一类三角函数最值问题的探究

陈佳祥

三角函数最值问题是历年来高考考试中的重点问题，具有涉及范围广、综合性强、灵活性大等特征.因此在解决三角函数最值问题时，需要掌握三角函数的周期性、有界性、单调性等性质，并灵活应用三角恒等变换，结合其函数最值特点进行有效地分析.本文主要讨论形如（1）f（x）=cos2x·sinx；f（x）=cosx·sin2x；f（x）=sinx·sin2x；f（x）=cos2x·cosx；，（2）f（x）=sin3x+3sinx等函数的最值.

1 问题本质

由倍角公式cos2x=2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n（n∈N）次多项式Pnt=a0tn+a1tn－1+a2tn－2+···+an（a0，a1，a2，···，an∈R），使得cosnx=Pncosx，这些多项式Pnt称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得cos2x=P2cosx=2cos2x－1，记作P2t=2t2－1，cos3x=cos2x+x=cos2xcosx－sin2xsinx=2cos2x－1cosx－2sin2xcosx=2cos2x－1cosx－21－cos2xcosx=4cos3x－3cosx，所以P3t=4t3－3t，同理可得sin3x＝3sinx－4sin3x.

因此问题（1）和（2）本质都可以展开以cosx（或者sinx）的三次多项式，三次函数拥有的对称性、单调性等性质，因此这类三角函数的最值是值得研究.

2 基于“换元法”的导数法求解三角函数最值

当三角函数表达式始终只存在正弦函数、余弦函数，且函数最高次数为“3”时，可通过整体换元的方法将其转化为一元三次函数的最值问题，再结合导数单调性研究最值.

例1 求函数f（x）=cos2xsinx在R上的最大值.

解：∵f（x）=cos2x·sinx=1－2sin2x·sinx.故令t=sinx∈－1，1，∴g（t）=－2t3+t.∵g′t=－6t2+1，t∈－1，1，∴gt在－66，66上单调递增，在－1，66，66，1上单调递减，∴gtmax=g－1=1.即f（x）的最大值为1.

评析：该问题在倍角公式cos2x=1－2sin2x的基础上，通过化归转化的思想，有效地整理与变形，构成只含有sinx的三次多项式的函数，然后换元为一元三次函数形式，需要注意换元的取值范围，再借助一元三次函数导数单调性研究最值.

3 基于均值不等式求解三角函数最值

利用均值不等式求最值，所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时，就需要凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备.同角三角平方和关系式sin2x+cos2x=1其作为隐含条件，依据三角函数“定和”的特征，求三角函数最值有充分地体现.

例2 设x为锐角，求函数y=sinx·sin2x的最大值.

解：由y=sin2x·cosxy2=4sin4x·cos2x≤22sin2x+2cos2x33=1627y=439当cos2x=13时，以上各式等号成立.

评析：若例1是仿照例2使用均值不等式来求解，得到的答案是69，这不是f（x）的最大值，而是其极大值.究其原因是認为函数的极大值就是最大值，而的极大值未必就是最大值（它有两个极大值）.而且利用均值不等式的话，取等号的点是极值点而不是最值点，所以遇到此类问题时，建议使用导数来求解.

例3 设ΔABC的内角A、B、C，求cosA（sinB+sinC）的最小值.

解：当A是锐角或者直角时，则cosA（sinB+sinC）≥0，求最小值，可设cosA<0.则

cosA（sinB+sinC）=2cosAsinB+C2cosB－C2≥2cosAsinB+C2=2cosAcosA2=－2（sin2A2－cos2A2）2cos2A2=－（sin2A2－cos2A2）（sin2A2－cos2A2）4cos2A2

≥－2（sin2A2－cos2A2）+4cos2A233=－269，当A满足cosA2=66的钝角，且B=C等号成立.

评析：这里将cosB－C2放大到1，再结合三角函数平方和的关系式，构造均值不等式.另外cosA（sinB+sinC）≤2，∵cosA≤1，sinB+sinC≤2，但等号不成立，∵A=0，B=C=π2，∴cosA（sinB+sinC）虽有上界，但没有最大值.

变式1 在ΔABC中，求sinA2sinBsinC的最大值.

4 基于琴生不等式求解三角函数最值

例4 求函数f（x）=sin3x+3sinx的值域．

解：由sin3x=3sinx－4sin3x得f（x）=－4sin3x+6sinx.设t=sinx∈－1，1，则y=gt=－4t3+6t，g′t=－12t2+6，令g′t=0，解得t=±22，所以函数gt在－1，－22上单调递减，在－22，22上单调递增，在22，1上单调递减，又g－1=－2，g－22=－22，g22=22，g1=2，所以值域为－22，22.

评析：这类函数利用（三）倍角转化，本质是求三次函数最值，然后借助导数来实现.而三角函数特有周期性和奇偶性，从而例4有解法2：f（x）是周期函数，T=2π，考虑x∈（0，π），函数f（x）在（0，π）上是上凸函数，由琴生不等式得：f（x）=sinx+sinx+sinx+sinπ－3x≤sinx+x+x+π－3x4=sinπ4=22.

当且仅当x=π4，f（x）max=22，由f（x）是奇函数，得f（x）min=－22.

例4有如下更一般的形式：

变式2求f（x）=sinnx+nsinx（n∈N+）的值域．

答案：f（x）∈－sinπn+1，sinπn+1.

对于三次多项式的三角函数最值问题，一般解题思路是：合理的三角变换或是代数换元，化归为三角函数或者三次函数类型，最后利用导数和基本不等式或琴生不等式方法求最值.引导学生掌握三角函数的单调性、有界性、周期性等性质，再通过函数的最值问题与导数和不等式知识的综合运用，就能有效地解决三角函数的最值问题.