“套路”诚然好 “通法”价更高

王其

一、问题提出

在数学学习中，对于典型的问题往往都有特殊的处理方法，即固化的解答套路，如在排列组合问题的处理中，相邻的问题计数用“捆绑法”，不相邻问题计数用“插空法”比较方便，但这些特殊的方法只适用于特殊的试题情境，故并不是通性通法，但是根据辩证法“普遍性寓于特殊性之中”的原理知，解题套路必然来源于“通性通法”，其实，“通性通法”不仅是“套路”的来源，而且也是培育学生核心素养的生长点，然而，教学中发现，教师在处理典型的问题时，往往仅仅注重“解题套路”的应用，而忽视支撑“解题套路”背后的“通性通法”的掌握，不利于核心素养的达成，所以教学中不仅仅要介绍套路，更重要的是要揭示“套路”背后的“通性通法”.

二、案例展示

将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人4本，其余两人分别一本，问共有多少种方法？此题显然属于“分组”问题，由于其中有两组的元素个数相同，教学中，对于此类问题，教师往往告诉学生思路如下：先将6人按1、1、4分成“无序”的3组，组数为C16C15A22，然后再将分成的组分给甲、乙、丙三人，即方法数为C16C15A22·A33=90，这个解答中有一个套路就是对于有“平均分组”的问题时，有m组的元素个数相同，欲将“有序”分组化为“无序”分组时，就将“有序”分组的总数除以m！，对此解法，学生也能记住套用，但它仅仅是一个技巧而已，不具有一般性.

关于此题，除了上面的“套路”解法，还有其他方法吗？我们不妨将甲、乙两人每人分得1本书、丙分得4本书，则有C16C15C44=30种方法，同理，甲、丙每人分得1本书、乙得4本及乙、丙每人分得1本书、甲得4本方法种数分别是30种，由加法计数原理得，共有90种分配方法.显然，此法是采用分类讨论的思想进行解答的，轻松自然，具有一般性，是处理计数问题的通性通法.事实上，采用“套路”的解法，先将6本书按1、1、4分成“无序”的3组，到底哪两个人得到1本，有3种可能，故总数为C16C15A22×3！=90，显而易见，“套路”解法也蕴含着通性通法——分类讨论的思想方法.

三、教学启示

誠然，学习数学是需要“刷题”，如果不刷题，谁也学不好数学，正因为这个逻辑关系，“刷题”俨然成为了学习数学的代名词，于是乎，“忽视原理的揭示重机械刷题”的教学模式大行其道至今，教师教学表现为将同一类型的问题用什么方法整理得头头是道，让学生照猫画虎去套用，例如，案例中的平均分组的问题，如何将“有序”分组化为“无序”分组的套路，教学中如何教师引导学生总是沉浸在“套路”之中去处理计数问题，这种学习方式就是机械刷题，因为机械套用这法那法，缺乏思维灵活性，则学生就觉得这一章难学，因为不少题目的处理是没有套路的，需要学生有深度思考的能力，而深度思考的能力来源于通性通法的理解与掌握.当然，并不是说“套路”一定不好，其实，对于套路化的题目，用“套路”十分快捷，只不过，如果数学学习一味追求“套路化”，大脑就会僵化，缺乏宏观的策略引领，学生见木不见林.

事实上，解决计数问题的两个原理，是处理计数问题的根本方法，其中分类加法计数原理是分类讨论思想的具体体现，而分步乘法计数原理与分类加法计数原理息息相关，它是分类加法计数原理的进一步优化，基于此认识，可以说，分类讨论思想是处理计数问题的通性通法，是灵魂所在，故分类讨论思想也是此类解决问题的方向，虽然面对套路化的题目，诚然采用“套路”更快捷，但毕竟使用范围有限，但是“通性通法”具有一般性，其价值更高.