优化教学设计，落实“少教多学”

王晨　戚有建

一、问题提出

著名教育家陶行知先生曾说过：“所谓教师之主导作用，重在善于启迪，使学生自奋其力，自致其知，非谓教师滔滔讲说，学生默默聆听.”其中深意就是“少教多学”的教学理念.“少教”即启发性地教、针对性地教、创造性地教和发展性地教；“多学”指学生在教师地引导下走向深度学习、积极学习、独立学习.因此教师要对教学课程有科学的设计，对教学进程有巧妙的干预和调适，才能达到少教多学的目的.本文以基本不等式第一课时为例，从“精教—少教—不教”三个阶段逐层推进，展示基本不等式课堂教学中的“少教多学”.

二、教学案例

教材分析：本节课选自苏教版（2019版）必修一第三章第二节，主要内容是基本不等式的证明与应用.此前学生已学过不等式的六个基本性质，对比较法、分析法、综合法会简单的应用.

教学目标

（1）了解基本不等式包含的物理、代数、几何知识及生活背景，掌握基本不等式的证明方法，学会运用基本不等式解决一些函数的最值问题.

（2）培养学生数形结合、转化与化归的数学思想，体会换元代换的数学方法，发展学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

教学过程

1．情境引入

妈妈买回来两个苹果，小明用自己的玩具天平来称，他先把苹果放在天平的一个盘子上，另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得质量为a，妈妈说不对.原来天平制造得不精确，天平两臂长略有不同（其他因素不计）.于是他将苹果调换到另一个盘子上，称得质量为b，并将二者“平均”一下得a+b2来表示苹果的质量.

问1：看完这段材料你有什么想法？

追问1：苹果实际质量是a+b2吗？ （学生思考后发现并得出苹果实际质量为ab）

追问2：下面你想研究什么呢？

生：想研究a+b2是否等于ab？

设计意图：通過生活情境的引入，增加学生的探究兴趣.对情境中方案的“不合理”，学生能自主发现并用已有的物理知识解决，极大地满足他们学习的成就感，同时也找出了本节课的研究对象，发展了学生数学建模的核心素养.

2．课内探究

2．1猜想

学生不难想到用特殊值代入探究，猜想ab≤a+b2.

问2：从特殊值入手得到的结论不严谨，你能不能严格地证明该猜想？

2．2证明

巡视学生的答案，选择几个投影.

生1：用比较法证明，但要注意前提是a，b>0，和不等式取等的充要条件.

生2：用的是分析法，执果索因，探究每一步所需的充分条件，直至得到一个显然成立的式子，注意书写格式.而将分析法过程倒着书写即为综合法.

生3：选择先平方两数，消除根号，再用前三种方法证明，称为平方法.

设计意图：从特殊值入手得到猜想，此时学生会有不严谨的困惑，萌发出想要证明的想法.接着投影学生证明不等式的方法，既检验学生对前一节不等式内容的掌握情况，又让学生感受到知识的应用性.

师：下面我们来赏析不等式ab≤a+b2.

生：结构简洁，主要是和与积的关系，且只包含基本运算.

师：分析得很到位，我们把包含和的代数式a+b2称为a，b的算术平均数，包含积的代数式ab称为a，b的几何平均数.如图1，AB是圆O的直径，AC=a，CB=b，过C作CD⊥AB，你能找到两个数的几何表示？

生：由射影定理可知CD=ab，OD=a+b2.

问3：你有什么发现？

生：根据半弦不大于半径可以得到CD≤OD，也可以证明不等式成立.所以这个不等式还蕴含丰富的物理、代数、几何知识.

问4：不等式中的a，b可以代入数字，能代入代数式吗？对代数式有何要求？

生：可以，但要满足大于等于0.

师：通过对a，b的代换，可以得到无数个不等式，但它们的根基均为这个不等式，所以我们给它一个名称，叫做基本不等式.

设计意图：这里对不等式的赏析，引导学生从多个角度去理解不等式，让学生在感受到这个简单的不等式蕴含着丰富的知识背景的同时，还培养了其数形结合的数学思想.另外，该不等式还可以衍生出许多不等式，因此学生对于它的名称“基本不等式”会有更深层次的感悟.

2．3 应用

问5：你能不能举出用代数式代换a，b的例子呢？

生：根据a，b大于等于0，用a2替换a，b2替换b，代入基本不等式，得到一个新的不等式.这里要注意a，b的范围已经变为R.

