“补”教材之“白” 促数学理解

张志刚

一、问题提出

教学中教师首先要吃透教材，并对教材做适当“补白”，即对教材中省略的过程或单一的学材进行调整和补充，这是教师根据教学需要进行二次加工，使之更契合学生认知现实的过程，也是教师教学中常态化的工作之一.下面举例说明.

《普通高中教科书·数学·选择性必修第二册·A版》（人民教育出版社2020年5月第1版）（下文简称“教材”）第87页有如下例题：求函数f（x）=13x3－12x2－2x+1的单调区间.

本例旨在以三次多项式函数为例，介绍用导数求函数单调区间的一般步骤.而通过必修课程的学习，学生知道单调性的定义是求解函数单调性问题的基本方法，本题能用单调性的定义思考函数单调区间吗？教材也在第88页“边空”提出问题：“如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？”

显然，“边空”提出的问题并不“边缘”，它贴合学生的最近思维发展区，有利于深化对数学知识的整体架构的认识.在教学实践中，教师一般也会让学生尝试从单调性的定义讨论，在得出f（x1）-f（x2）=16（x1－x2）（2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12）后，很难发现在哪些区间内正负性保持不变，尝试到此为止，绝大部分教师会“启发”学生改用导数“利器”求解，以此突显导数求函数单调区间的重要性和优越性.在笔者看来，如此粗枝大叶、蜻蜓点水、浅尝辄止的“努力”，容易让学生质疑单调性的定义的有效性：单调性的定义在讨论三次多项式函数的单调区间时“失效”了吗？是“使用不当”、“不会使用”还是真正“不能使用”？换言之，讨论三次多项式函数的单调性只能用导数吗？若事实如此，对于高中阶段并不学习导数知识的上海地区学生而言，又用什么工具讨论三次多项式函数的单调性呢？可见，上述教学过程看似行云流水，顺理成章、快捷高效，实则隐患较多，对误导学生理解数学的损失则是无法挽回的.下面针对以上疑问展开研究，予以澄明.

二、问题探究

是什么导致我们的解题半途而废、无疾而终呢？由于f（x1）－f（x2）=16（x1－x2）（2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12），所以问题的关键在于判定2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12的符号，即在哪些区间内2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12<0和2x12+2x1x2+2x22-3x1－3x2－12>0，本质上是双元等式的证明问题.证明双元不等式的核心思想是消元，即将双元不等式转化为一元不等式去解决.具体消元方法有商式换元、差式减元、韦达消参、主副元减元等.采用何种策略要视具体题设条件而定，不可一概而论.由于2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12呈现二元二次多项式形式，我们可考虑主副元减元法，其基本原理是：在双元函数不等式中，将其中一个变量作为主元，另外一个变量作为副元（参数），从而构造一元函数来证明，达到减元的目的.

例1 利用单调性的定义证明f（x）=13x3－12x2－2x+1在－1，2上单调递减.

证明：设－10，即有f（x1）>f（x2），所以f（x）在（－1，2）上单调递减.

以上将变量x1作为主元，另外一个变量x2作为副元（即参数），构造了二次函数h（x）=2x2+（2x2-3）x+2x22-3x2-12，从而确定h（x1）<0，即2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12<0，进而说明了f（x）在（－1，2）上单调递减.简而言之，通过确立主副元构造函数后，发挥二次函数图象已知、数值可算的优势，确定代数式的符号.类似的，我们可讨论函数的增区间.

基于学生已具备的认知基础，除了以上的解法，我们还可以考虑配方策略.配方是一种以“出现平方式”为思维指向的恒等变形，因而，配方法既具有一般恒等变形的功能，又具有“平方式”，从而在实数范围内产生非负数的特殊功能.至于配方法的更多作用，如配方消去一次项、配方分离分母等，都可以分解成这两个基本功能的组合与派生.下面举例说明.

例2 利用单调性的定义证明f（x）=x3－3x2+6x+2在R上单调递增.

证法1：设x1

证法2：设x1

两种证明都是配方法应用的典范，证法1中把变量x1作为主元，变量x2作为副元，把x12+x1x2+x22-3x1-3x2+6变形为x12+x2-3x1+x22-3x2+6，通过配方得x1+x2－322+34x22-32x2+154，再次配方构造平方式得x1+x2－322+34（x2－1）2+3，由实数平方的非负性得证.证法2将x1+x2视为一个整体，经系数配凑、配方后把2x12+2x1x2+2x22-6x1-6x2+12变形为（x1+x2-3）2+x12+x22+3，问题得证.两种证明都需要较强的观察能力和代数变形能力.

从中我们也可以发现，配方途径有多向性.同一个式子可以有不同的配方结果，可以配成一个平方式，也可以配成多个平方式.在基本配方形式中，a2+ab+b2=（a+b）2－ab=（a－b）2+3ab=

a+b22+3b22=a+b22+a－b22+ab=a22+b22+a+b22=3a22+3b223b22－a－b22=…，下面再看它的一个简单应用.

例3 （1991年高考全国卷理科第24题）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）=－x3+1在（－∞，+∞）上是减函数.

证明：设x1

x1+x222+3x222>0，所以f（x1）>f（x2），即函数f（x）在（－∞，+∞）上是减函数.

三、结论

通过以上案例的分析可知，对于三次多项式函数的单调性，导数不是唯一的解决之道，我们完全可以利用单调性的定义探求吗，具体解答时充分考虑配方法、二次函数、主副元法等的应用，而不需要特别高深的知识与技巧.笔者建议，把本问题以研究型活动的形式与学生一同探讨，让学生经历完整的定义法判定单调性的思维过程，之后再与导数方法比较，才能更深刻的感受到导数工具的便捷性.同时通过探究活动，正本清源，澄清一些错误认识，也为学生提供一次训练数学运算素养的大好机会.事实上，自从导数的概念和方法进入高中教材后，导数作为一种重要的工具，在判断函数的单调性，求函数的极值、最值以及证明不等式方面发挥出势如破竹般的巨大作用（相对传统方法而言），显示出独有的魅力，用导数方法解决问题渐成“时尚”.但是，细究起来，用导数方法解决问题要求函数连续和可导，条件还是很苛刻的.幸好现在处理的函数大多数满足这一条件.当函数不满足这些条件时，导数方法岂不是“英雄无用武之地”了？

数学的活力在于最大限度地发挥想象力、创造力，不断引进新观念和新方法，不断激发人们的观察、比较、实验和归纳的能力，通过持续精益求精，臻于严格化，致力于普适性，这种数学学科上的诉求对教学提出了更高的要求.在常规课堂教学中，若能以核心素养的知识创新水平为目標，将会极大程度地培养学生的创新精神，以数学的内在力量教育学生.