定曲线x2+y2=1上运动.

评注：上述解法即是按照题干条件出现的顺序，逐渐深入完成求解.思维过程简单，但涉及到的运算量较大.但在本文中多次出现了“整体代换”的技巧，例如本文研究了k1的表达式后通过类比即可得k2的表达式，从y1y2到y3y4也是运用的该思想.

“双根法”简介：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2.则ax2+bx+c=a（x－x1）（x－x2），该表达式的右侧即为二次方程的双根式.利用双根法求解的一般步骤：联立直线与圆锥曲线的方程获得二次方程——转化为双根式——赋值——变形代入——对结论进行解释.例如，设直线y=kx+t与某圆锥曲线联立所得的一元二次方程为ax2+bx+c=0（a≠0），先将该表达式写成双根式可得ax2+bx+c=a（x－x1）（x－x2）.对于计算y1·y2等表达式时，y1·y2=k2（x1+tk）（x2+tk），在上式中令x=－tk，即可得y1·y2=at2－bkt+ck2.

解法二：（利用“双根法”求解，提高运算效率）现将解法一中关于k的方程写成两根式可得（x20－2x0）k2－2（x0－1）y0k+y20－1=（x20－2x0）（k－k1）（k－k2）①.现化简条件（y0－k1x0）（y0－k2x0）即可用“双根法”实现（在解法一中是利用展开后再结合韦达定理求解），具体如下：（y0－k1x0）（y0－k2x0）=x20（y0x0－k1）（y0x0－k2）.在①式中，令k=y0x0，可得（y0x0－k1）（y0x0－k2）=－1x20－2x0，后续解法同解法一.

评注：利用“双根法”的优势在于回避了对两个韦达公式“两根之和”、“两根之积”的变形过程.但要注意使用时的限制，所求式需为“对称”结构.其次，本题若选择1k1，1k2为变量再使用“双根法”将会极大的降低运算量.具体如下：设1k1=m1，1k2=m2.将关于k的方程（x20－2x0）k2－2（x0－1）y0k+y20－1=0变形为（y20－1）1k2－2（x0－1）y01k+x20－2x0=0，即（y20－1）m2－2（x0－1）y0m+x20－2x0=0.

条件y1y2y3y4=16（y0－k1x0）（y0－k2x0）k1k2=16等价于（y0m1－x0）（y0m2－x0）=1.后续过程，本文就不再展示了，请读者自行体会两种方式下使用“双根法”的优劣.

提示：若以m1，m2為变量，可直接设直线AB的方程为x=m1（y－y0）+x0进行运算.

三、背景探究及模型推广

根据上面的解答过程可知，解题的核心在于对y1y2y3y4=16的解析，为了有效地说明该结论对应的本质.我们先看如下的一个引理.

引理 设点P（t，0），过点P作直线l与抛物线C：y2=2px交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则y1y2=－2pt.

证明：设直线l：x=my+t与抛物线的方程y2=2px联立可得y2－2pmy－2pt=0.根据韦达定理可得y1y2=－2pt.

在原问题中，设直线AB，QR与x轴交点的横坐标分别为t1，t2.根据引理可得y1y2=－4t1，y3y4=－4t2，即等价于t1·t2=1.那么原问题可进行如下的改述：设P（x0，y0）（x0≠2）为圆M：（x－1）2+y2=1外一点，过点P作圆M的两条切线，设两条切线与x轴交点的横坐标分别为t1，t2，若t1·t2=1，求证：点P在一条定曲线上.

该转述完全回避了抛物线的作用，回到了问题的本质.接下来，本文将尝试直接转述后的问题.

证明：设直线l1为圆M：（x－1）2+y2=1的一条切线，设其与x轴的交点为（t1，0）.

根据圆的几何性质即可得直线l1的方程为x=±t21－2t1y+t1；移项后平方得（x－t1）2=（±t21－2t1y）2，整理得（y2－1）t21－2（y－x）t1－x2=0.

因为点P（x0，y0）∈l1，所以（y20－1）t21－2（y0－x0）t1－x20=0，同理可得（y20－1）t22－2（y0－x0）t2－x20=0.

由此即可得t1，t2为关于t的方程（y20－1）t2－2（y0－x0）t－x20=0的两个根.根据韦达定理得t1t2=－x20y20－1=1，即x20+y20=1.综上即可知点P在定曲线x2+y2=1上运动.

通过上述解答过程，可快速将上述模型进行推广.例如我们可以得到如下的结论：

结论1 设P（x0，y0）（x0≠2）为圆M：（x－1）2+y2=1外一点，过点P作圆M的两条切线，设两条切线与x轴交点的横坐标分别为t1，t2，若t1·t2=s（s>0），则点P在x2+sy2=s上运动（即其轨迹为椭圆）.

结论2 设P（x0，y0）（x0≠2）为圆M：（x－1）2+y2=1外一点，过点P作圆M的两条切线，设两条切线与x轴交点的横坐标分别为t1，t2，若t1+t2=m，则点P在x=－m2y2+y+m2上运动（即其轨迹为抛物线）.

结论3 设P（x0，y0）（x0≠2）为圆M：（x－1）2+y2=1外一点，过点P作圆M的两条切线，设两条切线与x轴交点的横坐标分别为t1，t2，若1t1+1t2=n，则点P在y=－n2x2+x上运动（其轨迹也为抛物线）.