师：我也举个例子，用ba和ab分别替换a，b，请你们帮我分析以上内容.

生1：当两个分式大于0，即a，b同号时代入基本不等式得ba·ab≤ba+ab2，根据乘积是定值，有ba+ab≥2，当且仅当ba=ab，即a=b时，等号成立.

生2：老师，这两个代数式不就是互为倒数的关系吗？我直接用1a替换b不是更简洁？

师：非常好！同学们开始有自己的想法了，那也允许我在你的基础上再改编：用x替换a，用1x替换b，构造出函数y=x+1x，x∈（0，+∞），求此函数的最小值.

问6：你能将这个函数进行变式吗？

生1：改变定义域，如将条件x∈（0，+∞）改为x∈－∞，0.此时－x>0，－1x>0，故得－－x+－1x≤－2－x·－1x=－2，当且仅当－x=－1x，即x=－1时，等号成立.此时函数有最大值－2.

生2：改变解析式，例如将解析式改为y=x+1x+2.

第一次探究发现乘积不是定值，需将代数式变形为x+2+1x+2-2，但此时的前提条件发生变化，x+2>2，0<1x+2<12二者取不到等，故没有最小值.

问7：问题出在哪？

生2：需改变x的范围，可以为x∈（－2，+∞），但改法不唯一.

问8：刚刚我们主要运用基本不等式来解决这些函数的最值，使用过程中需要注意的条件是什么？

生：首先代数式为正，其次乘积为定值，最后取等号时x的值要有解.

师：总结的非常到位！事实上乘积为定值，我们可以得到和的最小值，如果和为定值，则乘积有最大值.用基本不等式求函数最值需要满足的条件可以概括为“一正二定三相等”.

設计意图：通过教师简单地引导，让学生不由自主地去思考，去改编题目，充分彰显学生的主体地位，达到“少教多学”的目的.经过不断出现矛盾和解决矛盾的探究过程，学生的函数代换思想，逻辑推理、数学运算等核心素养，在无形中得到了发展.

3．课堂小结

通过情境发现两个研究对象√ab与（a+b）/2，再从特殊到一般，猜想并证明（比较法、分析法、综合法、平方法）结论：如果a，b是正数，那么√ab≤（a+b）/2（当且仅当a=b时，等号成立）.

对不等式的赏析，不仅发现了基本不等式的几何意义，还感受到它广泛的应用性，即通过对a，b的代换总结出用基本不等式求函数最值需满足的条件：一正、二定、三相等.

4．课后思考

基本不等式能否推广到nn≥3，n∈N*个非负数的情形？

三、教学反思

1．基本不等式的发现

为了充分贯彻“少教多学”的教学理念，笔者基于教材适当改变情境，并用两个问题自然地让学生自己找到两个研究对象√ab与（a+b）/2，主动探究两个量的大小关系，得到这节课的研究重点.将学生的学习变成自觉的行为，引领学生实现由“他我教育”向“自我教育”转变.再利用学生已有的认知和学情，从特殊到一般，引导学生猜想并用四种方法证明不等式成立.

2．基本不等式的赏析

“少教多学”的课堂应当以学生为本，这就要求教师运用简洁的语言启发学生探索出知识间的紧密联系.比如学生容易发现不等式的结构特点，教师由此引出算术平均数与几何平均数的概念，学生稍加思索便能得到不等式的几何意义，感受到不等式中物理、代数、几何知识的联系.再将关注点指向代数式a，b，带领学生得出a，b范围可包含等于零，进而判断出a，b可用无数代数式替换，深刻理解“基本”的含义.整个过程中，学生会充分感受到公式之简洁，数学之优美.

3．基本不等式的应用

传统课堂总是习惯于在知识点讲解完后，直接抛出例题.这样很容易忽略学生思维发展的连贯性，不利于思维能力的培养.此处笔者选择承上启下，将重点放在研究a，b的代换.先由学生举例用a，b的绝对值或平方形式替换，教师举例用互为倒数的分式替换，帮助学生打开思路，再进一步用变量x替换，引出求函数最值问题.接着让学生去改编题目并自行解决，完全将课堂归还给学生，达到教师不教，学生爱学的层次.学生也在探索未知的领域中，体会到学习的迷茫与困惑，体会到解决问题带来的数学之趣.

参考文献

［1］龚晓琳.“教师少教，学生多学”何以有效［J］.教育视界，2021（16）：68-70.